Действие группы на множестве

2012-03-02T07:19:35Z

128.72.162.112: /* Свойства */

Пусть имеется множество <tex>X</tex>.
{{Определение
|definition=
[[Группа]] <tex>G</tex> '''действует''' на <tex>X</tex>, если любых <tex>g \in G</tex> и <tex>x \in X</tex> определено '''действие элемента <tex>g</tex> на элемент <tex>x</tex>''' (обозначаемое <tex>gx</tex>), обладающее следующими свойствами:
# <tex>gx \in X</tex>,
# Для любых <tex>g_1, g_2 \in G, x \in X</tex> выполнено <tex>(g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)</tex>,
# Для любого <tex>x \in X</tex> выполнено <tex>e x = x</tex>.
}}

== Примеры ==
* '''Действие группы на себя'''. Пусть <tex>G</tex> {{---}} группа с операцией <tex>\cdot</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = g \cdot x</tex>. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>. Такое действие называется "действие левыми сдвигами".
* '''Действие сопряжением'''. Пусть <tex>G</tex> {{---}} группа с операцией <tex>\cdot</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = g \cdot x \cdot g^{-1}</tex>. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>.

== Орбита, Стабилизатор и Фиксатор ==
{{Определение
|definition=
'''Орбита''' <tex>Orb(x)</tex> элемента <tex>x \in X</tex> {{---}} это множество <tex>\{gx \mid g \in G\}</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
'''Стабилизатор''' <tex>St(x)</tex> элемента <tex>x \in X</tex> {{---}} это множество <tex>\{g \in G \mid gx = x\}</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Фиксатор''' <tex>Fix(g)</tex> элемента <tex>g \in G</tex> {{---}} это множество <tex>\{x \in X \mid gx = x\}</tex>.
}}

== Свойства ==
{{Утверждение
|id=th1
|statement=
Стабилизатор любого элемента <tex>x \in X</tex> является [[подгруппа|подгруппой]] <tex>G</tex>.
|proof=
Пусть <tex>g_1, g_2 \in St(x)</tex>. Тогда <tex>g_1 x = x</tex> и <tex>g_2 x = x</tex>. Поэтому, <tex>(g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x = x</tex>. Следовательно, <tex>g_1 g_2 \in St(x)</tex>.
Пусть <tex>g \in St(x)</tex>. Тогда <tex>g x = x</tex>, следовательно, <tex>g^{-1} g x = g^{-1} x</tex>. Поэтому, <tex>g^{-1} x = x</tex> и <tex>g^{-1} \in St(x)</tex>.
}}

{{Утверждение
|id=th2
|statement=
<tex> Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) </tex>
|proof=
<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow</tex> <tex>\exists</tex> <tex> g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) </tex>. <br>

Аналогично доказываем, что <tex>Orb(y) \subseteq Orb(x)</tex>, откуда следует, что <tex>Orb(x) = Orb(y)</tex>
}}

Видно, что бинарное отношение <tex>x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)</tex> является отношением эквивалентности на <tex>X</tex> и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий|леммы Бернсайда]].

[[Категория: Теория групп]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Действие группы на множестве