Задача о минимуме/максимуме скалярного произведения

2013-11-05T23:40:12Z

188.162.65.84:

'''Задача о минимуме/максимуме скалярного произведения''' - задача о нахождении минимальной/максимальной суммы попарных произведений для двух заданных упорядоченных наборов чисел.

== Решение ==
Скалярным произведением двух упорядоченных последовательностей чисел будем называть число <tex>S = x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_m y_m</tex>
{{
Теорема
|about=о минимуме/максимуме скалярного произведения
|statement=Минимум скалярного произведения достигается при сопоставлении возрастащей последовательности <tex>x_1..x_m</tex> и убывающей последовательности <tex>y_1..y_m</tex>. При сопоставлении возрастающей <tex>y_1..y_m</tex> достигается максимум.

|proof=
1. Будем считать, что <tex>x_i</tex> отсортирована по возрастанию.

2. Покажем, что если существуют пары чисел <tex>(x_i, y_i)</tex> и <tex>(x_j, y_j)</tex>, такие что <tex>x_i < x_j</tex> и <tex>y_i < y_j</tex>, то скалярное произведение можно уменьшить, поменяв местами <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. Так так
<tex>(x_j - x_i)(y_j - y_i) > 0</tex>, то <tex>x_i y_i + x_j y_j > x_j y_i + x_i y_j</tex>.

3.Проделав такую замену для всех <tex>y_i < y_j</tex> получим отсортированную по убыванию последовательность <tex>y_i</tex>.

4. Аналогично для получения максимума во всех парах чисел <tex>(x_i, y_i)</tex> и <tex>(x_j, y_j)</tex>, таких что <tex>x_i < x_j</tex> и <tex>y_i > y_j</tex> нужно менять местами <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. В результате получится отсортированная по возрастанию последовательность.
}}

== Примечание ==
* Данная теорема также широко известна как [http://ru.wikipedia.org/wiki/Перестановочное_неравенство транс-неравенство или перестановочное неравенство].

== Литература ==
1. Романовский И. В. Дискретный анализ. — 3-е изд. — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — С. 320.

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Комбинаторика ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Задача о минимуме/максимуме скалярного произведения