Примеры использования Марковских цепей

2013-01-14T16:12:13Z

178.16.148.1:

== Обозначения ==

Предположим, что проводится серия экспериментов с возможными исходами <tex>s_1,s_2,s_3,...s_n</tex>. Назовём эти исходы '''состояниями'''.
*<tex>p_i^{(0)} </tex> — вероятность того, что мы начинаем в состоянии <tex>s_i</tex>;
*<tex>p_{ij} </tex> — вероятность того, что в результате эксперимента состояние было изменено от состояния <tex>s_i</tex> к состоянию <tex>s_j</tex>;
Если <tex>p_i^{(1)}</tex> вероятность того, что исходом эксперимента будет состояние <tex>s_i</tex>. Тогда

<tex>p_i^{(1)} = p_1^{(0)}p_{1i} + p_2^{(0)}p_{2i} + p_3^{(0)}p_{3i} + ... +p_n^{(0)}p_{ni} (*) </tex>

Это означает, что вероятность исхода в состоянии <tex>s_i</tex> равна сумме вероятностей начать эксперимент в некотором другом состоянии и окончить в <tex>s_i</tex>.
Также заметим что:

<tex>p_{j1}+p_{j2}+p_{j3}+ ... +p_{jn} = 1</tex>
*Матрица T называется матрицей перехода. В общем случае она имеет вид:

<tex>
\begin{bmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} & ... & p_{1n} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} & ... & p_{2n} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33} & ... & p_{3n} \\
p_{41} & p_{42} & p_{43} & ... & p_{4n} \\
. & . & . & ... & .\\
. & . & . & ... & .\\
. & . & . & ... & .\\
p_{n1} & p_{n2} & p_{n3} & ... & p_{nn} \\

\end{bmatrix}
</tex>.

Пусть
<tex> p^{(0)}=</tex> <tex>(p_1^{(0)},p_2^{(0)},p_3^{(0)},... ,p_n^{(0)})</tex> и
<tex> p^{(1)}=</tex> <tex>(p_1^{(1)},p_2^{(1)},p_3^{(1)},...,p_n^{(1)})</tex>

, тогда
<tex> (p_1^{(1)},p_2^{(1)},p_3^{(1)}... ,p_n^{(1)})=</tex>
<tex>(p_1^{(0)},p_2^{(0)},p_3^{(0)}.. ,p_n^{(0)})</tex>
<tex>
\begin{bmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} & ... & p_{1n} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} & ... & p_{2n} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33} & ... & p_{3n} \\
p_{41} & p_{42} & p_{43} & ... & p_{4n} \\
. & . & . & ... & .\\
. & . & . & ... & .\\
. & . & . & ... & .\\
p_{n1} & p_{n2} & p_{n3} & ... & p_{nn} \\
\end{bmatrix}
</tex>

Использование матриц приводит к более компактной записи условий. По своей сути, перемножение строки <tex> p_i^{(0)} </tex> с матрицей <tex> T </tex> эквивалентно уравнению <tex> (*) </tex>, рассмотренному ранее.
== Прогноз погоды ==
=== Условие ===
Погода классифицируется в прогнозах как ясная, умеренно пасмурная и пасмурная.

#Если погода ясная, то вероятность, что она будет ясной на следующий день, составляет 0.5; вероятность, что она будет умеренно пасмурной, равна 0.4; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет 0.1.
#Если погода умеренно пасмурная, то вероятность, что на следующий день она будет ясной, равна 0.3; вероятность, что погода останется умеренно пасмурной, равна 0.5; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет 0.2.
#Если же погода пасмурная, то вероятность, что она будет ясной на следующий день составляет 0.2; вероятность что она станет умеренно пасмурной, равна 0.4; вероятность что на следующий день она останется пасмурной, равна 0.4.

Вопрос 1 : Если вероятность ясной погоды в воскресенье равна 0.6, а вероятность умеренно пасмурности — 0.4, то какова вероятность, что погода в понедельник будет ясной?

Вопрос 2 : Какова вероятность, что во вторник погода будет умеренно пасмурной?

=== Решение ===

Если порядок, в котором перечисляются погодные условия, таков: ясно, умеренно пасмурно и
пасмурно, то:

<tex>p^{(0)} =</tex> <tex>(0.6,0.4,0)</tex>

<tex>
T = \begin{bmatrix}
0.5 & 0.4 & 0.1 \\
0.3 & 0.5 & 0.2 \\
0.2 & 0.4 & 0.4
\end{bmatrix}
</tex>

следовательно,
<tex>p^{(1)} = </tex> <tex>(0.6,0.4,0) \times</tex>
<tex>
\begin{bmatrix}
0.5 & 0.4 & 0.1 \\
0.3 & 0.5 & 0.2 \\
0.2 & 0.4 & 0.4
\end{bmatrix}
</tex>
<tex> = </tex>
<tex>(0.42,0.44,0.14)</tex>
и вероятность, что в понедельник будет ясная погода, равна <tex>0.42</tex>.

Пусть <tex>p_1^{(2)} </tex> — вероятность того, что во вторник будет ясная погода, <tex>p_2^{(2)} </tex> — вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурно и <tex>p_3^{(2)} </tex> — вероятность того, что во вторник будет пасмурно.

Пусть <tex>p^{(2)} = </tex> <tex> (p_1^{(2)},p_2^{(2)},p_3^{(2)})</tex>.

Тогда
<tex>p^{(2)} = </tex> <tex> (0.42,0.44,0.14) \times</tex>
<tex>
\begin{bmatrix}
0.5 & 0.4 & 0.1 \\
0.3 & 0.5 & 0.2 \\
0.2 & 0.4 & 0.4
\end{bmatrix}
</tex>
<tex> = </tex>
<tex>(0.37,0.444,0.186)</tex>

Следовательно, вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурная погода равна <tex>0.444</tex>.

Пусть <tex>p_i^{(m)} </tex> — вероятность, что исходом m-го проведения эксперимента будет состояние <tex>s_i</tex> и

<tex>p^{(m)} =</tex> <tex>(p_1^{(m)},p_2^{(m)},p_3^{(m)},...,p_n^{(m)}).</tex>

{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: th1.

|statement=Для любого положительного целого числа m выполняется <tex>p^{(m)} =</tex> <tex>p^{(0)} \times T^{(m)}</tex>
|proof=Докажем теорему, используя индукцию.Было показано(в примере про погоду), что для <tex> m = 1 </tex> утверждение справедливо. Предположим,что оно справедливо для <tex>n=k</tex> , так что <tex>p^{(k)} =</tex> <tex>p^{(0)} \times T^{(k)}.</tex>Поскольку

<tex>p_j^{(k+1)} = </tex> <tex>p_1^{(k)}p_{1j} +</tex> <tex>p_2^{(k)}p_{2j} +</tex> <tex>p_3^{(k)}p_{3j} +</tex> <tex>p_n^{(k)}p_{nj} </tex>
то
<tex>p^{(k+1)} = </tex> <tex>p^{(k)} T =</tex> <tex>p^{(0)} T^k T =</tex> <tex>p^{(0)} T^{k+1}.</tex>

}}

== Оценка будущих продаж ==
Цепи Маркова также применяются при оценке будущих продаж. Например, сделав опрос среди покупателей той или иной марки автомобиля о их следующем выборе, можно составить матрицу <tex> T </tex>.
=== Условие ===
В процессе опроса владельцев автомобилей трех американских марок: марки A, марки B, марки С, им был задан вопрос о том, какую торговую марку они бы выбрали для следующей покупки.

#Среди владельцев автомобилей марки A 20% сказали, что они бы перешли на марку B, а 30% заявили, что предпочли бы марку С.
#Среди владельцев автомобилей марки B 20% сказали, что перейдут на марку A, в то время как 70% заявили, что приобрели бы опять автомобиль марки B, а 10% заявили, что в следующий раз предпочли бы марку C.
#Среди владельцев автомобилей С, 30% ответили, что перешли бы на марку A, 30% сказали, что перешли бы на марку B, а 40% заявили, что остались бы верны той же марке С.

Вопрос 1 : Если некто приобрел автомобиль марки A, то какова вероятность, что его второй машиной будет автомобиль марки C?

Вопрос 2 : Если при покупке первой машины покупатель подбросил монету, выбирая между автомобилями марки B и С, то какова вероятность, что его третьей машиной станет автомобиль марки B?

=== Решение ===

Матрица перехода для этого события имеет вид:

<tex>
\begin{bmatrix}
0.2 & 0.5 & 0.3 \\
0.2 & 0.7 & 0.1 \\
0.3 & 0.3 & 0.4
\end{bmatrix}
</tex>

Для ответа на первый вопрос имеем: <tex>p^{(0)} =</tex> <tex>(1,0,0)</tex> поэтому

<tex>p^{(1)} = </tex> <tex>(1,0,0) \times</tex>
<tex>
\begin{bmatrix}
0.2 & 0.5 & 0.3 \\
0.2 & 0.7 & 0.1 \\
0.3 & 0.3 & 0.4
\end{bmatrix}
</tex>
<tex> = </tex>
<tex>(0.2,0.5,0.3)</tex>

Вероятность того, что вторая машина будет марки С, равна 0.3. Для ответа на второй вопрос требуется найти

<tex>T^{(2)} = </tex>
<tex>
\begin{bmatrix}
0.23 & 0.54 & 0.23 \\
0.21 & 0.62 & 0.17 \\
0.24 & 0.48 & 0.28
\end{bmatrix}
</tex>

Для (2) имеем <tex>p^{(2)} = </tex> <tex> (0,0.5,0.5) </tex> и

<tex>p^{(2)} = </tex> <tex>(0,0.5,0.5) \times</tex>
<tex>
\begin{bmatrix}
0.23 & 0.54 & 0.23 \\
0.21 & 0.62 & 0.17 \\
0.24 & 0.48 & 0.28
\end{bmatrix}
</tex>
<tex> = </tex>
<tex>(0.225,0.55,0.225)</tex>
поэтому вероятность того, что второй автомобиль будет марки A равна 0.225.

== Литература ==
* ''Марков А. А.'', Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. — Известия физико-математического общества при Казанском университете. — 2-я серия. — Том 15. (1906) — С. 135—156.
* ''Kemeny J. G., Snell J. L.'', Finite Markov chains. — The University Series in Undergraduate Mathematics. — Princeton: Van Nostrand, 1960 (перевод: ''Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л.'' Конечные цепи Маркова. — М.: Наука. 1970. — 272 с.)

[[Категория:Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Марковские цепи ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Примеры использования Марковских цепей