Алгоритмы алгебры и теории чисел

2013-12-25T16:44:29Z

188.134.38.145:

{{nohate}}
== Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики ==
* [[Классы чисел]]
* [[Натуральные и целые числа]]
* [[Простые числа]]
* [[Наибольший общий делитель]]
* [[Основная теорема арифметики]]
* [[Теоремы о простых числах]]
=== Практика - Разложение на множители и длинная арифметика ===
* [[Системы счисления]]
* [[Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика)]]
* [[Разложение на множители (факторизация)]]

== Лекция - Основные элементы теории чисел ==
* [[Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю]]
* [[Китайская теорема об остатках]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Вильсона]]
* [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле]]
* [[Функция Эйлера]]
* [[Количество делителей, сумма делителей]]
* [[Функция Мебиуса]]

=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел ===
* [[Решето Эратосфена]]
* [[Быстрое возведение в степень]]
* [[Умножение по Монтгомери]]

== Лекция - Основы теории групп ==
* [[Полугруппа]], [[моноид]], [[группа]]
* [[Абелева группа]], [[Конечная группа]]
* [[Гомоморфизм групп]], [[изоморфизм групп]]
* [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]]
* [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]]
* [[Теорема о подгруппах циклической группы]]
* [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]]
=== Практика - Основы теории групп ===
* [[Вычисление порядка элемента в группе]]
* [[Вычисление порядка перестановки в группе перестановок]]
* [[Дискретное логарифмирование в группе]]
* [[Действие группы на множестве]]
* [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий]]
* [[Представление групп]]

== Лекция - Основы теории колец ==
*[[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец]]
*[[Делители нуля, области целостности]]
*[[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов]]
*[[Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах]]
*[[Евклидовы кольца]]
=== Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем ===

== Лекция - Основы теории полей ==
* [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей]]
* [[Примеры полей]]
* [[Мультипликативная группа поля]]
* [[Расширения полей]]

== Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты ==
* [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]]
* [[Первообразные корни]]
** [[Существование первообразных корней по определенным модулям|Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида <tex>2,4,p^n,2\cdot p^n</tex>]]
* [[Квадратичные вычеты|Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю]]
** [[Символ Лежандра, критерий Эйлера]]
** [[Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)|Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>]]
** [[Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю]]
=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты ===

== Лекция - Квадратичные вычеты ==
*[[Квадратичный закон взаимности]]
*[[Символ Якоби и его свойства]]
*[[Обобщенный квадратичный закон взаимности]]
*[[Алгоритм вычисления символа Якоби]]
=== Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту ===
*[[Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла]]
*[[Тест Соловея-Штрассена]]
*[[Тест Миллера-Рабина]]

== Лекция - Аналитическая теория чисел ==
* [[Факты из математического анализа]]
* [[Теорема Чебышёва]]
* [[Постулат Бертрана]]
* [[Уточнение констант в теореме Чебышёва]]
* [[Сумма обратных к простым]]
* [[Асимптотический закон распределения простых чисел]]
=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> ===

== Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ==
* [[Цепная дробь]]
** [[Связь цепных дробей и алгоритма Евклида]]
** [[Сходимость цепных дробей]]
** [[Цепные дроби как приближение к числу]]
** [[Квадратичная иррациональность]]
** [[Периодичность цепных дробей]]
** [[Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей|Цепные дроби для <tex>\sqrt{d}</tex> и квадратичных иррациональностей]]
* [[Уравнение Пелля]]
* [[Представление простых в виде суммы двух квадратов]]

== Лекция - Конечные поля ==
=== Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями ===

Нормальная подгруппа

2013-12-25T15:52:52Z

188.134.38.145:

== Нормальные подгруппы ==
{{Определение
|definition=
[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если <tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>.
}}

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Подгруппа <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> нормальна тогда и только тогда, когда для любых <tex>x \in G</tex> выполнено <tex>xHx^{-1}=H</tex>.
|proof=<tex>xHx^{-1} \subset H</tex> по определению <tex>H</tex> (это разве правда? 0_о). Подставив в предыдущее выражение <tex>x^{-1}</tex> вместо <tex>x</tex>, видим, что <tex>x^{-1}Hx \subset H</tex>. Следовательно, <tex>H = x(x^{-1}Hx)x^{-1} \subset xHx^{-1}</tex>.

Итого, <tex>xHx^{-1}=H</tex>. В другую сторону — прямо из определения.
}}
{{Утверждение
|statement=Любая подгруппа [[Абелева группа|абелевой группы]] {{---}} нормальна.
|proof=<tex>x n x^{-1} = x x^{-1} n = en = n</tex>.
}}

=== Примеры ===
* Подгруппа <tex>H =\{(1)</tex>, <tex>(2</tex> <tex>3)\}</tex> группы <tex>S_3</tex> [[Симметрическая группа|группы перестановок]] множества из трех элементов не является абелевой.

[[Категория: Теория групп]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритмы алгебры и теории чисел

Нормальная подгруппа