Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Перечислимые языки

2013-12-18T16:09:21Z

188.162.64.124:

{{Определение
|definition =
'''Полуразрешимый язык''' ('''semi-decidable language''') {{---}} язык, для которого существует программа <tex>p</tex> такая, что <tex>\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''Перечислимый язык''' ('''recursively enumerable language''') {{---}} язык, для которого существует программа <tex>g</tex> такая, что <tex>g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}</tex>. Язык <tex>L</tex> называется '''коперечислимым''' ('''co{{---}}enumerable'''), если <tex>\overline L</tex> {{---}}перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется <tex> \mathrm{RE} </tex>, а всех коперечислимих <tex> \mathrm{co}</tex>-<tex>\mathrm{RE}</tex> .
}}

{{Определение
|definition =
Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Запуск программы <tex>p</tex> с '''тайм-лимитом''' ('''time limit''') <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт <tex>\bot</tex> (символ зависания).
}}

{{Теорема
|id=th1
|statement=
<tex>L</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L</tex> {{---}} полуразрешимый.
|proof=
Пусть <tex>L</tex> {{---}} перечислимый язык. Тогда для него существует программа <tex>g</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex>. Значит, для всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex> путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что <tex> g(i) = x</tex>. Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, что <tex>\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>. Тогда <tex>L</tex> является полуразрешимым языком.
<tex>p(x):</tex>
for <tex> i = 1 ~ .. ~ \infty</tex>
if <tex> g(i) == x</tex>
return <tex> 1</tex>
Пусть <tex>L</tex> {{---}} полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>1</tex> для любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p</tex> не зависала на словах, которые не принадлежат <tex>L</tex>, будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу <tex>p</tex>. Таким образом существует программа <tex>g_0</tex>, которая выводит <tex>i</tex> слово языка <tex>L</tex> с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex> является перечислимым языком.
<tex>g_0(i):</tex>
<tex>cnt = 0</tex>
for <tex> k = 1 ~ .. ~ \infty</tex>
for <tex> x \in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex>
if <tex> p|_k(x) == 1</tex>
<tex>cnt</tex>++
if <tex> cnt == i</tex>
return <tex> x</tex>
<tex>g(i):</tex>
<tex>U = \emptyset</tex>
for <tex> j = 1 ~ .. ~ \infty</tex>
<tex>x = g_0(j)</tex>
if <tex> x \notin U</tex>
<tex>cnt</tex>++
if <tex> cnt == i</tex>
return <tex> x</tex>
<tex>U.insert(x)</tex>

Приведённые программы доказывают эквивалентность определений.
}}

{{Теорема
|id=th2
|statement=
Любой [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки | разрешимый язык]] <tex>L</tex> является перечислимым.
|proof=
Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то <tex>L</tex> является перечислимым.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>L</tex> {{---}} перечислим и коперечислим <tex>\Rightarrow</tex> <tex>L</tex> {{---}} [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешим]].
|proof=
Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex> {{---}} разрешимый.
}}

== Источники ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. {{---}} М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursively_enumerable_language Wikipedia— Recursively enumerable language]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Рекурсивно перечислимый язык]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]

Теорема Татта о существовании полного паросочетания

2013-12-17T17:15:35Z

188.162.64.124:

{{Определение
|definition =<tex>o(\mathbb{G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>\mathbb{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' {{---}} это компонента связности, содержащая нечетное число вершин.
}}

{{Определение
|definition ='''Множество Татта''' графа <tex>\mathbb{G}</tex> {{---}} множество <tex>S \subset \mathbb{V_{G}}</tex>, для которого выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) > \left\vert S \right\vert</tex>
}}

==Критерий Татта==
Пусть <tex>\mathbb{G'}</tex> {{---}} граф, полученный из <tex>\mathbb{G}</tex>, добавлением ребер, при этом в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого нового ребра.

Пусть <tex> U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>.

Очевидно, что <tex>\left\vert U \right\vert \ne n</tex>, потому что <tex>G'</tex> {{---}} не полный граф.
{{Лемма
|statement= <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
|proof=Пусть это не так, тогда существуют вершины <tex>x,y,z \in \mathbb{V_\mathbb{G'}} \setminus U</tex>, такие что <tex>xy, yz \in \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>, но <tex>xz \notin \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>. Так как <tex>y \notin U</tex>, то <tex>\exists t \notin U: yt \notin \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>.

В графе <tex>\mathbb{G'}+xz</tex> существует полное паросочетание <tex>M_1</tex>, так как граф <tex>\mathbb{G'}</tex> максимальный по построению. Аналогично, в графе <tex>\mathbb{G'}+yt</tex> существует полное паросочетание <tex>M_2</tex>. Так как в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания, то <tex>xz \in M_1</tex> и <tex>yt \in M_2</tex>.

Возможны два случая:

* Вершины <tex>x,z</tex> и <tex>y,t</tex> лежат в разных полных подграфах графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex>, обозначим их <tex>H_1</tex> и <tex>H_2</tex>, соответственно.

Покроем вершины подграфа <tex>H_1</tex> паросочетанием <tex>M_2</tex>, при этом заметим, что ребро <tex>xz</tex> не входит в это паросочетание. Аналогично покроем паросочетанием <tex>M_1</tex> вершины подрафа <tex>H_2</tex> и ребро <tex>yt</tex> не войдет в это паросочетание. Если остались непокрытые вершины, то покроем их ребрами из любого паросочетания <tex>M_1</tex> или <tex>M_2</tex>. Таким образом, мы получим полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>, что противоречит его построению.

* Вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат в одном подграфе графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex>.

Построим граф <tex>H</tex>, такой что <tex>\mathbb{V_\mathbb{H}}=\mathbb{V_\mathbb{G'}}=\mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> и <tex>\mathbb{E_\mathbb{H}}=M_1 \oplus M_2</tex>. Получим, что вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат на каком-то чередующемся цикле. В силу симметричности <tex>x</tex> и <tex>z</tex> можно считать, что вершины расположены в порядке <tex>tzxy</tex>. Тогда существует путь <tex>P_1=t..zx..y</tex> и полное паросочетание в нем, следовательно существует и путь <tex>P_2=t..zy..x</tex>, содержащий только ребра графа <tex>\mathbb{G'}</tex>. Тогда покроем путь <tex>x..yz</tex> ребрами паросочетания <tex>M_2</tex>, а путь <tex>t..z</tex> покрооем ребрами паросочетания <tex>M_1</tex>, при этом вершина z останется непокрытой. Получили полное паросочетание на вершинах выбранного подграфа. В остальных подграфах выберем ребра любого из паросочетаний <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. Таким образом, получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>, противоречие.

В каждом из возможных случаев получили противоречие, значит, наше начальное предположение тоже неверно и <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов, лемма доказана.
}}

== Теорема Татта ==

{{Теорема
|statement=В графе <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>
|proof =
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G}</tex> и множество вершин <tex>S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex>.

Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> \mathbb{G} \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>\mathbb{G}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.

Рассмотрим граф <tex>\mathbb{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex> (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> выполнено <tex>o(\mathbb{G'} \setminus S) \leqslant o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.

Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>o(G' \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Если все вершины множества <tex>U</tex> оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>. Противоречие, так как по построению в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания.

Значит, в <tex>U</tex> осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в <tex>\mathbb{G'}</tex> четно, так как <tex>o(\mathbb{G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex> и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>\mathbb{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.

Таким образом, получили в <tex>\mathbb{G'}</tex> полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально.

Значит, начальное предположение не верно, и в <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание.

}}