Будем поддерживать ответ. При добавлении отрезка нужно добавить к ответу количество отрезков, которые дают длину s в объединении с новым, при удалении — отнять.

Как посчитать, сколько отрезков [l_i;r_i] в объединении с [L;R] дают длину s: рассмотрим несколько случаев.

1. Если R - L > s, то ответ 0
2. Эти два отрезка не имеют общих точек, l_i > R или r_i < L. Тогда длина второго отрезка равна len_i = s - (R - L), а l_i либо больше R, либо меньше L - len_i. Чтобы быстро находить количество таких отрезков, будем для каждой длины поддерживать структуру, в которой будем хранить левые концы отрезков, чтобы быстро искать их количество. Это может быть декартово дерево, дерево отрезков, дерево Фенвика (последние два — разреженные).
3. Эти два отрезка пересекаются, но не являются вложенными. Тогда либо l_i < L, L ≤ r_i < R, либо r_i > R, L < l_i ≤ R. В первом случае объединение отрезков - это [l_i;R], поэтому R - l_i = s. Это означает, что l_i фиксирован, а r_i находится в некотором интервале. Для этого для каждого левого конца отрезка будем поддерживать структуру, в которой будем хранить правые концы отрезков, чтобы быстро искать их количество. Во втором случае аналогично — нужно будет завести такую структуру для каждого правого конца.
4. Отрезки вложенные, длина [l_i;r_i] больше либо равна длине [L;R]. Это означает, что r_i - l_i = s, R - s ≤ l_i ≤ L. Найдём это количество при помощи структуры из второго пункта.
5. Отрезки вложенные, длина [l_i;r_i] меньше длины [L;R]. Это может быть только в том случае, когда R - L = s. Требуется посчитать, сколько есть отрезков таких, что L < l_i < r_i < R. Для каждого L будем поддерживать количество отрезков строго внутри [L;L + s]. Отрезок [l_i;r_i] лежит строго внутри отрезка [L;L + s], если r_i - s + 1 ≤ L ≤ l_i - 1. Поэтоэму при добавлении отрезка [l_i;r_i] прибавим единицу на отрезке [r_i - s + 1;l_i - 1], при удалении — вычтем. Это можно делать при помощи дерева отрезков.

Время работы решения: O(n·logn).