Корреляция случайных величин

2012-12-16T10:03:57Z

178.66.74.77: /* Свойства корреляции */

== Определение ==
{{Определение
|definition=
<b>Корреляция случайных величин</b>: пусть <tex>\eta,\xi</tex> — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их корреляция определяется следующим образом:
: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\xi)={Cov(\eta,\xi) \over \sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}</tex>.
}}
== Вычисление ==
Заметим, что <tex>\sigma_{\xi} = \sqrt{D(\xi)} = E\big((\xi-E(\xi))^2\big)</tex>
: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\xi)={Cov(\eta,\xi) \over \sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}} = {E\big((\eta-E\eta)(\xi-E\xi)\big) \over {\sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)}}} ={E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over {\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}}</tex>

== Свойства корреляции ==
* Корреляция симметрична:
: <tex>Corr(\eta,\xi) = Corr(\xi,\eta)</tex>.

* Корреляция случайной величины с собой равна 1:
: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\eta) = { E(\eta \times \eta) - E(\eta) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\eta)} } = {D(\eta) \over D(\eta)} = 1</tex>

* Если <tex>\eta,\xi</tex> независимые случайные величины, то
: <tex>Corr(\eta,\xi) = 0</tex>.
Пусть <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> - независимые величины. Тогда <tex>E(\eta \times \xi)=E(\eta) \times E(\xi)</tex>, где <tex>E</tex> - их [[Математическое_ожидание_случайной_величины|математическое ожидание]]. Получаем:
: <tex dpi = "150">{E(\xi) \times E(\eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over {E\big((\eta-E(\eta))^2\big) \times E\big((\xi-E(\xi))^2\big)}} = 0</tex>
<b>Но обратное неверно:</b>
Пусть <tex>\eta</tex> - случайная величина, распределенная симметрично около 0, а <tex>\xi=\eta^2</tex>. <tex>Corr(\eta,\xi)=0</tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> - зависимые величины.

* Корреляция лежит не на всей вещественной оси
: <tex>-1 \leqslant Corr(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>.
Для доказательства используем свойство [[Ковариация_случайных_величин|ковариации]]: <tex>|Cov(\eta,\xi)| \leqslant \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex>. Тогда при раскрытии модуля получаем:
: <tex>-\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)} \leqslant Cov(\eta,\xi) \leqslant \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex>.
Поделим левую и правую части на <tex>\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex> и получим: <tex dpi = "150">-1 \leqslant {Cov(\eta,\xi) \over \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}} \leqslant 1</tex>, т.е.
: <tex>-1 \leqslant Corr(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>, ч.т.д.

== Примеры ==

== Ссылки ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F Википедия {{---}} Корреляция]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Теория вероятности ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Корреляция случайных величин