Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Определение ряда Фурье

2012-06-26T05:40:57Z

178.71.221.19: /* L_p */

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]

== L_p ==

{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f \mid f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.

}}

{{Определение
|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex> называют '''тригонометрической системой функций'''.
}}
Каждая из этих функций ограниченная, <tex> 2\pi </tex>-периодическая, следовательно, все функции принадлежат <tex>L_p</tex>.

Заметим, что, из-за <tex> 2\pi </tex>-периодичности, <tex> \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 </tex>.

{{Утверждение
|statement=
При <tex> n \ne m </tex> :
<tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>,
<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>.
|proof=
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как <tex> \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) </tex>.

Или так: например, первое равно <tex dpi = "180">\int \cos nx \sin mx dx = -\frac{n sin(nx) sin(mx) + m cos(nx) cos(mx)}{m^2 - n^2}</tex>, остальные аналогичны
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

'''Замечание''' (предел в пространстве <tex>L_1</tex>): если <tex>f_n, f \in L_1</tex>, то
<tex>
f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n
\iff
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
|proof=

Формула для <tex> a_0 </tex> очевидна.

Пусть <tex> S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) </tex>.

По условию, <tex> \int\limits_{Q} | f(x) - S_n(x) | dx \rightarrow 0 </tex>. Зафиксируем некоторое натуральное <tex> p </tex>:

<tex> | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 </tex>.

Значит, <tex> \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 </tex>.

Если <tex> n > p </tex>, то <tex> \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q} a_p \cos^2 px dx = \pi a_p </tex>.

Значит, <tex> \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p </tex>.

Аналогично доказывается формула для <tex> b_p </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

Колмогоров построил пример суммируемой <tex> 2\pi </tex>-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные <tex> L_p </tex>-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.

Карлесон доказал, что для функций из <tex> L_2 </tex> (а такие функции автоматически <tex>\in L_1</tex>) ряд Фурье сходится почти всюду.

Если функция является <tex> 2T </tex>-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет <tex> 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex>.

Пусть <tex> f(x) </tex> определена и суммируема на <tex> [0; a] </tex>. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как четную функцию. Тогда <tex> a_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 </tex>, ряд Фурье выглядит как <tex> \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx </tex>.
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как нечетную функцию. В этом случае <tex> a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx </tex>, ряд Фурье имеет вид <tex> \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx </tex>.
# <tex> 2T = a </tex>, здесь присутствуют все члены ряда.

Итак, если <tex> f </tex> задана на <tex> [0; a] </tex>, то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-26T05:39:14Z

178.71.221.19: /* 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{Теорема
|author=
Фробениус
|statement=
<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).
}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{Теорема
|author=
Харди
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)
Тогда, если существует такое <tex> M > 0 </tex>, что <tex> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <tex> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.
}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{Теорема
|statement=
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{Теорема
|author=
Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>
|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
Уточним аддитивность интеграла:
# $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
# $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.
# Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это '''неверно'''.
</wikitex>

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
<wikitex>
{{Утверждение
|statement=
Пусть $g'$ непрерывна на $[a, b]$ и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.
}}
</wikitex>

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>.

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
# ОНС {{---}} замкнута: (<tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0) \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{Определение
|definition=
[[Отображения|Функция]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:
# <tex>\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)</tex>
# <tex>\omega (t)</tex> неубывает
# <tex>\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)</tex> (полуаддитивность)
}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.
{{Теорема
|about=
о выпуклом модуле непрерывности
|statement=
Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex>
}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex>
}}

= 41 Явление Гиббса =
{{Определение
|definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.
}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
Положим для <tex>\delta>0</tex>

<tex>\omega_f(t,\delta)=\sup\limits_{s: |s-t|\leqslant \delta}|f(t)-f(s)|</tex>.

(модуль непрерывности функции <tex>f</tex> в точке <tex>t</tex>).

Если функция <tex>f</tex> удовлетворяет условию

<tex>\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega_f(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty </tex>,

то её ряд Фурье в точке <tex>t</tex> сходится к <tex>f(t)</tex> .

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Математический анализ 2 курс

2012-06-25T21:13:09Z

178.71.221.19: /* Глава XIII Ряды Фурье */

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
matan {{---}} убивать (исп.)


[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8 Множество Витали]

=== Глава X Мера и интеграл Лебега ===
#[[Полукольца и алгебры]] Вопрос 1 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0_%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B&printable=yes печать]
#[[Мера на полукольце множеств]] Вопрос 2 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&printable=yes печать]
#[[Внешняя мера]] Вопрос 3 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера, порожденная внешней мерой]] Вопрос 4 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0,_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Процесс Каратеодори]] Вопросы 5, 6, 7 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Объём n-мерного прямоугольника]] Вопросы 8, 9 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D1%91%D0%BC_n-%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера Лебега в R^n]] Вопросы 10, 11, 12 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0_%D0%B2_R%5En&printable=yes печать]

=== Глава XI Измеримые функции===
#[[Определение измеримой функции]] Вопросы 13, 14 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Предельный переход в классе измеримых функций]] Вопросы 15, 16 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%B2_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Сходимость по мере]] Вопросы 17, 18 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы теории измеримых функций]] Вопросы 18(?), 19, 20, 21 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]

=== Глава XII Интеграл Лебега ===
#[[Определение интеграла Лебега | Определение интеграла Лебега от ограниченных функций по множествам конечной меры]] Вопросы 22, 23 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега]] Вопросы 24, 26 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%B5_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Предельный переход под знаком интеграла Лебега]] Вопрос 27 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Неотрицательные суммируемые функции]] Вопросы 28, 29 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Суммируемые функции произвольного знака]] Вопросы 28(?), 25, 30, 31 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега]] Вопросы 32, 33, 34 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Пространство L_p(E)]] Вопросы 35, 36, 37 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_L_p(E)&printable=yes печать]
#[[Мера подграфика]] Вопросы 38, 39 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Теорема Фубини]] Вопросы 40, 41 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Точки Лебега суммируемой функции]] Нафиг не нужно

=== Глава XIII Ряды Фурье ===
# [[Определение ряда Фурье]] Вопрос 1
# [[Интеграл Дирихле]]
# [[Интеграл Фейера]]
# [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]]
# [[Суммирование расходящихся рядов#Теорема Фробениуса|Теорема Фробениуса]]
# [[Суммирование расходящихся рядов#Теорема Харди|Теорема Харди]]
# [[Теорема Фейера]]
# [[Лемма Римана-Лебега]]
# [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке]]
# [[Функции ограниченной вариации]]
# [[Интеграл Римана-Стилтьеса]]
# [[Теорема Жордана]]
# [[О почленном интегрировании ряда Фурье]]
# [[L_2-теория рядов Фурье]]
# [[Теорема Лузина-Данжуа]]
# [[Теорема Джексона]]
# [[Об интеграле Фурье]]
# [[Явление Гиббса]]
# [[Неравенство Бернштейна]]
# [[Об обратных теоремах теории приближения функций]]

=== Экзамен ===
* [[Вопросы к экзамену по математическому анализу за 4 семестр]]
* [[Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр]]
* [[Вопросы к экзамену по математическому анализу за 3 семестр]]
* [[Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр]]

Математический анализ 2 курс

2012-06-25T21:10:09Z

178.71.221.19: /* Глава XIII Ряды Фурье */

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
matan {{---}} убивать (исп.)


[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8 Множество Витали]

=== Глава X Мера и интеграл Лебега ===
#[[Полукольца и алгебры]] Вопрос 1 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0_%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B&printable=yes печать]
#[[Мера на полукольце множеств]] Вопрос 2 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&printable=yes печать]
#[[Внешняя мера]] Вопрос 3 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера, порожденная внешней мерой]] Вопрос 4 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0,_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Процесс Каратеодори]] Вопросы 5, 6, 7 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Объём n-мерного прямоугольника]] Вопросы 8, 9 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D1%91%D0%BC_n-%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера Лебега в R^n]] Вопросы 10, 11, 12 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0_%D0%B2_R%5En&printable=yes печать]

=== Глава XI Измеримые функции===
#[[Определение измеримой функции]] Вопросы 13, 14 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Предельный переход в классе измеримых функций]] Вопросы 15, 16 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%B2_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Сходимость по мере]] Вопросы 17, 18 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы теории измеримых функций]] Вопросы 18(?), 19, 20, 21 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]

=== Глава XII Интеграл Лебега ===
#[[Определение интеграла Лебега | Определение интеграла Лебега от ограниченных функций по множествам конечной меры]] Вопросы 22, 23 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега]] Вопросы 24, 26 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%B5_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Предельный переход под знаком интеграла Лебега]] Вопрос 27 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Неотрицательные суммируемые функции]] Вопросы 28, 29 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Суммируемые функции произвольного знака]] Вопросы 28(?), 25, 30, 31 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега]] Вопросы 32, 33, 34 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Пространство L_p(E)]] Вопросы 35, 36, 37 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_L_p(E)&printable=yes печать]
#[[Мера подграфика]] Вопросы 38, 39 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Теорема Фубини]] Вопросы 40, 41 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Точки Лебега суммируемой функции]] Нафиг не нужно

=== Глава XIII Ряды Фурье ===
# [[Определение ряда Фурье]] Вопрос 1
# [[Интеграл Дирихле]]
# [[Интеграл Фейера]]
# [[Суммирование расходящихся рядов#Теорема Фробениуса|Теорема Фробениуса]]
# [[Суммирование расходящихся рядов#Теорема Харди|Теорема Харди]]
# [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]]
# [[Теорема Фейера]]
# [[Лемма Римана-Лебега]]
# [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке]]
# [[Функции ограниченной вариации]]
# [[Интеграл Римана-Стилтьеса]]
# [[Теорема Жордана]]
# [[О почленном интегрировании ряда Фурье]]
# [[L_2-теория рядов Фурье]]
# [[Теорема Лузина-Данжуа]]
# [[Теорема Джексона]]
# [[Об интеграле Фурье]]
# [[Явление Гиббса]]
# [[Неравенство Бернштейна]]
# [[Об обратных теоремах теории приближения функций]]

=== Экзамен ===
* [[Вопросы к экзамену по математическому анализу за 4 семестр]]
* [[Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр]]
* [[Вопросы к экзамену по математическому анализу за 3 семестр]]
* [[Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр]]

Определение ряда Фурье

2012-06-25T18:27:12Z

178.71.221.19: /* L_p */

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]

== L_p ==

{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f \mid f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.

}}

{{Определение
|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex> называют '''тригонометрической системой функций'''.
}}
Каждая из этих функций ограниченная, <tex> 2\pi </tex>-периодическая, следовательно, все функции принадлежат <tex>L_p</tex>.

Заметим, что, из-за <tex> 2\pi </tex>-периодичности, <tex> \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 </tex>.

{{Утверждение
|statement=
При <tex> n \ne m </tex> :
<tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>,
<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>.
|proof=
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как <tex> \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) </tex>.

Или так: например, первое равно <tex>\int \cos nx \sin mx dx = -\frac{n sin(nx) sin(mx) + m cos(nx) cos(mx)}{m^2 - n^2}</tex>, остальные аналогичны
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

'''Замечание''' (предел в пространстве <tex>L_1</tex>): если <tex>f_n, f \in L_1</tex>, то
<tex>
f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n
\iff
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
|proof=

Формула для <tex> a_0 </tex> очевидна.

Пусть <tex> S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) </tex>.

По условию, <tex> \int\limits_{Q} | f(x) - S_n(x) | dx \rightarrow 0 </tex>. Зафиксируем некоторое натуральное <tex> p </tex>:

<tex> | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 </tex>.

Значит, <tex> \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 </tex>.

Если <tex> n > p </tex>, то <tex> \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q} a_p \cos^2 px dx = \pi a_p </tex>.

Значит, <tex> \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p </tex>.

Аналогично доказывается формула для <tex> b_p </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

Колмогоров построил пример суммируемой <tex> 2\pi </tex>-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные <tex> L_p </tex>-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.

Карлесон доказал, что для функций из <tex> L_2 </tex> (а такие функции автоматически <tex>\in L_1</tex>) ряд Фурье сходится почти всюду.

Если функция является <tex> 2T </tex>-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет <tex> 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex>.

Пусть <tex> f(x) </tex> определена и суммируема на <tex> [0; a] </tex>. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как четную функцию. Тогда <tex> a_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 </tex>, ряд Фурье выглядит как <tex> \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx </tex>.
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как нечетную функцию. В этом случае <tex> a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx </tex>, ряд Фурье имеет вид <tex> \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx </tex>.
# <tex> 2T = a </tex>, здесь присутствуют все члены ряда.

Итак, если <tex> f </tex> задана на <tex> [0; a] </tex>, то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]