Посчитаем для каждой цифры число кубиков, на которых она встречается хотя бы один раз.
Забавно, но этой информации достаточно чтобы почти точно получить ответ.
Наблюдение 1. Если каждая цифра от $$$1$$$ до $$$9$$$ встречается хотя бы $$$n$$$ раз, то можно выложить любое число длины $$$n$$$ и меньше, не содержащее нулей в записи.
Доказательство. Выложим первую цифру числа любым подходящим кубиком. Не сложно видеть, что теперь каждая цифра встречается хотя бы $$$n - 1$$$ раз. Повторим данное рассуждение ещё $$$n - 1$$$ раз.
Наблюдение 1$$$^+$$$. Если каждая цифра от $$$1$$$ до $$$9$$$ встречается хотя бы $$$n$$$ раз, а $$$0$$$ встречается хотя бы $$$n - 1$$$ раз, то можно выложить любое число длины $$$n$$$ или меньше.
Доказательство$$$^+$$$. Дословно применить предыдущее доказательство не получится: может оказаться, что в момент когда мы уже выложили $$$n - 1$$$ цифру из $$$n$$$, то все нули закончились, а нужно выложить ноль. Давайте сначала выложим все нулевые цифры, а потом остальные. Тогда такой проблемы не возникнет.
Оказывается, что если $$$n$$$ — минимальное число, не подходящее под условие леммы, то ответ является числом длины $$$n$$$, более того, он выглядит как одно из:
Поймём почему. Начнём с того, что поймём, чего же не хватило, чтобы увеличить $$$n$$$. Пусть нулей. Тогда $$$1000\ldots000$$$ является ответом.
Пусть нулей достаточно, а наименьшая цифры, которой не хватило — это $$$d$$$. Кстати несложно видеть, что любое число длины $$$n$$$ только из цифр $$$0$$$, $$$1$$$, ..., $$$d - 1$$$ всё ещё можно представить. А вот число $$$dddddd{\ldots}dddd$$$ уже точно не представить.
Число $$$d000\ldots00$$$ иногда тоже может являться ответом. Хотя и нулей и цифры $$$d$$$ достаточно много (обоих хотя бы по $$$n - 1$$$), но если их обоих ровно $$$n - 1$$$ и они находятся на одинаковых кубиках, то собрать $$$d000\ldots00$$$ не выйдет.
Может быть неочевидно, почему ответом не может быть что-то промежуточное: cколько-то $$$d$$$ и сколько-то $$$0$$$. Но всё достаточно просто, покажем, что если мы умеем выражать $$$d000{\ldots}000$$$, то можно и любое другое число из нулей и $$$d$$$, кроме всех $$$d$$$. Возьмём ответ для $$$d0000{\ldots}0000$$$. У нас есть достаточно много кубиков содержащих $$$d$$$ и не использованных сейчас для отображения $$$d$$$. Если этот кубик показывает сейчас $$$0$$$, то просто перевернём его. Если этот кубик не используется, просто заменим один из кубиков с $$$0$$$ на него.