Теорема Фейера

2012-05-14T05:03:31Z

178.178.9.103:

{{TODO|t=вычитывай@дополняй@викифицируй}}

<tex>f \in L_1</tex>,<tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>

<tex>\sigma_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^n s_k(f)</tex>

Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
точке, либо в пространстве <tex>L_p</tex> (по норме этих пространств).

Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.

{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
|proof=
{{Определение
|definition=Точка <tex>x</tex> принято называть ''регулярной'', если
в этой точке существуют односторонние пределы.
}}
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.

Пусть точка <tex>x</tex> регулярна.
<tex>f(x + t) \stackrel{\to}{t\to +0} f(x + 0), f(x - t) \stackrel{\to}{t\to -0} f(x - 0) \Rightarrow \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex>

Значит, для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>

И интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>

Тем самым, в регулярной точке, <tex>s = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2</tex>

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции
в данной точке.

Часто всё это называют следствием Фейера о двух пределах.

Теперь, собственно, доказательство.

<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s</tex>

<tex>\delta_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>

Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.

Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)\Phi_n(t)| dt</tex>

Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.

<tex>h_n \stackrel{\mathrm{def}}= \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex> при <tex>n > 3</tex>.

{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex>
А также, <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)

<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>

<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2</tex>, <tex>n + 1 \leq 2n</tex>

Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq</tex><tex>\frac1n \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>

По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>
}}

{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>

<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t)</tex>

(<tex>\Phi</tex> {{---}} первообразная)

(Проинтегрируем по частям) <tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>

Оценим каждое из слагаемых.

Первое слагаемое.

<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>
<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) \to 0</tex>
<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.

Второе слагаемое
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>
<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex> начиная с <tex>n : h_n < \delta</tex>

Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{=}{h_n < \delta} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>

Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число <tex>h_n \to 0</tex>.

Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
}}
}}

Важный момент. Если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex>, теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>.

В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel[n \to \infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f</tex>

Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)

Устновим теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.

{{Теорема
|author=Фейер
|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \delta_n(f)\|_p \stackrel{[n\to\infty]}{\to} 0</tex>
}}

{{TODO|t=тут что-то явно не так, глобально}}

<tex>\delta_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\delta_p(f)\|_p</tex>

{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|statement=<tex>f \in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \stackrel{[n\to\infty]}{\to} 0</tex>
|proof={{TODO|t=запилить!}}
}}

{{теорема
|statement=<tex>C</tex> {{---}] всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall f\in L_p\exists g\in C : \|f - g\|<\varepsilon</tex>
|proof=Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена:
Суммы Фейера сходятся равномерно на <tex>\mathbb{R}</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>f\in C</tex><tex>\delta_n(f) \stackrel[n\to\infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} s</tex>

<tex>\forall g \in L_p : \|\delta_n(g) - g\|_p</tex>

По только что доказанной теореме, <tex>\forall\varepsilon>0\exists\varphi\in C : \|g-\varphi\|<\varepsilon</tex>

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex><tex>\|\sigma_n(g-\varphi)\|_p [\leq\|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon] + \|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq</tex>

Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p \leq \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>

<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex>

<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>, <tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>

Но в <tex>C</tex> верна теорема Фейера: <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>

<tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon</tex>

По определению предела, теорема доказана
}}

Интеграл Фейера

2012-05-14T05:01:13Z

178.178.9.103:

{{В разработке}}

{{Определение
|definition = Определим, так называемые, '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье.
<tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_n(f,x)</tex>
}}
Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt = \int\limits_{Q}f(x)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex>
{{Определение
|definition = '''Ядро Фейера''' - <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex>
}}
Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.

{{Утверждение
|statement= <tex dpi="150">\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>
|proof= <tex dpi="150">\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{k+\frac{1}{2}}t\sin{\frac{t}{2}})=</tex>
<tex dpi="150"> \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex>
}}
Из этой формулы видно, что ядро Фейера неотрицательно, в отличии от ядра Дирихле.
{{Определение
|definition = <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''
}}
{{Утверждение
|statement= <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex> при больших <tex>n</tex>
|proof=
}}
Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.

Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_n</tex>. Для расходящихся рядов, можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = S</tex> по методу средних арифметических.
В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x) (с.а.)</tex>, в этом состоит смысл введения сумм Фейера.

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Фейера

Интеграл Фейера