Базис Шаудера

2013-06-10T15:27:52Z

178.70.27.138:

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.

{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Примеры:
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера
* но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_1 \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — Банахово.
|proof=
{{TODO|t=доказать, доказательство есть в Люстернике-Соболеве. Напишите сюда пожалуйста, а то смысл этих конспектов пропадает}}
}}

Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.

Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|</tex>

Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.

По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.

Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.

Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.

Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.

<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.

<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.

Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.

<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>

<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>

<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.

Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.

<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.

Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.

В итогде, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Базис Шаудера