Числа Белла

2020-09-28T15:11:02Z

109.252.108.58: что значит n-я строфа ?

{{Определение
|definition = В комбинаторной математике '''числа Белла''' (''англ. Bell's numbers'') определяют количество возможных способов [[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества|разбиения множества]] из <tex>n</tex> элементов на подмножества.
}}
Числа Белла начинаются с <tex dpi="130">B_0=B_1=1</tex> и образуют последовательность:
:<tex dpi="130">1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437,
190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057\dots
</tex>
<tex dpi="130">n</tex>-й элемент множества чисел Белла, <tex dpi="130">B_n</tex>, определяет количество различных способов разбиения множества, то есть количество [[Отношение эквивалентности|отношений эквивалентности]] в нем.
==Подсчет==
[[File:XxxCircles.png|400px|thumb|upright|52 разбиения множества из 5 элементов]]
[[File:Order.png|400px|border]]

Разбиение множества <tex dpi="130">S</tex> определяется как совокупность '''попарно непересекающихся подмножеств множества''' <tex dpi="130">S</tex>. Например, <tex>B_3 = 5</tex>, потому что множество, состоящее их <tex>3</tex> элементов <tex> \{ a, b , c \} </tex> может быть разделено <tex>5</tex> различными способами:

:<tex> \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} </tex>
: <tex> \{ a \} , \{b, c \} </tex>
: <tex> \{ b \} , \{a, c \} </tex>
: <tex> \{ c \} , \{ a, b \} </tex>
: <tex> \{ a, b , c \} </tex>

<tex dpi="130">B_0 = 1</tex>, т.к. существует только одно возможное разбиение пустого множества. Пустое множество может разбиваться только на само себя.
Как было обозначено выше, мы '''не рассматриваем ни порядок подмножеств, ни порядок элементов в каждом их них'''. Это означает, что данные разбиения являются идентичными:
: <tex> \{ b \} , \{ a , c \} </tex>
: <tex>\{ a, c\}, \{ b \} </tex>
: <tex>\{ b \}, \{ c, a \} </tex>
: <tex>\{ c, a \}, \{ b \} </tex>

В противном случае, если различные упорядочивания множеств считаются различными разбиениями, тогда количество таких упорядоченных разбиений называются '''упорядоченными числами Белла'''.

==Факторизации==
Если число <tex dpi="130">N</tex>является свободным от квадратов <ref>[[wikipedia:Square-free element|Wikipedia {{---}} Cвободные от квадратов числа]]</ref>, то <tex dpi="130">B_n</tex> показывает количество различных мультипликативных разбиений <tex dpi="130">N</tex>.
Если <tex dpi="130">N</tex> является квадратичным положительным целым числом (является произведением некоторого числа <tex dpi="130">n</tex> различных простых чисел), то <tex dpi="130">B_n</tex> дает '''число различных мультипликативных разбиений''' <tex dpi="130">N</tex>. Это является факторизацией <tex dpi="130">N</tex> в числа большие, чем <tex>1</tex> (рассматривая две факторизации как идентичные, если они имеют одинаковые факторы в другом порядке.) подтверждает это наблюдение Сильвио Минетоле<ref> Williams 1945 credits this observation to Silvio Minetola's Principii di Analisi Combinatoria (1909).</ref>.
Например, <tex>30</tex> является произведением <tex>3</tex> простых чисел <tex>2</tex>, <tex>3</tex> и <tex>5</tex> и имеет <tex dpi="130">N=5 </tex> факторизаций:
:<tex>30 = 2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5</tex>

==Схемы рифмовки==
Числа Белла показывают ''количество схем рифмовки на <tex dpi="130">n</tex> строках''. Схема рифмы описывает, какие строки рифмуются друг с другом, и поэтому может быть истолковано как отношение экивалентности на множестве строк. Таким образом, <tex>15</tex> возможных четверостиший схемами рифмовки являются:
<tex dpi="130"> AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC,
ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, ABCD</tex>.

==Свойства==

===Формулы суммирования===
Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s:
:<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>
Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]:
:<tex dpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>,
где число Стирлинга <tex dpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов <tex dpi = "150">n</tex> в ровно <tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.
Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref> получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:
:<tex dpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>

===Производящая функция===
Экспоненциальной [[производящая функция|производящей функцией]] чисел Белла является:
:<tex dpi = "150">B(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</tex>
Суммирование используется для определения экспоненциальной производящей функции для любой последовательности чисел. Правая часть является результатом выполнения суммирования в конкретном случае.

===Моменты распределения вероятностей===

Числа Белла удовлетворяют '''формуле Добинского''':
:<tex dpi = "150">B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.</tex>
Эта формула может быть получена за счет расширения экспоненциальной производящей функции, используя ряд Тейлора<ref>[[wikipedia:Taylor series|Ряд Тейлора]]</ref> для экспоненциальной функции, а затем собирая условия с аналогичным показателем экспоненты.<ref>Flajolet & Sedgewick (2009)</ref>.
Это позволяет интерпретировать ''B<sub>n</sub>'' как <tex dpi="130">n</tex>-й момент Пуассоновского распределения с ожидаемым значением <tex>1</tex>.

===Интегральное представление===
Применение интегральной формулы Коши <ref>[[wikipedia:Cauchy's integral formula|Формула Коши]]</ref> для экспоненциальной производящей функции дает комплексное интегральное представление:
: <tex dpi = "150"> B_n = \frac{n!}{2 \pi i e} \int_{\gamma} \frac{e^{e^z}}{z^{n+1}} \, dz. </tex>

===Логарифмическая вогнутость===
Числа Белла формируют логарифмически выпуклую последовательность. Деление их на факториал, <tex dpi = "170">\frac{B_n}{n!}</tex>, дает логарифмически выпуклую последовательность.

===Темпы роста===
Известно несколько асимптотических формул для чисел Белла.
'''Беренд Тасса''' в <tex>2010</tex>-м<ref>Berend, D.; Tassa, T. (2010). "Improved bounds on Bell numbers and on moments of sums of random variables". Probability and Mathematical Statistics. 30 (2): 185–205.</ref> установлил следующие границы:
:<tex dpi = "150"> B_n < \left( \frac{0.792 n}{\ln( n+1)} \right)^n </tex> для всех положительных чисел <tex>n</tex>;
кроме того, если <tex> \varepsilon>0 </tex> затем для всех <tex> n > n_0(\varepsilon) </tex>,
:<tex dpi = "150"> B_n < \left( \frac{e^{-0.6 + \varepsilon} n}{\ln(n+1)}\right)^n </tex>
где <tex> ~n_0(\varepsilon) = \max\left\{e^4,d^{-1}(\varepsilon) \right\}~ </tex> и
<tex dpi = "150"> ~d(x)= \ln \ln (x+1) - \ln \ln x + \frac{1+e^{-1}}{\ln x}\,.
</tex>
Числа Белла могут быть аппроксимированы с помощью функции Ламберта <tex>W</tex> <ref> [[wikipedia:Lambert W function|Функция Ламберта W]]</ref>, данная функция имеет такой же темп роста, как логарифм, как
:<tex dpi = "150">B_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{n}{W(n)} \right)^{n + \frac{1}{2}} \exp\left(\frac{n}{W(n)} - n - 1\right). </tex>

'''Мозер Л. и Вайман М.'''<ref>Moser, Leo; Wyman, Max (1955). "An asymptotic formula for the Bell numbers". Transactions of the Royal Society of Canada, Section III. </ref> установили расширение:
:<tex dpi = "150">B_{n+h} = \frac{(n+h)!}{W(n)^{n+h}} \times \frac{\exp(e^{W(n)} - 1)}{(2\pi B)^{1/2}} \times \left( 1 + \frac{P_0 + hP_1 + h^2P_2}{e^{W(n)}} + \frac{Q_0 + hQ_1 + h^2Q_2 + h^3Q_3 + h^4Q_4}{e^{2W(n)}} + O(e^{-3W(n)}) \right)</tex>
Асимптотическое выражение
:<tex dpi = "150">
\frac{\ln B_n}{n} = \ln n - \ln \ln n - 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \frac{1}{\ln n} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^2 + O\left(\frac{\ln \ln n}{(\ln n)^2} \right)
\qquad \text{as }n\to\infty
</tex>
Было установлено '''де Брайном'''<ref>de Bruijn, N.G. (1981). Asymptotic methods in analysis (3rd ed.). Dover. p. 108.</ref> в <tex>1981</tex> году.

==Получение==
===Вычисление с помощью треугольника Пирса===

[[Image:BellNumberAnimated.gif|right|thumb| Треугольное множество, правая диагональная последовательность которого состоит из чисел Белла]]
Числа Белла могут быть с легкостью '''вычислены''' с помощью '''треугольника Белла''', который также называют '''массивом Айткена''' или '''треугольником Пирса'''.
# Начнем с единицы. Помещаем ее в верхнюю строку. (<tex> x_{0,1} = 1 </tex>)
# Каждая новая строка должна начинаться с крайнего правого элемента прошлой строки. (<tex>x_{i,1} \leftarrow x_{i-1, i}</tex>)
# Заполняем строчку <tex>i</tex> по формуле <tex> ( x_{i,j} \leftarrow x_{i,j-1} + x_{i-1,j-1}) </tex> , начиная с <tex> j = 2 </tex>, пока <tex>j \leqslant i + 1 </tex>.
# Крайнее левое число данной строки является числом Белла для этой строки. (<tex>B_i \leftarrow x_{i,1}</tex>)
Первые пять строк треугольника, построенного по этим правилам:
{| border="1"
|-
|<tex>1</tex>|| || || ||
|-
|<tex>1</tex>|| <tex>2</tex>|| || ||
|-
| <tex>2</tex>||<tex>3</tex> ||<tex>5</tex> || ||
|-
|<tex>5</tex>|| <tex>7</tex>|| <tex> 10</tex>|| <tex> 15</tex>||
|-
|<tex>15</tex>|| <tex> 20</tex> || <tex>27</tex> || <tex>37</tex> || <tex>52</tex>
|}

===Получение с помощью чисел Стирлинга второго рода===
[[Числа Стирлинга второго рода|'''Числа Стирлинга второго рода''']] связаны друг с другом по следующей формуле:
<tex dpi="150">\left\{{n+1\atop k}\right\} = k \left\{{ n \atop k }\right\} + \left\{{n\atop k-1}\right\}
</tex>
Число Стирлинга второго рода показывает количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на <tex>k</tex> непустых подмножеств. Если сложить все числа Стирлинга второго рода, имеющих одинаковую <tex>n</tex>, то получим количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на непустых подмножеств, то есть <tex>n</tex>-ое число Белла.

Заполним таблицу чисел Стирлинга, используя формулу выше.
Cумма чисел <tex>n</tex>-ой строки будет являться <tex>n</tex>-ым числом Белла.
{| border="1"
|-
| n \ k ||<tex>0</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||Число Белла
|-
|<tex>0</tex>||<tex>1</tex>|| || || |||| |<tex>1</tex>
|-
|<tex>1</tex>||<tex>0</tex>|| <tex>1</tex>|| || |||| |<tex>1</tex>
|-
|<tex>2</tex>||<tex> 0</tex>||<tex>1</tex> ||<tex>1</tex> || || |||<tex>2</tex>
|-
|<tex>3</tex>||<tex>0</tex>|| <tex>1</tex>|| <tex>3</tex>|| <tex>1</tex>|||| |<tex>5</tex>
|-
|<tex>4</tex>||<tex>0</tex>|| <tex>1</tex> || <tex>7</tex> || <tex>6</tex> || <tex>1</tex> ||<tex>15</tex>
|}

== См.также ==
*[[Числа Стирлинга второго рода]]
*[[Числа Стирлинга первого рода]]
*[[Числа Эйлера I и II рода]]
==Примeчания==
<references/>

==Источники информации==
*[https://cseweb.ucsd.edu/~gill/BWLectSite/Resources/C1U4SF.pdf Bender Edward A.Williamson, S. Gill, Set Partitions, 319–320, 2006]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number Wikipedia {{---}}Bell numbers]
*Nobuhiro Izumi Hui-Hsiung "Acta Applicandae Texematicae",79–87.Bell numbers, log-concavity, and log-convexity 2000
*Aitken A. C. Edinburgh Texematical Notes,18–23 A problem in combinations 1933
*H. W.BeckerJohn Riordan "The arithmetic of Bell and Stirling numbers" American Journal of Texematics,1948,385–394
*E. T.Bell Exponential polynomials,Annals of Texematics,1934, 258–277
*E. T.Bell The iterated exponential integers,Annals of Texematics,1938,539–557
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Числа Белла