Комплексное евклидово пространство

2017-06-04T11:55:50Z

188.170.72.60:

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - линейное пространство над <tex>\mathbb{C}</tex>

В <tex>E</tex> задана эрмитова метрическая форма, т.е <tex>G:\: E\times E\longrightarrow \mathbb{C}</tex> co свойствами:

<tex>1)\: G(\alpha x_{1}+\beta x_{2};y)=\alpha G(x_{1},y)+\beta G(x_{2},y)</tex>, где <tex>\alpha</tex> , <tex>\beta</tex> - комплексные числа

<tex>2)\: G(x,y)=\overline{G(y,x)}</tex>; <tex>G(x,x)=\overline{G(x,x)} \Longrightarrow G(x,x) \in \mathbb{R}</tex>

<tex>3)\: G(x,x) \ge 0;\: G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}</tex>
}}
NB 1: <tex>G</tex> полуторалинейна:
<tex>G(x;\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\overline{\alpha}G(x,y_{1})+\overline{\beta}G(x,y_{2})</tex>

NB 2: <tex>G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle _{G}; x,y \in E(</tex>над <tex> \mathbb{C})</tex>

NB 3: <tex>G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle _{G}</tex>

<tex>\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle _{G}};
\:\Vert\alpha x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle \alpha x,\alpha x\right\rangle _{G}}=\sqrt{\alpha\cdot\overline{\alpha}\cdot\left\langle x,x\right\rangle _{G}}=|\alpha|\cdot\Vert x\Vert_{G}
</tex>
==Примеры==
<tex>E = \mathbb{C}^{n}</tex>

<tex>\left\langle x,y\right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{n}\xi^{i}\overline{\eta^{i}}</tex>

<tex>\left\langle y,x\right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{n}\eta^{i}\overline{\xi^{i}}=\overline{\sum\limits \overline{\eta^{i}}\xi^{i}}=\overline{\left\langle x,y\right\rangle }</tex>;

<tex>\left\langle x,x\right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{n}\xi^{i}\overline{\xi^{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}|\xi^{i}|^{2}>0</tex>

==Неравенство Шварца(Коши-Буняковского)==
{{Теорема
|statement= <tex>\forall\: x,y\in \mathbb{C}:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}</tex>
|proof=
Рассмотрим <tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0</tex>, где <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>

<tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle </tex>
<tex>= \lambda\cdot\overline{\lambda}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\overline{\left\langle x;y\right\rangle })+\left\langle y,y\right\rangle </tex>
<tex>= \Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+\lambda\cdot 2Re\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0</tex> - многочлен второй степени, все коэффициенты вещественные

<tex>D \le 0</tex>

<tex> D/4=(-Re\left\langle x,y\right\rangle )^{2}-\Vert x\Vert^{2}\cdot\Vert y\Vert^{2}\le0\Longrightarrow |Re\left\langle x,y\right\rangle |\le\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</tex> - верно для <tex>\forall x,y\in E</tex>. Назовём это неравенство <tex>(\times)</tex> - крестик.

Трюк: пусть <tex>\left\langle x,y\right\rangle = |\left\langle x,y\right\rangle|\cdot e^{i\varphi}</tex>, где <tex>\varphi=arg\left\langle x,y\right\rangle</tex>. Тогда пусть в <tex>(\times): y \longrightarrow y\cdot e^{i\varphi} \Longrightarrow \Vert e^{i\varphi}y\Vert=|e^{i\varphi}|\cdot\Vert y\Vert</tex>

Заметим, что <tex>\left\langle x,e^{i\varphi}y\right\rangle= \overline{e^{i\varphi}}\left\langle x,y \right\rangle =
\overline{e^{i\varphi}}e^{i\varphi}\left|\left\langle x, y\right\rangle\right| = \left|\left\langle x, y\right\rangle\right|</tex>

Заменим в <tex>(\times)</tex> <tex>y</tex> на <tex>e^{i\varphi}y \: : |Re\left\langle x,e^{i\varphi}y\right\rangle|
\le\Vert x\Vert\cdot\Vert e^{i\varphi}y\Vert</tex>

левая часть равна <tex>|Re|\left\langle x,y\right\rangle|| = |\left\langle x,y\right\rangle|</tex>

правая часть равна <tex>\Vert x \Vert\cdot\Vert y\Vert</tex>

Таким образом, <tex>|\left\langle x,y\right\rangle| \le \Vert x \Vert\cdot\Vert y\Vert</tex>
}}
{{Теорема
|about=следствие из Шварца, неравенство треугольника
|statement= <tex>\Vert x+y \Vert \leq \Vert x\Vert+\Vert y\Vert</tex>
|proof= Рассмотрим <tex>\left\langle x+y, x+y\right\rangle={\Vert x+y \Vert}^{2} = \Vert x\Vert^{2}+\left\langle x,y\right\rangle+\left\langle y,x\right\rangle + \Vert y\Vert^{2} = \Vert x\Vert^{2}+2Re\left\langle x,y\right\rangle+ \Vert y\Vert^{2}</tex>

<tex>Re\left\langle x,y\right\rangle \le |\left\langle x,y\right\rangle| \le \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</tex> (из неравенства Шварца)

Таким образом, <tex>{\Vert x+y \Vert}^{2} \le \Vert x\Vert^{2}+2\cdot\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert+ \Vert y\Vert^{2}=(\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^2</tex>

Взяв корень из левой и правой части, получим искомое неравенство.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Комплексное евклидово пространство