Таинственный ритуал

Заметим, что если $$$10 \le n$$$, то после нескольких операций, значение $$$n$$$ станет строго меньше. Это верно, т. к. до ближайшего деления на $$$10$$$ можно максимум $$$9$$$ раз прибавить по $$$9$$$. Путь $$$\frac{n + 9 \cdot 9}{10} \ge n$$$, тогда $$$n + 81 \ge 10 \cdot n$$$, тогда $$$81 \ge 9 \cdot n$$$, тогда $$$9 \ge n$$$, противоречие.

Будем бежать по цифрам от младших к старшим, и поддерживать значение переноса. Когда мы стоим на очередной цифре, сложим значение переноса и эту цифру. Тогда, если взять остаток по модулю $$$10$$$ от этого числа, мы получим текущую последнюю цифру числа $$$n$$$. Зная последнюю цифру, мы можем понять, сколько раз ее нужно прибавить к $$$n$$$, чтобы $$$n$$$ стало делиться на $$$10$$$. Прибавим к переносу эту цифру, умноженную на нужное количество раз. Затем делим перенос на $$$10$$$ и переходим к следующей цифре. Так продолжаем, пока остались нерассмотренные цифры, или перенос больше $$$9$$$, или перенос не взаимно прост с $$$10$$$. Когда процесс остановится, ответ будет лежать в переносе.