http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=188.162.65.30&*
Викиконспекты - Вклад участника [ru]
2026-05-20T01:54:28Z
Вклад участника
MediaWiki 1.30.0
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=49288
Дифференциальные уравнения
2015-09-08T15:06:48Z
<p>188.162.65.30: /* Задача Коши */</p>
<hr />
<div>[[Дифференциальные уравнения]]<br />
<br />
==Определения==<br />
{{Определение<br />
|definition=Соотношение вида <tex>F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)</tex> называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).}}<br />
{{Определение<br />
|definition=Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.}}<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - </tex> дифференциальное уравнение 1-го порядка}}<br />
{{Определение<br />
|definition=Решением дифференциального уравнения <tex>(2)</tex> называется функция <tex>y(x) \in C(a,b):</tex><br><tex>F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0</tex>}}<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - </tex> уравнение в нормальной форме.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Изоклиной ДУ<tex>(3)</tex> называется кривая определяемая равенством <tex>f(x,y)=k</tex>, где <tex>k - const , tg\alpha = k</tex>.}}<br />
<br />
==Задача Коши==<br />
{{Определение|definition=Задача нахождения решения дифференциального уравнения <tex>\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)</tex>, которое удовлетворяет следующим условиям:<br><tex>\left\{\begin{matrix}<br />
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0} <br />
<br />
\end{matrix}\right.</tex><br> называется задачей Коши (начальной задачей)}}<br />
в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на <tex>f(x,y):</tex><br><br />
<tex>f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix}<br />
\left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b<br />
<br />
\end{matrix}\right.</tex><br><tex>\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M > 0</tex><br />
{{Определение<br />
|definition=условие Липшица: <br><tex>\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D</tex> для некоторой константы <tex>l > 0</tex>}}<br />
Очевидно, условие Липшица выполняется при условии <tex>\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)</tex>.<br />
<br />
{{Теорема|author=Пикар<br />
|statement=Пусть <tex>f(x,y)</tex> удовлетворяет условию Липшица и <tex>f(x,y) \in C(D)</tex>, тогда существует единственное решение задачи Коши <br />
<tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)</tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})</tex>.<br />
|proof=Мамой клянусь.}}</div>
188.162.65.30