Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сведение задачи RMQ к задаче LCA

2012-04-08T14:06:09Z

178.66.31.165:

== Постановка задачи RMQ ==
Дан массив <tex>A[1..N]</tex>. Поступают запросы вида <tex>(i, j)</tex>, на каждый запрос требуется найти минимум в массиве <tex>A</tex>, начиная с позиции <tex>i</tex> и заканчивая позицией <tex>j</tex>.
== Алгоритм ==
[[Файл:Wiki.PNG|thumb|right|300x160px|Пример построенного дерева для массива А]]
Декартово дерево (англ. ''сartesian tree'') на массиве <tex>A[1..N]</tex> {{---}} это бинарное дерево, рекурсивно определенное следующим образом:
* Корнем дерева является минимальное значение в массиве <tex>A</tex>, скажем <tex>A[i]</tex>. Если минимальных значений несколько, можно взять любое.
* Левым поддеревом является декартово дерево на массиве <tex>A[1..i-1]</tex>.
* Правым поддеревом является декартово дерево на массиве <tex>A[i+1..N]</tex>.
Построим декартово дерево на массиве <tex>A</tex>. Тогда <tex>RMQ(i, j)</tex> = <tex>LCA(A[i], A[j])</tex>.
== Доказательство ==
Мы знаем что:
* Любая вершина дерева всегда имеет меньшее значение, чем её дети. Тогда любой предок <tex>A[i]</tex> или <tex>A[j]</tex> меньше их самих.
* <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> ближайший к корню и по п.1 имеет наименьшее значение в своем поддереве. По построению, это поддерево содержит в частности подмассив <tex>A[i..j], </tex> и <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> находится между <tex>A[i]</tex> и <tex>A[j]</tex>. То есть <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> является <tex>RMQ(i, j).</tex>
== Построение дерева за линейное время ==
Пусть дан массив <tex>A[1..N]</tex>. Будем по очереди слева на право добавлять элементы в дерево. Чтобы добавить новое значение <tex>A[i]</tex>, начнем обход из вершины <tex>A[i-1]</tex> к корню, пока не найдем вершину <tex>x</tex>, для которой <tex>x < A[i]</tex>. Тогда правого сына <tex>x</tex> назначим левым сыном <tex>A[i]</tex>, а <tex>A[i]</tex> {{---}} правым сыном <tex>x</tex>. Рассмотрим правую ветку дерева, т.е. по которой проходит обход алгоритма. Заметим, что при добавлении нового узла в дерево элементы, по которым только что прошелся алгоритм отправляются налево, т.е. перестают принадлежать правой ветке. Таким образом процедура поиска родителя не сможет выполнится более <tex>n</tex> раз и итоговая асимптотика алгоритма <tex>O(n)</tex>.
== Сложность ==
Выше описан алгоритм построения дерева за <tex>O(n)</tex>.
Препроцессинг для <tex>LCA</tex> {{---}} <tex>O(n)</tex> и ответ на запрос <tex>O(1)</tex>.
В итоге получили <tex>RMQ</tex> {построение <tex>O(n)</tex>, запрос <tex>O(1)</tex>}.
== См.также ==
*[[Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]
==Ссылки==
*[http://e-maxx.ru/algo/rmq_linear Задача RMQ. Решение за O (1) с препроцессингом O (N)]

Сведение задачи RMQ к задаче LCA

2012-04-08T14:04:59Z

178.66.31.165:

== Постановка задачи RMQ ==
Дан массив <tex>A[1..N]</tex>. Поступают запросы вида <tex>(i, j)</tex>, на каждый запрос требуется найти минимум в массиве <tex>A</tex>, начиная с позиции <tex>i</tex> и заканчивая позицией <tex>j</tex>.
== Алгоритм ==
[[Файл:Wiki.PNG|thumb|right|300x160px|Пример построенного дерева для массива А]]
Декартово дерево (англ. ''сartesian tree'') на массиве <tex>A[1..N]</tex> {{---}} это бинарное дерево, рекурсивно определенное следующим образом:
* Корнем дерева является минимальное значение в массиве <tex>A</tex>, скажем <tex>A[i]</tex>. Если минимальных значений несколько, можно взять любое.
* Левым поддеревом является декартово дерево на массиве <tex>A[1..i-1]</tex>.
* Правым поддеревом является декартово дерево на массиве <tex>A[i+1..N]</tex>.
Построим декартово дерево на массиве <tex>A</tex>. Тогда <tex>RMQ(i, j)</tex> = <tex>LCA(A[i], A[j])</tex>.
== Доказательство ==
Мы знаем что:
* Любая вершина дерева всегда имеет меньшее значение, чем её дети. Тогда любой предок <tex>A[i]</tex> или <tex>A[j]</tex> меньше их самих.
* <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> ближайший к корню и по п.1 имеет наименьшее значение в своем поддереве. По построению, это поддерево содержит в частности подмассив <tex>A[i..j], </tex> и <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> находится между <tex>A[i]</tex> и <tex>A[j]</tex>. То есть <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> является <tex>RMQ(i, j).</tex>
== Построение дерева за линейное время ==
Пусть дан массив <tex>A[1..N]</tex>. Будем по очереди слева на право добавлять элементы в дерево. Чтобы добавить новое значение <tex>A[i]</tex>, начнем обход из вершины <tex>A[i-1]</tex> к корню, пока не найдем вершину <tex>x</tex>, для которой <tex>x < A[i]</tex>. Тогда правого сына <tex>x</tex> назначим левым сыном <tex>A[i]</tex>, а <tex>A[i]</tex> {{---}} правым сыном <tex>x</tex>. Рассмотрим правую ветку дерева, т.е. по которой проходит обход алгоритма. Заметим, что при добавлении нового узла в дерево элементы, по которым только что прошелся алгоритм отправляются налево, т.е. перестают принадлежать правой ветке. Таким образом процедура поиска родителя не сможет выполнится более <tex>n</tex> раз и итоговая асимптотика алгоритма <tex>O(n)</tex>.
== Сложность ==
Выше описан алгоритм построения дерева за <tex>O(n)</tex>.
Препроцессинг для <tex>LCA</tex> {{---}} <tex>O(n)</tex> и ответ на запрос <tex>O(1)</tex>.
В итоге получили <tex>RMQ</tex> {построение <tex>O(n)</tex>, запрос <tex>O(1)</tex>}.
== См.также ==
*[[Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]
==Ссылки==
*[[http://e-maxx.ru/algo/rmq_linear|Задача RMQ. Решение за O (1) с препроцессингом O (N)]]

Сведение задачи RMQ к задаче LCA

2012-04-08T12:53:12Z

178.66.31.165:

Сведение задачи LCA к задаче RMQ

2012-04-08T11:23:59Z

178.66.31.165:

== Постановка задачи LCA ==
{{Определение
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u, v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w,</tex> который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u,</tex> так и <tex>v,</tex> имеет наибольшую глубину.
}}
Пусть дано корневое дерево <tex>T.</tex> На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v),</tex> для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

== Алгоритм ==
=== Препроцессинг ===
1) В каждом узле будет храниться глубина узла в корневом дереве <tex>T.</tex>
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
0 & u = root(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v).
\end{cases}</tex>

2) Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.

=== Запрос ===
Обозначим <tex>I[u]</tex> {{---}} функция, возвращающая все индексы ячеек в списке глубин <tex>depth[start..end]</tex>, в которых хранится глубина узла <tex>u.</tex>
Пусть имеется запрос пара узлов <tex>u, v.</tex> В результате обхода в глубину получился список глубин вершин, в котором наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>depth[I[u], I[v]].</tex> Можно брать любое значение <tex>I[u].</tex> Для определённости <tex>I[u] \le I[v].</tex>

== Доказательство корректности алгоритма ==
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Для определенности считаем, что <tex>u</tex> является первой при поиске в глубину. Обозначим <tex>a</tex> {{---}} любой индекс из <tex>I[u]</tex>, <tex>b</tex> {{---}} из <tex>I[v]</tex>. На отрезке <tex>depth[a..end]</tex> хранятся узлы посещенные после <tex>u</tex> и, быть может, некоторые вершины из поддерева с корнем <tex>u</tex>(которые имеют глубину больше глубины <tex>u</tex>). Аналогично на <tex>depth[start..b]</tex> {{---}} вершины, посещенные до <tex>v</tex> и некоторые вершины из поддерева <tex>v</tex>. Рассмотрим теперь отрезок <tex>depth[a..b]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex>(в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке <tex>depth[a..b]</tex>. Допустим обратное. Все потомки <tex>w</tex> имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины <tex>w</tex> раньше, чем посетил вершину <tex>v</tex>.
== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png|thumb|left|рис. 1]]
<div style='clear:left;'></div>

== Сложность ==

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]]. Длина массива глубин будет равна <tex>(2n - 1),</tex> т.е. дерево отрезков будет построено за <tex>O(n).</tex> Таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. <tex>O(\log n).</tex>

== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
*[[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы]]
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]