Свойства перечислимых языков. Теорема Успенского-Райса

2020-01-06T12:08:06Z

178.155.4.168: /* Теорема Успенского-Райса */ Fix html code issues

== Свойства языков ==

Рассмотрим множество всех [[Перечислимые_языки|перечислимых]] языков <tex> \mathrm {RE} </tex>.
{{Определение
|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}

'''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p</tex> языку свойства <tex>A</tex> можно выразить двумя эквивалентными утверждениями:
:<tex>L(p) \in A</tex>
:<tex>p \in L(A)</tex>
Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L(A)</tex>.

{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.

Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''

Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex>

Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')

== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.
}}
===Доказательство===
Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм.

'''Рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.'''

Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо.

Рассмотрим язык <tex>S</tex>, такой что <tex> S \in \overline{A}</tex> (такой язык существует, так как <tex>A</tex> {{---}} нетривиально). Тогда <tex>p_S \in L(\overline{A})</tex>.

Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.

Зафиксируем произвольное <tex>n \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию
<tex>V_n(x) = \begin{cases}
p_S(x), n \in X \\
p_\infty(x), n \notin X \\
\end{cases} </tex>

'''function''' <tex>V_n</tex>(x):
'''if''' <tex>p_X</tex>(n) == 1
'''return''' <tex>p_S</tex>(x)
'''while''' ''true''

Получили, что если <tex>n \in X</tex>, то <tex>V_n \in L(\overline A)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>, то <tex>V_n \in L(A)</tex>. Таким образом, <tex>n \in X \iff V_n \in L(\overline A)</tex>.

Так как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(\overline{A})</tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex> {{---}} неразрешимо, получили противоречие.

'''Теперь рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(\overline{A})</tex>.'''

Так как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, <tex>A</tex> также неразрешимо.
===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===
По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.

<tex> A </tex> {{---}} разрешимое семейство языков.

<tex> L_A </tex> {{---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>.

Теперь допустим, что язык <tex> L_A </tex> разрешим. Тогда напишем такую программу:

<tex>propA(code){:}</tex>
// программа, разрешающее свойство языка <tex> A </tex>
<tex>f(x){:}</tex>
// такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \in A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство
<tex>g(x){:}</tex>
// такая программа <tex> g </tex>, что <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство
<tex>p(x){:}</tex>
'''if''' <tex>propA(\mathrm{getSrc()})</tex>
'''return''' <tex>g(x)</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>f(x)</tex>

Если <tex> p </tex> не удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.

Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие.

== См. также ==
* [[Теорема о рекурсии]]
* [[Теорема Райса-Шапиро]]

== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. {{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.
* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений {{---}} стр. 397.
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Разрешимые и перечислимые языки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Свойства перечислимых языков. Теорема Успенского-Райса