Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Двойственное пространство

2016-12-12T22:50:23Z

178.62.214.197: Жолус

== Введение ==
Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.
Пока в конспекте есть недочеты.
=== Определение ===
{{Определение|definition=
Двойственным пространством называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве <tex>\mathbb{R}^2</tex>.
}}
Любой линейный функционал <tex>f</tex> можно представить как <tex>f((x, y)) := ax + b = cy</tex>. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами <tex>(a, -b, c)</tex>. Таким образом, мы можем определить дуальное преобразование (<tex>p \mapsto p^\star</tex>)
для прямой, как точку в двойственном пространстве.

{{Утверждение|statement=
Дуальное преобразование от точки <tex>p = (p_x, p_y, p_z)</tex> в исходном пространстве дает прямую <tex>p^\star := (p_z y = p_x x - p_y)</tex> в двойственном.
|proof=
Расмотрим все прямые <tex>l</tex>, такие что <tex>p \in l</tex>. Более формально, пусть <tex>L = \{l : l = (a, b, c), \: cp_y = ap_x - b p_z\}</tex>.
Для каждой можно выразить <tex>b</tex>: <tex>b p_z = ap_x - cp_y</tex>, сделаем замену <tex>\left[a := x, b := y\right]</tex> и получим, что все точки <tex>l^\star</tex>
из <tex>L</tex> удовлетворяют уравнению прямой.
}}

{{Теорема|statement=
Пусть <tex>l</tex> - прямая, а <tex>p</tex> - точка, тогда:
# <tex>p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star</tex>
# <tex>p</tex> лежит над <tex>l</tex>, тогда и только тогда когда <tex>l^\star</tex> лежит над <tex>p^\star</tex>
|proof=
1. Пусть <tex>p \in l</tex>. Возьмем две точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex> такие, что <tex>p_1, p_2 \in l</tex>. Тогда
<tex>\text{rot}(p_1, p_2, p) = \begin{vmatrix}
p_{1x} & p_{1y} & p_{1z} \\
p_{2x} & p_{2y} & p_{2z} \\
p_x & p_y & p_z
\end{vmatrix} = 0</tex>. Воспользуемся леммой о предикате проверки расположения прямых. В двойственном пространстве точкам <tex>p, p_1, p_2</tex> будут соответствовать прямые с соответствующими коэффициентами. Так как этот предикат равен нулю, все три прямые пройдут через одну точку - <tex>l^\star</tex>, в силу подстановки коэффициентов. Обратное следствие верно в силу того, что второе сопряженное пространство есть исходное.
2. Пусть <tex>rot(p_1, p_2, p) \geqslant 0</tex> и <tex> p_1 \geqslant p_2</tex>. Тогда, по лемме, <tex>p^\star</tex> будет выше, чем <tex>l^\star</tex>. Обратное аналогично.
}}
{{Утверждение|statement=
Отрезок <tex>pq</tex> переходит в такое множество: <tex>P = \left\{t^\star = (x, y): \text{rot}(l^\star, p_1^\star, t^\star) > 0, \text{rot}(l^\star, q_1^\star, t^\star) < 0 \right\}</tex>,
где <tex>l</tex> - прямая на которой лежат <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, а <tex>p_1^\star \in p^\star, q_1^\star \in q^\star, \text{rot}(l^\star, p_1^\star, q_1^\star) > 0</tex> - .
|proof=
Условие <tex>\text{rot}(l, p_1, q_1) > 0</tex> означает, что прямая <tex>q_1</tex> лежит выше точки пересечения <tex>p_1</tex> и <tex>l</tex>. Зафиксируем <tex>p_1</tex> и <tex>q_1</tex>. Рассмотрим прямую <tex>t</tex>, пересекающую <tex>pq</tex>. Так как <tex>t</tex> лежит выше точки пересечения <tex>p_1</tex> и <tex>l</tex>, то
<tex>\text{rot}(l, p_1, t) > 0</tex>, Так как <tex>t</tex> лежит ниже точки пересечения <tex>q_1</tex> и <tex>l</tex>, то <tex>\text{rot}(l, q_1, t) < 0</tex>.
}}

== Прикладной смысл двойственного пространства ==
Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:
# [[Пересечение_полуплоскостей,_связь_с_выпуклыми_оболочками|Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве]]
# Set of points to Arrangements of Lines // TODO

Двойственное пространство

2016-12-12T22:04:04Z

178.62.214.197: Жолус

== Введение ==
Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.
Пока в конспекте есть недочеты.
=== Определение ===
{{Определение|definition=
Двойственным пространством называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве <tex>\mathbb{R}^2</tex>.
}}
Любой линейный функционал <tex>f</tex> можно представить как <tex>f((x, y)) := ax + b = cy</tex>. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами <tex>(a, -b, c)</tex>. Таким образом, мы можем определить дуальное преобразование (<tex>p \mapsto p^\star</tex>)
для прямой, как точку в двойственном пространстве.

{{Утверждение|statement=
Дуальное преобразование от точки <tex>p = (p_x, p_y, p_z)</tex> в исходном пространстве дает прямую <tex>p^\star := (p_z y = p_x x - p_y)</tex> в двойственном.
|proof=
Расмотрим все прямые <tex>l</tex>, такие что <tex>p \in l</tex>. Более формально, пусть <tex>L = \{l : l = (a, b, c), \: cp_y = ap_x - b p_z\}</tex>.
Для каждой можно выразить <tex>b</tex>: <tex>b p_z = ap_x - cp_y</tex>, сделаем замену <tex>\left[a := x, b := y\right]</tex> и получим, что все точки <tex>l^\star</tex>
из <tex>L</tex> удовлетворяют уравнению прямой.
}}

{{Теорема|statement=
пусть <tex>l</tex> - прямая, а <tex>p</tex> - точка, тогда:
# <tex>p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star</tex>
# <tex>p</tex> лежит над <tex>l</tex>, тогда и только тогда когда <tex>l^\star</tex> лежит над <tex>p^\star</tex>
|proof=
1. Пусть <tex>p \in l</tex>. Возьмем две точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex> такие, что <tex>p_1, p_2 \in l</tex>. Тогда
<tex>\text{rot}(p_1, p_2, p) = \begin{vmatrix}
p_{1x} & p_{1y} & p_{1z} \\
p_{2x} & p_{2y} & p_{2z} \\
p_x & p_y & p_z
\end{vmatrix} = 0</tex>. Воспользуемся леммой о предикате проверки расположения прямых. В двойственном пространстве точкам <tex>p, p_1, p_2</tex> будут соответствовать прямые с соответствующими коэффициентами. Так как этот предикат равен нулю, все три прямые пройдут через одну точку - <tex>l^\star</tex>, в силу подстановки коэффициентов. Обратное следствие верно в силу того, что второе сопряженное пространство есть исходное.
2. Пусть <tex>rot(p_1, p_2, p) \geqslant 0</tex> и <tex> p_1 \geqslant p_2</tex>. Тогда, по лемме, <tex>p^\star</tex> будет выше, чем <tex>l^\star</tex>. Обратное аналогично.
}}
{{Утверждение|statement=
отрезок <tex>pq</tex> переходит вот в такое множество: <tex>P = \left\{t^\star = (x, y): \left<p^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \wedge \left<q^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \wedge \left<l^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \vee
\left<p^\star, t^\star \right> \leqslant 0 \wedge \left<q^\star, t^\star \right> \leqslant 0 \wedge \left<l^\star, t^\star \right> \leqslant 0\right\}</tex>,
где <tex>l</tex> - прямая на которой лежат <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.
|proof=
Поставим точку <tex>r</tex> в точку <tex>p</tex> и будем непрерывно перемещать ее к <tex>q</tex>. Посмотрим, что происходит с <tex>r^\star</tex>

}}

== Прикладной смысл двойственного пространства ==
Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:
# [[Пересечение_полуплоскостей,_связь_с_выпуклыми_оболочками|Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве]]
# Set of points to Arrangements of Lines // TODO