Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Дифференциальные уравнения

2015-09-12T13:34:40Z

188.162.65.26: /* Задача Коши */

[[Дифференциальные уравнения]]

==Определения==
{{Определение
|definition=Соотношение вида <tex>F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)</tex> называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).}}
{{Определение
|definition=Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.}}
{{Определение
|definition=<tex>F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - </tex> дифференциальное уравнение 1-го порядка}}
{{Определение
|definition=Решением дифференциального уравнения <tex>(2)</tex> называется функция <tex>y(x) \in C(a,b):</tex> <tex>F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0</tex>}}
{{Определение
|definition=<tex>\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - </tex> уравнение в нормальной форме.
}}

{{Определение
|definition=Изоклиной ДУ<tex>(3)</tex> называется кривая определяемая равенством <tex>f(x,y)=k</tex>, где <tex>k - const , tg\alpha = k</tex>.}}

==Задача Коши==
{{Определение|definition=Задача нахождения решения дифференциального уравнения <tex>\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)</tex>, которое удовлетворяет следующим условиям: <tex>\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0}

\end{matrix}\right.</tex> называется задачей Коши (начальной задачей)}}
в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на <tex>f(x,y):</tex> 
<tex>f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix}
\left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b

\end{matrix}\right.</tex> <tex>\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M > 0</tex>
{{Определение
|definition=условие Липшица: <tex>\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D</tex> для некоторой константы <tex>l > 0</tex>}}
Очевидно, условие Липшица выполняется при условии <tex>\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)</tex>.

{{Теорема|author=Пикар
|statement=Пусть <tex>f(x,y)</tex> удовлетворяет условию Липшица и <tex>f(x,y) \in C(D)</tex>, тогда существует единственное решение задачи Коши
<tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)</tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})</tex>.
|proof=Переформулируем задачу Коши следующим образом: <tex>y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y)d\bar{x}</tex> 
Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: <tex>y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{n-1}(\bar{x}))d\bar{x}</tex>. Далее возможны два случая: 1) <tex>y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -</tex> решение. 
2) <tex>f(x, y_{0}) \neq 0:</tex> предварительно докажем, что: 
<tex>a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex> 
<tex>b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex> 
<tex>c) \:\:\: y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\:</tex> 
<tex>d) \:\:\: \bar{y}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex> 
<tex>e) \:\:\: \left | \bar{y}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex> 
 a), b) База: <tex> \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .</tex> По теореме Барроу <tex>y_{1}(x) \: - </tex> непрерывна при <tex>\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.</tex> <tex>\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.</tex> переход доказывается аналогично. 
c) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Составим функциональный ряд <tex>y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + \dotsb</tex> и замажорируем его слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности. 
<tex>\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh</tex> 
<tex>\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{1} - y_{0}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex>lM \int_{x_{0}}^{x}\left | \bar{x} - x_{0} \right | d\bar{x} = lM \frac{\left | x - x_{0} \right |^{2}}{2} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{2}}{2}</tex> 
<tex>\left | y_{3} - y_{2}\right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{2}) - f(\bar{x}, y_{1})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}lM \frac{\left | \bar{x} - x_{0} \right |^{2}}{2}d\bar{x} =</tex> <tex> \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{3}}{6} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{3}}{3!}</tex> 
<tex>...</tex> 
<tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex> 
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: <tex> \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).</tex> Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд равомерно сходится к некоторой функции <tex>\bar{y}(x)</tex>, которая будет непрерывна и огранинченна в силу непрерывности и ограниченности <tex>y_{n}(x)</tex> ( d), e)).
 Теперь проверим, что <tex>\bar{y}(x)</tex> является решением задачи Коши. т.к. <tex>y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\: \Leftrightarrow \: \forall \varepsilon > 0 \: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n > N \Rightarrow \left | y_{n}(x) - \bar{y}(x) \right | < \varepsilon, \: </tex><tex>\: \forall x \in (x_{0} - h, x_{0} + h).</tex> 
<tex>\left | y_{n}(x) - \bar{y}(x) \right | = \left | \int_{x_{0}}^{x} (f(\bar{x}, y_{n}) - f(\bar{x}, \bar{y}))d\bar{x} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n} - \bar{y} \right |d\bar{x} \leqslant l \varepsilon h</tex>. Видим, что для функции <tex>\bar{y}(x)</tex> выполяется <tex>\bar{y}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},\bar{y})d\bar{x}</tex> значит, она будет решением. 
Докажем единственность. }}

Дифференциальные уравнения

2015-09-12T13:24:04Z

188.162.65.26: /* Задача Коши */

[[Дифференциальные уравнения]]

==Определения==
{{Определение
|definition=Соотношение вида <tex>F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)</tex> называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).}}
{{Определение
|definition=Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.}}
{{Определение
|definition=<tex>F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - </tex> дифференциальное уравнение 1-го порядка}}
{{Определение
|definition=Решением дифференциального уравнения <tex>(2)</tex> называется функция <tex>y(x) \in C(a,b):</tex> <tex>F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0</tex>}}
{{Определение
|definition=<tex>\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - </tex> уравнение в нормальной форме.
}}

{{Определение
|definition=Изоклиной ДУ<tex>(3)</tex> называется кривая определяемая равенством <tex>f(x,y)=k</tex>, где <tex>k - const , tg\alpha = k</tex>.}}

==Задача Коши==
{{Определение|definition=Задача нахождения решения дифференциального уравнения <tex>\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)</tex>, которое удовлетворяет следующим условиям: <tex>\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0}

\end{matrix}\right.</tex> называется задачей Коши (начальной задачей)}}
в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на <tex>f(x,y):</tex> 
<tex>f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix}
\left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b

\end{matrix}\right.</tex> <tex>\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M > 0</tex>
{{Определение
|definition=условие Липшица: <tex>\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D</tex> для некоторой константы <tex>l > 0</tex>}}
Очевидно, условие Липшица выполняется при условии <tex>\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)</tex>.

{{Теорема|author=Пикар
|statement=Пусть <tex>f(x,y)</tex> удовлетворяет условию Липшица и <tex>f(x,y) \in C(D)</tex>, тогда существует единственное решение задачи Коши
<tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)</tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})</tex>.
|proof=Переформулируем задачу Коши следующим образом: <tex>y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y)d\bar{x}</tex> 
Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: <tex>y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{n-1}(\bar{x}))d\bar{x}</tex>. Далее возможны два случая: 1) <tex>y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -</tex> решение. 
2) <tex>f(x, y_{0}) \neq 0:</tex> предварительно докажем, что: 
<tex>a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex> 
<tex>b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex> 
<tex>c) \:\:\: y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\:</tex> 
<tex>d) \:\:\: \bar{y}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex> 
<tex>e) \:\:\: \left | \bar{y}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex> 
 a), b) База: <tex> \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .</tex> По теореме Барроу <tex>y_{1}(x) \: - </tex> непрерывна при <tex>\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.</tex> <tex>\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.</tex> переход доказывается аналогично. 
c) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Составим функциональный ряд <tex>y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + \dotsb</tex> и замажорируем его слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности. 
<tex>\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh</tex> 
<tex>\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{1} - y_{0}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex>lM \int_{x_{0}}^{x}\left | \bar{x} - x_{0} \right | d\bar{x} = lM \frac{\left | x - x_{0} \right |^{2}}{2} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{2}}{2}</tex> 
<tex>\left | y_{3} - y_{2}\right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{2}) - f(\bar{x}, y_{1})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}lM \frac{\left | \bar{x} - x_{0} \right |^{2}}{2}d\bar{x} =</tex> <tex> \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{3}}{6} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{3}}{3!}</tex> 
<tex>...</tex> 
<tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex> 
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: <tex> \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).</tex> Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд равомерно сходится к некоторой функции <tex>\bar{y}(x)</tex>, которая будет непрерывна и огранинченна в силу непрерывности и ограниченности <tex>y_{n}(x)</tex> ( d), e)).
 Теперь проверим, что <tex>\bar{y}(x)</tex> является решением задачи Коши. т.к. <tex>y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\: \Leftrightarrow \: \forall \varepsilon > 0 \: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n > N \Rightarrow \left | y_{n}(x) - y(x) \right | < \varepsilon, \: </tex><tex>\: \forall x \in (x_{0} - h, x_{0} + h).</tex> 
<tex>\left | y_{n}(x) - y(x) \right | = \left | \int_{x_{0}}^{x} (f(\bar{x}, y_{n}) - f(\bar{x}, y))d\bar{x} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n} - y \right |d\bar{x} \leqslant l \varepsilon h</tex> }}