Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга

2012-06-03T07:22:03Z

178.178.17.88: /* Соотношение вероятностных классов */ program naming fixup

[[Категория: Теория сложности]]
'''Вероятностные вычисления''' — один из подходов в теории вычислительной сложности, в котором программы получают доступ, говоря неформально, к генератору случайных чисел. Мы рассмотрим классы сложности, для которых программы могут работать за полиномиальное время и делать односторонние, двусторонние ошибки или работать за полиномиальное время лишь в среднем случае.

== Основные определения ==
{{Определение
|definition =
'''Вероятностная лента''' — бесконечная в одну сторону последовательность битов, распределение которых подчиняется некоторому вероятностному закону (обычно считают, что биты в различных позициях независимы и вероятность нахождения <tex>0</tex> или <tex>1</tex> в каждой позиции равна <tex>1/2</tex>).
}}
{{Определение
|definition =
'''Вероятностная машина Тьюринга''' (ВМТ) — детерминированная машина Тьюринга, имеющая вероятностную ленту. Переходы в ВМТ могут осуществляться с учетом информации, считанной с вероятностной ленты.
}}

Используя тезис Черча-Тьюринга, ВМТ можно сопоставить программы, имеющие доступ к случайным битам. Обращение к очередному биту можно трактовать как вызов специальной функции ''random''(). При этом также будем предполагать, что вероятностная лента является неявным аргументом программы или ВМТ, т.е. <tex>p(x) = p(x, r)</tex>, где <tex>r</tex> — вероятностная лента.

Введем [http://ru.wikipedia.org/wiki/Вероятностное_пространство вероятностное пространство] <tex>(\Omega, \Sigma, \operatorname{P})</tex>, где пространство элементарных исходов <tex>\Omega</tex> — множество всех вероятностных лент, <tex>\Sigma</tex> — сигма-алгебра подмножеств <tex>\Omega</tex>, <tex>\operatorname{P}</tex> — вероятностная мера, заданная на <tex>\Sigma</tex>. Будем считать, что <tex>\Sigma</tex> порождена событиями, зависящими лишь от конечного числа бит вероятностной ленты (то есть существующими в дискретных вероятностных пространствах). Покажем, что любой предикат от ВМТ является событием.
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>m</tex> — ВМТ. Тогда для любых <tex>x</tex> и <tex>A</tex> — предиката от <tex>m</tex> выполняется <tex>R = \{r | A(m(x, r))\} \in \Sigma</tex>, т.е. <tex>R</tex> измеримо.
|proof=
<tex>R = \bigcup\limits_{i = 0}^\infty R_i</tex>, где <tex>R_i = \{r | A(m(x, r)), m</tex> прочитала ровно <tex>i</tex> первых символов с <tex>r\}</tex>. Это верно, поскольку мы рассматриваем только завершающиеся ВМТ. Кроме того, из определения <tex>R_i</tex> следует, что они дизъюнктны.

<tex>R_i \in \Sigma</tex> как зависящие от <tex>i</tex> первых битов вероятностной ленты, <tex>\operatorname{P}(R_i) = \frac{1}{2^i} \cdot |\{s : |s| = i, s</tex> — префикс <tex>r \in R_i\}|</tex>.

<tex>R \in \Sigma</tex> как счетное объединение событий, при этом из их дизъюнктности следует, что <tex>\operatorname{P}(R) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \operatorname{P}(R_i)</tex>.
}}

== Вероятностные сложностные классы ==
{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{ZPP}</tex> (от ''zero-error probabilistic polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
# <tex>\operatorname{P}(p(x) \ne [x \in L]) = 0</tex>;<br>
# <tex>\operatorname{E}[\operatorname{T}(p(x))] = poly(|x|)</tex>.<br>
}}
<tex>\mathrm{ZPP}</tex> — сложностный класс, такой что программы, удовлетворяющие его ограничениям, не могут делать ошибок, но работают за полиномиальное время только в среднем случае.

Напомним, что математическое ожидание является усреднением по вероятностным лентам, а не по входу <tex>x</tex>.

{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{RP}</tex> (от ''randomized polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
# <tex>x \notin L \Rightarrow \operatorname{P}(p(x) = 0) = 1</tex>;<br>
# <tex>x \in L \Rightarrow \operatorname{P}(p(x) = 1) \ge 1/2</tex>;<br>
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|).</tex>
}}
<tex>\mathrm{RP}</tex> — сложностный класс, допускающий ошибки программ на словах из <tex>L</tex>.
Заметим, что константа <tex>1/2</tex> в пункте 2 определения <tex>\mathrm{RP}</tex> может быть заменена на любую другую из промежутка <tex>(0, 1)</tex>, поскольку требуемой вероятности можно добиться множественным запуском программы.

<tex>\mathrm{RP}</tex> можно рассматривать как вероятностный аналог класса <tex>\mathrm{NP}</tex>, предполагая, что вероятность угадать сертификат в случае его существования не менее <tex>1/2</tex>.

{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{coRP} = \{L | \overline L \in \mathrm{RP}\}</tex>.
}}
Класс <tex>\mathrm{coRP}</tex> допускает ошибки программ на словах, не принадлежащих <tex>L</tex>.

{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{BPP}</tex> (от ''bounded probabilistic polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
# <tex>\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) \ge 2/3</tex>;
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|)</tex>.
}}
<tex>\mathrm{BPP}</tex> — сложностный класс, допускающий двусторонние ошибки.
Аналогично сделанному выше замечанию, константу <tex>2/3</tex> можно заменить на любое число из промежутка <tex>(1/2, 1)</tex>. Замена константы на <tex>1/2</tex> сделало бы данный класс равным <tex>\Sigma^*</tex> (программа, возвращающая результат функции ''random''(), подошла бы для любого языка).

{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{PP}</tex> (от ''probabilistic polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
# <tex>\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) > 1/2</tex>;
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|)</tex>.
}}
<tex>\mathrm{PP}</tex> также допускает двусторонние ошибки, но является более широким по сравнению с <tex>\mathrm{BPP}</tex>.

== Соотношение вероятностных классов ==
{{Теорема
|statement = <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{ZPP} = \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}</tex>.
|proof =
Утверждение <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{ZPP}</tex> является очевидным, так как программы, удовлетворяющие ограничениям <tex>\mathrm{P}</tex>, также удовлетворяют ограничениям класса <tex>\mathrm{ZPP}</tex>.

Покажем, что <tex>\mathrm{ZPP} = \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}</tex>.
Для этого определим вспомогательный класс <tex>\mathrm{ZPP}_1</tex>.
{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{ZPP}_1</tex> — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
# <tex>p(x) \in \{0, 1, ?\}</tex>;
# <tex>p(x) \ne \enskip? \Rightarrow p(x) = [x \in L]</tex>;
# <tex>\operatorname{P}(p(x) = \enskip?) \le 1/2</tex>;
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|).</tex>
}}
1. Сначала докажем, что <tex>\mathrm{ZPP} = \mathrm{ZPP}_1</tex>.

1) <tex>\mathrm{ZPP} \subset \mathrm{ZPP}_1</tex>.

Пусть <tex>X</tex> — случайная величина, равная времени работы программы <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}</tex>, <tex>X > 0</tex>. Запишем [http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Маркова неравенство Маркова]:

<tex>\operatorname{P}(X > k \operatorname{E}[X]) \le 1/k</tex>.

Подставим <tex>k = 2</tex>. Тогда, если запустить программу <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}</tex> с ограничением по времени <tex>2E[X]</tex>, она не успеет завершиться с вероятностью, не превышающей <tex>1/2</tex>. Опишем программу <tex>q</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}_1</tex>. Она будет возвращать <tex>?</tex>, если <tex>p</tex> не успеет завершиться, а иначе — результат работы программы <tex>p</tex>. Заметим, что <tex>q</tex> работает полиномиальное время, так как <tex>E[X]</tex> ограничено некоторым полиномом по определению класса <tex>\mathrm{ZPP}</tex>.

2) <tex>\mathrm{ZPP_1} \subset \mathrm{ZPP}</tex>.
Будем запускать программу <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP_1}</tex>, пока не получим ответ, отличный от <tex>?</tex>. Математическое ожидание количества запусков <tex>p</tex> не превышает <tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{k}{2^k} = 2</tex>. Значит, новая программа будет в среднем работать за полиномиальное время, что и требуется для класса <tex>\mathrm{ZPP}</tex>.

2. Теперь покажем, что <tex>\mathrm{ZPP}_1 = \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}</tex>.

1) <tex>\mathrm{ZPP}_1 \subset \mathrm{RP}</tex>. Достаточно вместо <tex>?</tex> возвращать <tex>0</tex>.

2) <tex>\mathrm{ZPP}_1 \subset\mathrm{coRP}</tex>. Достаточно вместо <tex>?</tex> возвращать <tex>1</tex>.

3) <tex>\mathrm{ZPP}_1 \supset \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}</tex>.
Пусть программа <tex>p_1</tex> удовлетворяет ограничениям <tex>\mathrm{RP}</tex> и ошибается на словах из языка <tex>L</tex> с вероятностью не более <tex>1/2</tex>, а программа <tex>p_2</tex> удовлетворяет ограничениям <tex>\mathrm{coRP}</tex> и ошибается на словах не из языка <tex>L</tex> с аналогичной вероятностью. Построим программу <tex>q</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}_1</tex>:
q(x)
'''if''' <tex>p_2</tex>(x) = 0
'''return''' 0
'''if''' <tex>p_1</tex>(x) = 1
'''return''' 1
'''return''' ?

Вероятность вывести <tex>?</tex> есть <tex>\operatorname{P}(p_2(x) = 1, p_1(x) = 0) \le 1/2</tex>.
}}

{{Теорема
|statement = <tex>\mathrm{RP} \subset \mathrm{NP} \subset \mathrm{PP} \subset \mathrm{PS}</tex>.
|proof =
1. <tex>\mathrm{RP} \subset \mathrm{NP}</tex>. Если в программе для <tex>L \in \mathrm{RP}</tex> заменить все вызовы ''random''() на недетерминированный выбор, то получим программу для <tex>L</tex> с ограничениями <tex>\mathrm{NP}</tex>.

2. <tex>\mathrm{NP} \subset \mathrm{PP}</tex>. Приведем программу <tex>q</tex> с ограничениями класса <tex>\mathrm{PP}</tex>, которая разрешает <tex>L \in \mathrm{NP}</tex>. Пусть функция ''infair_coin''() моделирует нечестную монету, а именно возвращает единицу с вероятностью <tex>1/2 - \varepsilon</tex>, где <tex>\varepsilon</tex> мы определим позже, и ноль с вероятностью <tex>1/2 + \varepsilon</tex>. Пусть также <tex>V</tex> — верификатор сертификатов для <tex>L</tex>. Тогда <tex>q</tex> будет выглядеть следующим образом:
q(x)
c <- случайный сертификат (полиномиальной длины)
'''if''' V(x, c)
'''return''' 1
'''return''' infair_coin()
Необходимо удовлетворить условию <tex>\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) > 1/2</tex>.

Пусть <tex>x \notin L</tex>. В этом случае <tex>V(x, c)</tex> вернет <tex>0</tex> и результат работы программы будет зависеть от нечестной монеты. Она вернет <tex>0</tex> с вероятностью <tex>1/2 + \varepsilon > 1/2</tex>.

Пусть <tex>x \in L</tex>. Тогда [[Формула полной вероятности|по формуле полной вероятности]] <tex>\operatorname{P}(p(x) = 1) = p_0 + (1 - p_0) (1/2 - \varepsilon)</tex>, где <tex>p_0</tex> — вероятность угадать правильный сертификат. Заметим, что поскольку длина всех сертификатов ограничена некоторым полиномом <tex>s(n), n = |x|</tex> и существует хотя бы один правильный сертификат, <tex>p_0 \ge 2^{-s(n)}</tex>. Найдем <tex>\varepsilon</tex> из неравенства <tex>\operatorname{P}(p(x) = 1) > 1/2</tex>:

<tex>p_0 + 1/2 - \varepsilon - p_0 / 2 + p_0 \varepsilon > 1/2</tex>;

<tex>p_0 / 2 + (p_0 - 1)\varepsilon > 0</tex>;

<tex>\varepsilon < \frac{p_0}{2 (1 - p_0)}</tex>.

Достаточно взять <tex>\varepsilon \le p_0 / 2</tex>. Из сделанного выше замечания следует, что работу функции ''infair_coin''() можно смоделировать с помощью не более чем <tex>s(n) + 1</tex> вызовов ''random''(). Таким образом, мы построили программу <tex>q</tex>, удовлетворяющую ограничениям класса <tex>\mathrm{PP}</tex>.

3. <tex>\mathrm{PP} \subset \mathrm{PS}</tex>. Пусть <tex>p</tex> — программа для языка <tex>L \in \mathrm{PP}</tex>. Она используют не более чем полиномиальное количество вероятностных бит, так как сама работает за полиномиальное время. Тогда программа для <tex>\mathrm{PS}</tex> будет перебирать все участки вероятностных лент нужной полиномиальной длины и запускать на них <tex>p</tex>. Ответом будет <tex>0</tex> или <tex>1</tex> в зависимости от того, каких ответов <tex>p</tex> оказалось больше.
}}

{{Теорема
|statement =
<tex>\mathrm{RP} \cup \mathrm{coRP} \subset \mathrm{BPP}</tex>.
|proof =
Пусть <tex>p</tex> — программа для <tex>L \in \mathrm{RP}</tex>. Программу <tex>q</tex> для <tex>\mathrm{BPP}</tex> определим следующим образом:
q(x)
u <- p(x)
v <- p(x)
'''return''' u '''or''' v
Пусть <tex>x \in L</tex>. В этом случае вероятность ошибки равна <tex>\operatorname{P}(u = 0, v = 0) = \operatorname{P}(u = 0) \cdot \operatorname{P}(v = 0) \le 1/4</tex>.

Пусть <tex>x \notin L</tex>. Тогда с вероятностью <tex>1</tex> будет верно <tex>u = 0, v = 0</tex> и <tex>q</tex> вернет правильный ответ.

Аналогично доказывается, что <tex>\mathrm{coRP} \subset \mathrm{BPP}</tex>.
}}

== См. также ==
* [[Теоремы о BPP, BPPweak и BPPstrong]]
* [[Уменьшение ошибки в классе RP]]
* [[Теорема Лаутемана]]

== Литература ==
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/ Sanjeev Arora, Boaz Barak. Computational Complexity: A Modern Approach]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга