Задача о перпендикуляре

2022-01-07T18:34:57Z

185.209.179.163: исправлена опечатка

==Задача о перпендикуляре==
{{Определение
|definition=
Задачей о перпендикуляре называется задача отыскания ортогональной составляющей и проекции вектора <tex>x</tex>, то есть его разложения по формуле: <tex>x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex> 
(где <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex> {{---}} ортогональный проектор на пп <tex>L</tex>, <tex>L</tex> {{---}} пп унитарного пространства <tex>E</tex>, a <tex>\mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex> {{---}} ортогональный проектор на пп <tex>M</tex>, <tex>M</tex> {{---}} ортогональное дополнение <tex>E</tex>).
}}

===Способ 1(через ОРТН базис)===
{{Утверждение
|statement=
1) Найти <tex>\{e_i\}_{i=1}^{k}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>L</tex> 
2) <tex> \mathcal{P}_{L}^{\bot}x = \sum\limits_{i=1}^{k} \left\langle x,e_i \right\rangle e_i; \ \mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. </tex>
|proof=
}}

===Способ 2 (через систему уравнений)===
{{Утверждение
|statement=
Рассмотрим <tex>\{a_1, a_2...a_k\}</tex> {{---}} базис <tex>L</tex> (не ОРТН) 

<tex>x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x=\gamma^1a_1 + \gamma^2a_2+...+\gamma^ka_k+\mathcal{P}_{M}^{\bot}x \ (*)</tex> 
<tex>
\begin{cases}
\left\langle a_1,(*) \right\rangle: \left\langle a_1,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_1,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_1,a_k \right\rangle \\
\left\langle a_2,(*) \right\rangle: \left\langle a_2,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_2,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_2,a_k \right\rangle \\
\cdot \\
\cdot \\
\left\langle a_k,(*) \right\rangle: \left\langle a_k,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_k,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_k,a_k \right\rangle
\end{cases}
</tex> 
Решая эту систему уравнений для неизвестных <tex>\overline{\gamma_i}</tex>, находим коэффициенты разложения <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex>.
<tex>\mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. </tex>
}}

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Задача о перпендикуляре