Моноид

2015-09-28T16:33:21Z

188.162.65.35: /* Примеры */ добавлено, что натуральные числа с нейтральным нулём -- не моноид

{{Определение
|definition=
Кортеж <tex>\langle G,\cdot: G \times G \to G, \varepsilon \in G \rangle</tex> называется [[моноид|моноидом]], если он удовлетворяет следующим аксиомам:
* Бинарная операция <tex>\cdot</tex> — определена везде и [[Ассоциативная операция | ''ассоциативна'']].
* <tex>\varepsilon</tex> называется нейтральным элементом относительно <tex>\cdot</tex>, то есть для него выполняется:
: <tex> \forall x\in G : \varepsilon\cdot x=x \cdot \varepsilon = x</tex>. Иногда его обозначают <tex> \varepsilon_G </tex>, или <tex>e_G </tex>.
}}

Другими словами, моноид {{---}} это [[Полугруппа|полугруппа]], в которую добавлен нейтральный элемент.

== Примеры ==

* множество натуральных чисел <tex> \mathbb{N} </tex> с операцией сложения является моноидом <tex>\langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle</tex>
* множество положительных целых <tex> \mathbb{Z}_+ </tex> с операцией умножения является моноидом <tex>\langle\mathbb{Z}_+, \cdot, 1 \rangle</tex>
* множество натуральных числел с операцией умножения является моноидом <tex>\langle \mathbb{N}, \cdot, 1 \rangle</tex> с нейтральным элементом <tex>1</tex> (наличие нуля не мешает этой структуре быть моноидом: <tex>1 \cdot 0 = 0</tex>, как того и требует аксиома нейтрального элемента), но тройка <tex>\langle \mathbb{N}, \cdot, 0 \rangle</tex> моноидом уже не является.

== Свойства ==

{{Утверждение
|about=О единственности нейтрального элемента
|statement=Нейтральный элемент в моноиде единственен.
|proof=
Действительно, пусть <tex>\varepsilon_1</tex> и <tex>\varepsilon_2</tex> {{---}} два нейтральных элемента. Тогда имеем: <tex>\varepsilon_1 = \varepsilon_1\cdot \varepsilon_2 = \varepsilon_2</tex>.
}}

== Гомоморфизм моноидов ==
{{Определение
|id = defmonhom
|definition=
'''Гомоморфизмом моноидов''' (англ. ''monoid homomorphism'') <tex>\langle M, \cdot_M, \varepsilon_M \rangle </tex> и <tex>\langle N, \cdot_N, \varepsilon_N \rangle </tex> называется отображение <tex>\varphi \colon M \rightarrow N</tex> совместимое с операциями из <tex> M </tex> и <tex> N </tex>, то есть такое, что:

* <tex>\varphi(\varepsilon_M) = \varepsilon_N</tex>
* <tex> \forall x, y \in M \colon \varphi(x\cdot_M y) = \varphi(x) \cdot_N \varphi(y)</tex>
}}

== Свободный моноид над множеством ==

{{Определение
|definition=
'''Свободным моноидом''' (англ. ''free monoid'') <tex> M </tex> '''над множеством''' <tex> S </tex> <tex>(</tex>обозначается как <tex> M_S )</tex> называется моноид над множеством <tex> S^* </tex> {{---}} набором всевозможных последовательностей (или списков) конечной длины (в том числе и нулевой), образованных из элементов множества <tex> S </tex> {{---}} с ассоциативной операцией [[Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками#defconcat|конкатенации]] <tex>\texttt{++}</tex> этих последовательностей.
}}
=== Примеры свободного моноида над множеством ===

* тривиальный пример: множество <tex> S = \varnothing </tex>. Тогда <tex> S^* = \{\varnothing\} </tex>.
* <tex> S = \{1\} </tex>. Тогда <tex>S^* = \{[], [1], [1, 1], ... \} </tex>.

== Свободный моноид ==

{{Определение
|definition=
Моноид <tex>M</tex> называется '''свободным''', если он [[Изоморфизм групп | изоморфен]] некоторому свободному моноиду над каким-то множеством.
}}
=== Примеры свободного моноида ===

* <tex>\langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle </tex> {{---}} пример свободного моноида, так как он изоморфен свободному моноиду над <tex>S = \{1\}</tex>:
** <tex>i(0) = []</tex>
** <tex>i(a + b) = i(a) ~ \texttt{++} ~ i(b)</tex>

== Моноид с порождающими соотношениями ==

Введём дополнительное определение, чтобы привести пример моноида, не являющегося свободным.
{{Определение
|definition=
'''Моноидом с порождающими соотношениями''' (англ. ''equational presentation of monoid'') называется моноид, на котором введены дополнительные правила (то есть бинарные отношения на строках), отождествляющие некоторые элементы моноида.
}}
Примером такого моноида является множество <tex> G </tex> всевозможных строк над алфавитом <tex> \Sigma = \{a, b\} </tex>, <tex dpi = 130> G = \Sigma^{*}_{/ab = ba} </tex>, что обозначает равенство строк <tex> ab </tex> и <tex> ba </tex> в моноиде. И хотя такой моноид образован всевозможными последовательностями, он не является свободным. Покажем это.

{{Теорема
|statement= Моноид <tex dpi = 130> G = \Sigma^{*}_{/ab = ba} </tex> не является свободным
|proof=
Для начала покажем, что каждый элемент такого моноида можно представить в виде <tex> a^i b^j, i \geqslant 0, j \geqslant 0 </tex>. Докажем это конструктивно. Возьмём произвольную строку и будем в ней заменять все подстроки вида <tex> ba </tex> на подстроки <tex> ab </tex>. Если таких подстрок нет, то наша строка имеет вид <tex> a^i b^j </tex>, а если есть, то строка за конечное число шагов приведётся к указанному виду.

'''Замечание''': конкатенация двух последовательностей <tex> a^i b^j </tex> и <tex> a^k b^t </tex> аналогична операции конкатенации строк, только после её применения строку надо привести к виду <tex> a^{i + k} b^{j + t} </tex>, поэтому результат операции равен не конкретной строке, а целому [[Отношение эквивалентности#Классы эквивалентности | классу эквивалентности]].

Предположим, что данный моноид свободный. Это значит, что он изоморфен какому-то свободному моноиду над множеством <tex> M_S </tex>, то есть существует биективное отображение <tex> f \colon G \to M_S </tex>. Оно сохраняет ассоциативность операций, поэтому

<tex> f(ab) = f(a) ~\texttt{++}~ f(b) </tex>

<tex> f(ba) = f(b) ~\texttt{++}~ f(a) </tex>

Следовательно, так как <tex> ab = ba </tex> и отображение <tex> f </tex> является изоморфизмом, то <tex> f(ab) = f(a) ~\texttt{++}~ f(b) = f(b) ~\texttt{++}~ f(a) = f(ba) </tex>. Пусть <tex> |f(a)| = m, |f(b)| = n </tex>. Равенство этих последовательностей означает, что у последовательности <tex> f(a) ~\texttt{++}~ f(b) </tex> есть два [[Период и бордер, их связь | бордера]] длин <tex> m </tex> и <tex> n </tex> соответственно, значит, она периодическая и имеет период равный <tex>\gcd(n, m)</tex>.

[[File:FreeMonoidConcatExample.png|300px]]

Из этого следует, что последовательности <tex> f(a) </tex> и <tex> f(b) </tex> можно представить в виде конечного объединения некоторой подпоследовательности <tex> s </tex>, являющейся периодом и имеющей длину <tex>\gcd(n, m)</tex>.

<tex> f(a) = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{p} </tex>

<tex> f(b) = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{q} , s \in M_S </tex>

Пусть <tex>\mathrm{lcm}(p, q) = l</tex>, тогда

<tex dpi> \overbrace{f(a) ~\texttt{++}~ f(a) ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ f(a)}^{l / p} = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{l} </tex>

<tex dpi> \overbrace{f(b) ~\texttt{++}~ f(b) ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ f(b)}^{l / q} = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{l} </tex>

Откуда следует, что <tex dpi = 140> a^{l / p} = b^{l / q} </tex>, то есть отображение <tex> f </tex> не является изоморфизмом. Значит, мы пришли к противоречию, предположив, что данный моноид <tex dpi = 130> G = \Sigma^{*}_{/ab = ba} </tex> является свободным.

Равенство <tex> f(ab) = f(ba) </tex> может сохранять изоморфизм, если <tex> f(a) = [] </tex>, но тогда <tex> f(a) = f(aa) </tex>, что опять же приводит нас к противоречию.
}}

== См. также ==
* [[Группа]]
* [[Изоморфизм групп]]

== Источники информации ==
* [[wikipedia:Monoid | Wikipedia {{---}} Monoid ]]
* [[wikipedia:ru:Моноид | Википедия {{---}} Моноид ]]
* [[wikipedia:Free_monoid | Wikipedia {{---}} Free monoid ]]
* [http://ncatlab.org/nlab/show/free+monoid nLab {{---}} Free Monoid]
* [http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Free_Monoid Proof Wiki {{---}} Free monoid]
* [http://habrahabr.ru/post/112394/ Habrahabr {{---}} Моноиды и их приложения: моноидальные вычисления в деревьях]

[[Категория:Теория групп]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Моноид