Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Схемная сложность и класс P/poly

2012-06-05T12:31:58Z

178.178.4.218: /* Теоремы */

== Определения ==

{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{PSIZE} </tex> {{---}} класс языков, разрешимых семейством [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|логических схем]] <tex> \{C_n\}_{n>0} </tex> полиномиального размера с n входами и одним выходом.

<tex> \mathrm{PSIZE} =\{L \bigm| \forall n </tex> <tex> \exists C_n </tex>:
#<tex> |C_n| \leqslant p(n)</tex>, где <tex> p </tex> {{---}} полином;
#Число входов в схеме <tex> C_n </tex> равно <tex> n </tex>;
#Каждая схема <tex> C_n </tex> имеет один выход;
#<tex>x \in L \Leftrightarrow C_{|x|}(x) = 1 \}</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \mathrm{C} </tex> {{---}} сложностный класс, <tex> f </tex> {{---}} функция. Тогда <tex> \mathrm{C}/f = \{L \bigm| </tex> существуют подсказки <tex> a_0, a_1, \ldots , a_n, \ldots </tex> и программа <tex> p </tex>, удовлетворяющая ограничениям <tex> \mathrm{C} </tex>:
#<tex>|a_i| \leqslant f(i) </tex>;
#<tex> x \in L \Leftrightarrow p(x, a_{|x|})=1 \}</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{P/poly} = \bigcup\limits_{p \in poly} \mathrm{P}/p </tex>.
}}

== Теоремы ==

{{Теорема
|statement=
<tex> \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
|proof=
Пусть <tex> L \in \mathrm{P} </tex>. Тогда существует машина Тьюринга <tex> M </tex>, распознающая язык <tex> L </tex>. Составим логическую схему для <tex> M </tex>, как мы сделали в [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|теореме Кука]], ее размеры ограничены полиномом, она допускает только слова из языка. Отсюда следует, что <tex> \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex> \mathrm{PSIZE} = \mathrm{P/poly} </tex>.
|proof=
Докажем, что <tex> \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} </tex>. 
Пусть <tex> L \in \mathrm{PSIZE} </tex>, <tex> x </tex> {{---}} входная строка. Тогда для <tex> L </tex> существуют логические схемы <tex> C_0, C_1, .., C_n, .. </tex>. В качестве подсказки для <tex> x </tex> предоставим логическую схему <tex> C_{|x|} </tex>. Программа <tex> p </tex> получает на вход <tex> x </tex> и <tex> C_{|x|} </tex> и возвращает значение, вычисляемое <tex> C_{|x|} </tex> для входа <tex> x </tex>. Запишем программу
<tex> p(x, C_{|x|}) </tex>:
'''return''' <tex>C_{|x|}(x) </tex>

Логическая схема <tex> C_{|x|} </tex> имеет полиномиальный размер. Оба условия для <tex> \mathrm{P/poly} </tex> выполнены, <tex> \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} </tex>. 
 
Докажем, что <tex> \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>. 
Пусть <tex> L \in \mathrm{P/poly} </tex>, <tex> x </tex> {{---}} входная строка. Тогда для <tex> L </tex> существуют подсказки <tex> a_0, a_1, .. , a_n, .. </tex>. Программа <tex> p </tex> по входу <tex> x </tex> и подсказке <tex> a_{|x|} </tex> определяет принадлежность <tex> x </tex> языку <tex> L </tex>. Зафиксируем длину входной строки <tex> x </tex> как <tex> n </tex>. Теперь запишем <tex> p </tex> в виде логической схемы <tex> C_m </tex> ( <tex> m = n + |a_n| </tex>), которая принимает на вход слова длины <tex> n </tex> и подсказку <tex> a_n </tex>. Полученная схема будет полиномиального размера. Зашьем подсказку в самой схеме, то есть впишем в нее значения битов подсказки. Получим схему <tex> C_n </tex> полиномиального размера, принимающую слова длины <tex> n </tex> и определяющую их принадлежность языку <tex> L </tex>. Такие схемы можно получить для любой длины входа. Значит, <tex> \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
Любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>.
|proof=
Рассмотрим произвольный унарный язык <tex> L \subset \{1\}^* </tex>. Подсказкой для слова <tex> x </tex> будет единица, если слово длины <tex> |x| </tex> есть в <tex> L </tex>, иначе ноль. Машина Тьюринга получит на вход слово <tex> x </tex> и подсказку для слов длины <tex> |x| </tex>. Теперь произведем проверку, что <tex> x </tex> действительно из нашего унарного алфавита. Если это не так, то сразу же не допустим слово, иначе выведем значение подсказки. 
Таким образом, любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
<tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.
|proof=
Рассмотрим произвольный неразрешимый язык <tex> L \subset \{0, 1\}^* </tex>. Построим язык <tex> A </tex> следующим образом: <tex> A = \{ 1^n | </tex> бинарное представление <tex> n </tex> принадлежит <tex> L \} </tex>. Унарный язык <tex> A \in \mathrm{P/poly} </tex>, но то же время <tex> A </tex> неразрешим, иначе можно было бы разрешить <tex> L </tex>. 
Получается, что <tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.
}}
[[Категория: Теория сложности]]

Схемная сложность и класс P/poly

2012-06-05T12:31:29Z

178.178.4.218:

== Определения ==

{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{PSIZE} </tex> {{---}} класс языков, разрешимых семейством [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|логических схем]] <tex> \{C_n\}_{n>0} </tex> полиномиального размера с n входами и одним выходом.

<tex> \mathrm{PSIZE} =\{L \bigm| \forall n </tex> <tex> \exists C_n </tex>:
#<tex> |C_n| \leqslant p(n)</tex>, где <tex> p </tex> {{---}} полином;
#Число входов в схеме <tex> C_n </tex> равно <tex> n </tex>;
#Каждая схема <tex> C_n </tex> имеет один выход;
#<tex>x \in L \Leftrightarrow C_{|x|}(x) = 1 \}</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \mathrm{C} </tex> {{---}} сложностный класс, <tex> f </tex> {{---}} функция. Тогда <tex> \mathrm{C}/f = \{L \bigm| </tex> существуют подсказки <tex> a_0, a_1, \ldots , a_n, \ldots </tex> и программа <tex> p </tex>, удовлетворяющая ограничениям <tex> \mathrm{C} </tex>:
#<tex>|a_i| \leqslant f(i) </tex>;
#<tex> x \in L \Leftrightarrow p(x, a_{|x|})=1 \}</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{P/poly} = \bigcup\limits_{p \in poly} \mathrm{P}/p </tex>.
}}

== Теоремы ==

{{Теорема
|statement=
<tex> \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
|proof=
Пусть <tex> L \in \mathrm{P} </tex>. Тогда существует машина Тьюринга <tex> M </tex>, распознающая язык <tex> L </tex>. Составим логическую схему для <tex> M </tex>, как мы сделали в [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|теореме Кука]], ее размеры ограничены полиномом, она допускает только слова из языка. Отсюда следует, что <tex> \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex> \mathrm{PSIZE} = \mathrm{P/poly} </tex>.
|proof=
Докажем, что <tex> \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} </tex>. 
Пусть <tex> L \in \mathrm{PSIZE} </tex>, <tex> x </tex> {{---}} входная строка. Тогда для <tex> L </tex> существуют логические схемы <tex> C_0, C_1, .., C_n, .. </tex>. В качестве подсказки для <tex> x </tex> предоставим логическую схему <tex> C_{|x|} </tex>. Программа <tex> p </tex> получает на вход <tex> x </tex> и <tex> C_{|x|} </tex> и возвращает значение, вычисляемое <tex> C_{|x|} </tex> для входа <tex> x </tex>. Запишем программу
<tex> p(x, C_{|x|}) </tex>:
'''return''' <tex>C_{|x|}(x) </tex>

Логическая схема <tex> C_{|x|} </tex> имеет полиномиальный размер. Оба условия для <tex> \mathrm{P/poly} </tex> выполнены, <tex> \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} </tex>. 
 
Докажем, что <tex> \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>. 
Пусть <tex> L \in \mathrm{P/poly} </tex>, <tex> x </tex> {{---}} входная строка. Тогда для <tex> L </tex> существуют подсказки <tex> a_0, a_1, .. , a_n, .. </tex>. Программа <tex> p </tex> по входу <tex> x </tex> и подсказке <tex> a_{|x|} </tex> определяет принадлежность <tex> x </tex> языку <tex> L </tex>. Зафиксируем длину входной строки <tex> x </tex> как <tex> n </tex>. Теперь запишем <tex> p </tex> в виде логической схемы <tex> C_m </tex> ( <tex> m = n + |a_n| </tex>), которая принимает на вход слова длины <tex> n </tex> и подсказку <tex> a_n </tex>. Полученная схема будет полиномиального размера. Зашьем подсказку в самой схеме, то есть впишем в нее значения битов подсказки. Получим схему <tex> C_n </tex> полиномиального размера, принимающую слова длины <tex> n </tex> и определяющую их принадлежность языку <tex> L </tex>. Такие схемы можно получить для любой длины входа. Значит, <tex> \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
Любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>.
|proof=
Рассмотрим произвольный унарный язык <tex> L \subset \{1\}^* </tex>. Подсказкой для слова <tex> x </tex> будет единица, если слово длины <tex> |x| </tex> есть в <tex> L </tex>, иначе ноль. Машина Тьюринга получит на вход слово <tex> x </tex> и подсказку для слов длины <tex> |x| </tex>. Теперь произведем проверку, что <tex> x </tex> действительно из нашего унарного алфавита. Если это не так, то сразу же не допустим слово, иначе выведем значение подсказки. 
Таким образом, любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.
|proof=
Рассмотрим произвольный неразрешимый язык <tex> L \subset \{0, 1\}^* </tex>. Построим язык <tex> A </tex> следующим образом: <tex> A = \{ 1^n | </tex> бинарное представление <tex> n </tex> принадлежит <tex> L \} </tex>. Унарный язык <tex> A \in \mathrm{P/poly} </tex>, но то же время <tex> A </tex> неразрешим, иначе можно было бы разрешить <tex> L </tex>. 
Получается, что <tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.
}}
[[Категория: Теория сложности]]