Автор идеи: Мухаммаджон Хакимов, разработчик задачи: Григорий Хлытин
Если будем считать формулу итеративно, получим вердикт TL, т.к. такое решение будет работать за время $$$\mathcal{O}(n)$$$, где $$$n$$$ — количество ходов в игре ($$$1 \le n \le 10^{18}$$$).
Заметим, что если расписать формулу искомой вероятности как $$$p = \left(1 - \frac{1}{2^{2}}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{3^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}\right)$$$, что равно $$$\left(\frac{2^{2} - 1}{2^{2}}\right) \cdot \left(\frac{3^{2} - 1}{3^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{(n + 1)^{2} - 1}{(n + 1)^{2}}\right)$$$. Если раскрыть числители как разность квадратов, получим $$$$$$p = \left(\frac{(2 - 1)(2 + 1)}{2^{2}}\right) \cdot \left(\frac{(3 - 1)(3 + 1)}{3^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{((n + 1) - 1)((n + 1) + 1)}{(n + 1)^{2}}\right)$$$$$$
Сокращаем знаменатели всех дробей, кроме крайних, с числителями соседних и получаем ответ $$$$$$p = \frac{n + 2}{2(n + 1)}$$$$$$
Так как числа $$$n + 2$$$ и $$$n + 1$$$ всегда взаимно просты, то чтобы получить несократимую дробь, остается только рассмотреть случай $$$(n + 2) \bmod 2 = 0$$$, когда надо разделить числитель и знаменатель на 2. Суммарное время работы — $$$\mathcal{O}(1)$$$.