http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=176.97.38.70&* 2026-05-20T01:54:19Z Вклад участника MediaWiki 1.30.0 http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8&diff=80797 2021-04-18T07:36:09Z

<p>176.97.38.70: </p> <hr /> <div>==Лемма Евклида==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |id=th1<br /> |statement=<br /> Если простое число &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt; делит без остатка произведение двух целых чисел &lt;tex&gt;x\cdot y&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt; делит &lt;tex&gt;x&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;y&lt;/tex&gt;.<br /> |proof=<br /> Пусть &lt;tex&gt;x\cdot y&lt;/tex&gt; делится на &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt;, но &lt;tex&gt;x&lt;/tex&gt; не делится на &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt;. Тогда &lt;tex&gt;x&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt; — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа &lt;tex&gt;u&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt;, что<br /> : &lt;tex&gt;x\cdot u+p\cdot v=1&lt;/tex&gt; ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).<br /> Умножая обе части на &lt;tex&gt;y&lt;/tex&gt;, получаем<br /> : &lt;tex&gt;(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.&lt;/tex&gt;<br /> Оба слагаемых левой части делятся на &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt;, значит, и правая часть делится на &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt;, ч.т.д.<br /> }}<br /> <br /> ==Основная теорема арифметики==<br /> <br /> {{Теорема<br /> |id=th666<br /> |statement=<br /> Каждое натуральное число &lt;tex&gt;n&gt;1&lt;/tex&gt; представляется в виде &lt;tex&gt;n=p_1\cdot\dots\cdot p_k&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;p_1,\dots,p_k&lt;/tex&gt; — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.<br /> |proof=<br /> '''Существование'''. Пусть &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; тоже является произведением простых чисел. Противоречие.<br /> <br /> '''Единственность'''. Пусть &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt; — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt; входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt; и получить два разных разложения числа &lt;tex&gt;\dfrac{n}{p}&lt;/tex&gt;, что невозможно. А если &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt; не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на &lt;tex&gt;p&lt;/tex&gt;, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.<br /> }}<br /> <br /> [[Категория: Классы чисел]]</div>

176.97.38.70