Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Производящая функция

2017-06-14T17:35:02Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция''' (англ. ''generating function'') — это формальный степенной ряд:
<center>
<tex>G(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,
</center>
порождающий(производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex>.
}}
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.

__TOC__

== Применение ==
Производящая функция используется для:

* Компактной записи информации о последовательности.
* Нахождения зависимости <tex>a_n(n)</tex> для последовательности <tex>a_n</tex>, заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи.
* Нахождения рекуррентного соотношения для последовательности {{---}} вид производящей функции может помочь найти формулу.
* Исследования асимптотического поведения последовательности.
* Доказательства тождеств с последовательностями.
* Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике.Например, в доказательстве[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок <tex>m</tex> ладей на доске <tex>n</tex> × <tex>n</tex>.
* Вычисления бесконечных сумм.

== Примеры производящих функций ==
Рассмотрим производящие функции для различных комбинаторных последовательностей:

* <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа <tex>n</tex> в четное и нечетное число различных слагаемых.Например коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} <tex>+1</tex>, потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых <tex>(4+1; 3+2)</tex> и одно на нечетное (<tex>5</tex>). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять(второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять(первое {{---}} <tex>1</tex>). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.

* <tex> \prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} число разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые.

* <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} число разбиений на различные слагаемые.

* <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} число разбиений на нечётные слагаемые.С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n = l_n </tex>: <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ n})=\prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\dfrac{1-x^2}{1-x}\dfrac{1-x^4}{1-x^2}\dfrac{1-x^6}{1-x^3}\ldots=</tex>

<tex>=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1}{1-x^3}\dfrac{1}{1-x^5}\ldots=\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})</tex>

== Примеры решений задач методом производящих функций ==
=== Решение рекуррентных соотношений ===
Существует целый класс последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением, например, <tex>f_n</tex> {{---}} числа Фибоначчи или <tex>C_n</tex> {{---}}
[[Числа Каталана | числа Каталана]]. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> через номер элемента в последовательности в замкнутом виде, то есть в таком виде, что выражение можно вычислить, предполагая, что <tex>z</tex> достаточно мало.

Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению.Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \geqslant 0</tex>) в замкнутом виде.Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:

# Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>, равно <tex>k</tex>):
#: <tex>a_0=\ldots,</tex>
#: <tex>a_1=\ldots,</tex>
#: <tex>\ldots</tex>
#: <tex>a_{k-1}=\ldots,</tex>
#: <tex>a_{n}=\ldots, n \geqslant k.</tex>
# Домножить каждую строчку на <tex>z</tex> в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех <tex>n \geqslant 0 </tex>.
# В полученном уравнении привести все суммы к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.
# Выразить <tex>G(z)</tex> в явном виде (решить уравнение, полученное на предыдущем шаге) и разложить производящую функцию в ряд по степеням <tex>z</tex>.

Для демонстрации универсальности метода рассмотрим довольно произвольное рекуррентное соотношение:

<tex>a_0= 1,</tex>

<tex>a_1= 2,</tex>

<tex>a_n= 6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n, n \geqslant 2</tex>

Запишем производящую функцию для этой последовательности и преобразуем правую часть:

<tex>G(z)=a_0+a_1z+\sum\limits_{n=2}^\infty(6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n) z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-1}
z^n - 8\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-2}
z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum\limits_{n=1}^\infty a_ { n }
z^n - 8z^2\sum\limits_{n=0}^\infty a_ { n }
z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex> (в нашем случае последовательность <tex>b_n= (1, 1, 1, \ldots)</tex>). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции <tex>B(z)</tex>, производящей для <tex>b_n</tex>, с последующим умножением результата на <tex>z</tex>:

<tex>zB'(z)=z(\sum\limits_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum\limits_{ n = 1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty nb_n z^n</tex>

Тогда замкнем последнее слагаемое следующим образом:

<tex>\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n=z \sum\limits_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z(\sum\limits_{ n = 2}^\infty z^n)'</tex>

<tex>\sum\limits_{n=2}^\infty z^n=\sum\limits_{n=0}^\infty z^n-1-z=\dfrac{1}{1-z}-1-z=\dfrac{z^2}{1-z}</tex>

<tex>z(\dfrac{ z ^ 2}{1-z})'=\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>

Таким образом наше последнее слагаемое примет вид:

<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем <tex>G(z)</tex>:

<tex>G(z)=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}</tex>

Разложим знаменатель на множители и разобьём дробь на сумму простых дробей <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril04/ О разложении рациональной функции в ряд]</ref>:

<tex> G(z) =\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-2z)(1-4z)(1-z)^2}=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}</tex>

Разложим первое слагаемое в ряд, используя расширенные биномиальные коэффициенты <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]</ref>:

<tex>\dfrac{ 1}{(1-z)^2}=(1-z)^{-2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} {-2\choose n}(-z)^n=</tex>

<tex>=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n{n+1\choose 1}(-z)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n</tex>

<tex>G(z)=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}=</tex>

<tex>=\dfrac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n +\dfrac{7}{9}\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n - \dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n z^n + \dfrac{7}{18}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 4^n z^n</tex>

<tex>a_n=\dfrac{n+1}{3}+\dfrac{7}{9}-\dfrac{2^n}{2}+\dfrac{7 \cdot 4^n}{18}=\dfrac{7 \cdot 4^n+6n+20}{18}-2^{n-1}</tex>

=== Расчет дисперсии геометрического распределения ===
Метод производящих функций также используется для нахождения [[Дисперсия случайной величины | математического ожидания и дисперсии]] различных распределений в теории вероятностей. Например, в геометрическом распределении <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Геометрическое распределение]</ref> для нахождения дисперсии <tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:

* <tex>\operatorname{E}(\xi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} </tex>

* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}p(1-p)^{n-1}</tex>

которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3\ldots</tex> и <tex>1, 4, 9\ldots</tex>:

* <tex>\operatorname{ E}(\xi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} = </tex>

<tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1) p(1-p)^{n} = </tex>

<tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}n p(1-p)^{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} p(1-p)^{n-1} = </tex>

<tex>= (1-p) \operatorname{E}(\xi) +1 \Rightarrow \operatorname{E}(\xi) = \dfrac{1}{p}</tex>

* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}(1-p)^{n-1} =</tex>

<tex>=p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(1-p)^{n-1} - p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1} =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n+1} + p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n} =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n}\cdot(1-p)\right) =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\right) =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ (1 - p) ^ 2}{p}\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1 - p}{p}\right) =</tex>

<tex>= p\cdot\dfrac{2}{p^3} - p\cdot\dfrac{1}{p^2} = \dfrac{2}{p^{2}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{2-p}{p^{2}}</tex>.

Тогда:

<tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2= \dfrac{2-p}{p^{2}}-\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}</tex>

=== Пример задачи на нахождение производящей функции ===
{{Задача
| about =
| definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>1</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся в <tex>0</tex> и оканчивающихся:

<tex>(a)</tex> в <tex>0</tex>;

<tex>(</tex>б<tex>)</tex> в <tex>0</tex> и не заходящих в отрицательную полупрямую.
}}
=== Решение ===
<tex>(a)</tex> Заметим, что для того, чтобы закончить путь в <tex>0</tex> необходимо совершить равное число шагов вправо и влево. Тогда задача сводится к тому, чтобы выбрать <tex>\dfrac{n}{2}</tex> позиций для, например, шагов вправо из всего <tex>n</tex> шагов. Тогда ответом будет сумма от нуля до бесконечности по <tex>n</tex> всех <tex>C^{n}_{2n}</tex>. То есть:
<tex>
g(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C^{n}_{2n} x^n
</tex>
Рассмотрим <tex>f(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C_n x^n </tex>, где <tex>C_n</tex> {{---}} [[Числа Каталана | число Каталана]]. Тогда, заметим что <tex>f'(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} n C_n x^{n-1} </tex>. Так как <tex>C_n = \dfrac{1}{n+1} C_{2n}^n </tex>, то справедливо равенство:
<tex>
g(x) = (n+1)f(x) = xf'(x) + f(x)
</tex>

Мы знаем, что производящая функция для чисел Каталана равна <tex>f(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}</tex>. Найдем <tex>f'(x)</tex>.

<tex>
f'(x) = \dfrac{\dfrac{4x}{\sqrt{1-4x}} - 2 + 2\sqrt{1-4x}}{4x^2} = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x^2 \sqrt{1-4x}}
</tex>

Соответственно, ответом будет производящая функция вида:

<tex>
g(x) = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x \sqrt{1-4x}} + \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
</tex>

(б) Заметим, что задача аналогична [[Правильные скобочные последовательности | Правильной скобочной последовательности]]. Тогда производящей функцией для нашей задачи будет производящая функция для правильной скобочной последовательности, а именно:

<tex>
g(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
</tex>

== Приложения ==
=== Примеры простых производящих функций ===
На последнем шаге приведения производящей функции к замкнутому виду требуется разложить полученные слагаемые в ряд. Для этого можно воспользоваться таблицей основных производящих функций <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril03/ Таблица производящих функций]</ref>.

Все суммы выполняются по переменной <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>\infty</tex>. Элементы последовательности нумеруются от <tex>0</tex>.
{| class="wikitable" style="width:30cm" border=1
|+
|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| '''Последовательность''' || '''Производящая функция в виде ряда''' || '''Производящая функция в замкнутом виде'''
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 0, 0,\ldots)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (<tex>m</tex> нулей в начале) || <tex>z^m</tex> || <tex>z^m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 1, 1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0, \ldots 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (повторяется через <tex>m</tex>) || <tex>\sum\limits z^{nm}</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z^m}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, -1, 1, -1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (-1)^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1+z}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 2, 3, 4,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (n+1)z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 2, 4, 8, 16,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits 2^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-2z)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, r, r^2, r^3,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits r^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-rz)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>{m\choose 0}, {m\choose 1}, {m\choose 2}, {m\choose 3},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {m\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>(1+z)^m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>1, {{m}\choose m}, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {{m+n-1}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^m}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>1, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m}, {{m+3}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {{m+n}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^{m+1}}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(0, 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\ln(1+z)</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{24},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{n!}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>e^z</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, -\dfrac{1}{2!}m^2, \dfrac{1}{4!}m^4, -\dfrac{1}{6!}m^6, \dfrac{1}{8!}m^8,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n)!}</tex> <tex>m^{(2n)}</tex> || <tex>\cos m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(m, -\dfrac{1}{3!}m^3, \dfrac{1}{5!}m^5, -\dfrac{1}{7!}m^7, \dfrac{1}{9!}m^9,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n-1)!}</tex> <tex>m^{(2n-1)}</tex> || <tex>\sin m</tex>
|}

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]

Производящая функция

2017-06-13T20:01:35Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция''' (англ. ''generating function'') — это формальный степенной ряд:
<center>
<tex>G(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,
</center>
порождающий(производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex>.
}}
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.

__TOC__

== Применение ==
Производящая функция используется для:

* Компактной записи информации о последовательности.
* Нахождения зависимости <tex>a_n(n)</tex> для последовательности <tex>a_n</tex>, заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи.
* Нахождения рекуррентного соотношения для последовательности {{---}} вид производящей функции может помочь найти формулу.
* Исследования асимптотического поведения последовательности.
* Доказательства тождеств с последовательностями.
* Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике.Например, в доказательстве[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок <tex>m</tex> ладей на доске <tex>n</tex> × <tex>n</tex>.
* Вычисления бесконечных сумм.

== Примеры производящих функций ==
Рассмотрим производящие функции для различных комбинаторных последовательностей:

* <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа <tex>n</tex> в четное и нечетное число различных слагаемых.Например коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} <tex>+1</tex>, потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых <tex>(4+1; 3+2)</tex> и одно на нечетное (<tex>5</tex>). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять(второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять(первое {{---}} <tex>1</tex>). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.

* <tex> \prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} число разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые.

* <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} число разбиений на различные слагаемые.

* <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} число разбиений на нечётные слагаемые.С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n = l_n </tex>: <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ n})=\prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\dfrac{1-x^2}{1-x}\dfrac{1-x^4}{1-x^2}\dfrac{1-x^6}{1-x^3}\ldots=</tex>

<tex>=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1}{1-x^3}\dfrac{1}{1-x^5}\ldots=\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})</tex>

== Примеры решений задач методом производящих функций ==
=== Решение рекуррентных соотношений ===
Существует целый класс последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением, например, <tex>f_n</tex> {{---}} числа Фибоначчи или <tex>C_n</tex> {{---}}
[[Числа Каталана | числа Каталана]]. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> через номер элемента в последовательности в замкнутом виде, то есть в таком виде, что выражение можно вычислить, предполагая, что <tex>z</tex> достаточно мало.

Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению.Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \geqslant 0</tex>) в замкнутом виде.Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:

# Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>, равно <tex>k</tex>):
#: <tex>a_0=\ldots,</tex>
#: <tex>a_1=\ldots,</tex>
#: <tex>\ldots</tex>
#: <tex>a_{k-1}=\ldots,</tex>
#: <tex>a_{n}=\ldots, n \geqslant k.</tex>
# Домножить каждую строчку на <tex>z</tex> в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех <tex>n \geqslant 0 </tex>.
# В полученном уравнении привести все суммы к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.
# Выразить <tex>G(z)</tex> в явном виде (решить уравнение, полученное на предыдущем шаге) и разложить производящую функцию в ряд по степеням <tex>z</tex>.

Для демонстрации универсальности метода рассмотрим довольно произвольное рекуррентное соотношение:

<tex>a_0= 1,</tex>

<tex>a_1= 2,</tex>

<tex>a_n= 6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n, n \geqslant 2</tex>

Запишем производящую функцию для этой последовательности и преобразуем правую часть:

<tex>G(z)=a_0+a_1z+\sum\limits_{n=2}^\infty(6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n) z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-1}
z^n - 8\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-2}
z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum\limits_{n=1}^\infty a_ { n }
z^n - 8z^2\sum\limits_{n=0}^\infty a_ { n }
z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex> (в нашем случае последовательность <tex>b_n= (1, 1, 1, \ldots)</tex>). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции <tex>B(z)</tex>, производящей для <tex>b_n</tex>, с последующим умножением результата на <tex>z</tex>:

<tex>zB'(z)=z(\sum\limits_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum\limits_{ n = 1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty nb_n z^n</tex>

Тогда замкнем последнее слагаемое следующим образом:

<tex>\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n=z \sum\limits_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z(\sum\limits_{ n = 2}^\infty z^n)'</tex>

<tex>\sum\limits_{n=2}^\infty z^n=\sum\limits_{n=0}^\infty z^n-1-z=\dfrac{1}{1-z}-1-z=\dfrac{z^2}{1-z}</tex>

<tex>z(\dfrac{ z ^ 2}{1-z})'=\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>

Таким образом наше последнее слагаемое примет вид:

<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем <tex>G(z)</tex>:

<tex>G(z)=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}</tex>

Разложим знаменатель на множители и разобьём дробь на сумму простых дробей <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril04/ О разложении рациональной функции в ряд]</ref>:

<tex> G(z) =\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-2z)(1-4z)(1-z)^2}=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}</tex>

Разложим первое слагаемое в ряд, используя расширенные биномиальные коэффициенты <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]</ref>:

<tex>\dfrac{ 1}{(1-z)^2}=(1-z)^{-2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} {-2\choose n}(-z)^n=</tex>

<tex>=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n{n+1\choose 1}(-z)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n</tex>

<tex>G(z)=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}=</tex>

<tex>=\dfrac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n +\dfrac{7}{9}\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n - \dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n z^n + \dfrac{7}{18}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 4^n z^n</tex>

<tex>a_n=\dfrac{n+1}{3}+\dfrac{7}{9}-\dfrac{2^n}{2}+\dfrac{7 \cdot 4^n}{18}=\dfrac{7 \cdot 4^n+6n+20}{18}-2^{n-1}</tex>

=== Расчет дисперсии геометрического распределения ===
Метод производящих функций также используется для нахождения [[Дисперсия случайной величины | математического ожидания и дисперсии]] различных распределений в теории вероятностей. Например, в геометрическом распределении <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Геометрическое распределение]</ref> для нахождения дисперсии <tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:

* <tex>\operatorname{E}(\xi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} </tex>

* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}p(1-p)^{n-1}</tex>

которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3\ldots</tex> и <tex>1, 4, 9\ldots</tex>:

* <tex>\operatorname{ E}(\xi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} = </tex>

<tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1) p(1-p)^{n} = </tex>

<tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}n p(1-p)^{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} p(1-p)^{n-1} = </tex>

<tex>= (1-p) \operatorname{E}(\xi) +1 \Rightarrow \operatorname{E}(\xi) = \dfrac{1}{p}</tex>

* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}(1-p)^{n-1} =</tex>

<tex>=p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(1-p)^{n-1} - p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1} =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n+1} + p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n} =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n}\cdot(1-p)\right) =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\right) =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ (1 - p) ^ 2}{p}\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1 - p}{p}\right) =</tex>

<tex>= p\cdot\dfrac{2}{p^3} - p\cdot\dfrac{1}{p^2} = \dfrac{2}{p^{2}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{2-p}{p^{2}}</tex>.

Тогда:

<tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2= \dfrac{2-p}{p^{2}}-\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}</tex>

== Еще примеры ==
{{Задача
| about =
| definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>1</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся в <tex>0</tex> и оканчивающихся:

<tex>(a)</tex> в <tex>0</tex>;

<tex>(</tex>б<tex>)</tex> в <tex>0</tex> и не заходящих в отрицательную полупрямую.
}}
=== Решение ===
<tex>(a)</tex> Заметим, что для того, чтобы закончить путь в 0 необходимо совершить равное число шагов вправо и влево. Тогда задача сводится к тому, чтобы выбрать <tex>\dfrac{n}{2}</tex> позиций для, например, шагов вправо из всего <tex>n</tex> шагов. Тогда ответом будет сумма от нуля до бесконечности по <tex>n</tex> всех <tex>C^{n}_{2n}</tex>. То есть,
<center>
<tex>
g(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C^{n}_{2n}
</tex>
</center>
Рассмотрим <tex>f(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C_n x^n </tex>, где <tex>C_n</tex> {{---}} число Каталана. Тогда, заметим что <tex>f'(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} n C_n x^{n-1} </tex>. Т.к. <tex>C_n = \dfrac{1}{n+1} C_{2n}^n </tex>, то справедливо равенство:

<center>
<tex>
g(x) = (n+1)f(x) = xf'(x) + f(x)
</tex>
</center>

Мы знаем, что производящая функция для чисел Каталана равна <tex>f(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}</tex>. Найдем <tex>f'(x)</tex>.

<center>
<tex>
f'(x) = \dfrac{\dfrac{4x}{\sqrt{1-4x}} - 2 + 2\sqrt{1-4x}}{4x^2} = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x^2 \sqrt{1-4x}}
</tex>
</center>
Соответственно, ответом будет производящая функция вида:

<center>
<tex>
g(x) = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x \sqrt{1-4x}} + \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
</tex>
</center>

(б) Заметим, что задача аналогична Правильной скобочной последовательности. Тогда производящей функцией для нашей задачи будет производящая функция для ПСП, а именно:

<center>
<tex>
g(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
</tex>
</center>

== Приложения ==
=== Примеры простых производящих функций ===
На последнем шаге приведения производящей функции к замкнутому виду требуется разложить полученные слагаемые в ряд. Для этого можно воспользоваться таблицей основных производящих функций <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril03/ Таблица производящих функций]</ref>.

Все суммы выполняются по переменной <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>\infty</tex>. Элементы последовательности нумеруются от <tex>0</tex>.
{| class="wikitable" style="width:30cm" border=1
|+
|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| '''Последовательность''' || '''Производящая функция в виде ряда''' || '''Производящая функция в замкнутом виде'''
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 0, 0,\ldots)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (<tex>m</tex> нулей в начале) || <tex>z^m</tex> || <tex>z^m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 1, 1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0, \ldots 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (повторяется через <tex>m</tex>) || <tex>\sum\limits z^{nm}</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z^m}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, -1, 1, -1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (-1)^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1+z}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 2, 3, 4,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (n+1)z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 2, 4, 8, 16,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits 2^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-2z)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, r, r^2, r^3,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits r^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-rz)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>{m\choose 0}, {m\choose 1}, {m\choose 2}, {m\choose 3},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {m\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>(1+z)^m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>1, {{m}\choose m}, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {{m+n-1}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^m}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>1, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m}, {{m+3}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {{m+n}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^{m+1}}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(0, 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\ln(1+z)</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{24},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{n!}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>e^z</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, -\dfrac{1}{2!}m^2, \dfrac{1}{4!}m^4, -\dfrac{1}{6!}m^6, \dfrac{1}{8!}m^8,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n)!}</tex> <tex>m^{(2n)}</tex> || <tex>\cos m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(m, -\dfrac{1}{3!}m^3, \dfrac{1}{5!}m^5, -\dfrac{1}{7!}m^7, \dfrac{1}{9!}m^9,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n-1)!}</tex> <tex>m^{(2n-1)}</tex> || <tex>\sin m</tex>
|}

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]

Производящая функция

2017-06-13T18:54:33Z

188.243.128.31: /* Примеры простых производящих функций */

{{Определение
|definition=
'''Производящая функция''' (англ. ''generating function'') — это формальный степенной ряд:
<center>
<tex>G(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,
</center>
порождающий(производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex>.
}}
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.

__TOC__

== Применение ==
Производящая функция используется для:

* Компактной записи информации о последовательности.
* Нахождения зависимости <tex>a_n(n)</tex> для последовательности <tex>a_n</tex>, заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи.
* Нахождения рекуррентного соотношения для последовательности {{---}} вид производящей функции может помочь найти формулу.
* Исследования асимптотического поведения последовательности.
* Доказательства тождеств с последовательностями.
* Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике.Например, в доказательстве[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок <tex>m</tex> ладей на доске <tex>n</tex> × <tex>n</tex>.
* Вычисления бесконечных сумм.

== Примеры производящих функций ==
Рассмотрим производящие функции для различных комбинаторных последовательностей:

* <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа <tex>n</tex> в четное и нечетное число различных слагаемых.Например коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} <tex>+1</tex>, потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых <tex>(4+1; 3+2)</tex> и одно на нечетное (<tex>5</tex>). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять(второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять(первое {{---}} <tex>1</tex>). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.

* <tex> \prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} число разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые.

* <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} число разбиений на различные слагаемые.

* <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} число разбиений на нечётные слагаемые.С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n = l_n </tex>: <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ n})=\prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\dfrac{1-x^2}{1-x}\dfrac{1-x^4}{1-x^2}\dfrac{1-x^6}{1-x^3}\ldots=</tex>

<tex>=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1}{1-x^3}\dfrac{1}{1-x^5}\ldots=\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})</tex>

== Примеры решений задач методом производящих функций ==
=== Решение рекуррентных соотношений ===
Существует целый класс последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением, например, <tex>f_n</tex> {{---}} числа Фибоначчи или <tex>C_n</tex> {{---}}
[[Числа Каталана | числа Каталана]]. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> через номер элемента в последовательности в замкнутом виде, то есть в таком виде, что выражение можно вычислить, предполагая, что <tex>z</tex> достаточно мало.

Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению.Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \geqslant 0</tex>) в замкнутом виде.Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:

# Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>, равно <tex>k</tex>):
#: <tex>a_0=\ldots,</tex>
#: <tex>a_1=\ldots,</tex>
#: <tex>\ldots</tex>
#: <tex>a_{k-1}=\ldots,</tex>
#: <tex>a_{n}=\ldots, n \geqslant k.</tex>
# Домножить каждую строчку на <tex>z</tex> в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех <tex>n \geqslant 0 </tex>.
# В полученном уравнении привести все суммы к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.
# Выразить <tex>G(z)</tex> в явном виде (решить уравнение, полученное на предыдущем шаге) и разложить производящую функцию в ряд по степеням <tex>z</tex>.

Для демонстрации универсальности метода рассмотрим довольно произвольное рекуррентное соотношение:

<tex>a_0= 1,</tex>

<tex>a_1= 2,</tex>

<tex>a_n= 6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n, n \geqslant 2</tex>

Запишем производящую функцию для этой последовательности и преобразуем правую часть:

<tex>G(z)=a_0+a_1z+\sum\limits_{n=2}^\infty(6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n) z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-1}
z^n - 8\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-2}
z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum\limits_{n=1}^\infty a_ { n }
z^n - 8z^2\sum\limits_{n=0}^\infty a_ { n }
z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex> (в нашем случае последовательность <tex>b_n= (1, 1, 1, \ldots)</tex>). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции <tex>B(z)</tex>, производящей для <tex>b_n</tex>, с последующим умножением результата на <tex>z</tex>:

<tex>zB'(z)=z(\sum\limits_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum\limits_{ n = 1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty nb_n z^n</tex>

Тогда замкнем последнее слагаемое следующим образом:

<tex>\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n=z \sum\limits_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z(\sum\limits_{ n = 2}^\infty z^n)'</tex>

<tex>\sum\limits_{n=2}^\infty z^n=\sum\limits_{n=0}^\infty z^n-1-z=\dfrac{1}{1-z}-1-z=\dfrac{z^2}{1-z}</tex>

<tex>z(\dfrac{ z ^ 2}{1-z})'=\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>

Таким образом наше последнее слагаемое примет вид:

<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем <tex>G(z)</tex>:

<tex>G(z)=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}</tex>

Разложим знаменатель на множители и разобьём дробь на сумму простых дробей <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril04/ О разложении рациональной функции в ряд]</ref>:

<tex> G(z) =\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-2z)(1-4z)(1-z)^2}=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}</tex>

Разложим первое слагаемое в ряд, используя расширенные биномиальные коэффициенты <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]</ref>:

<tex>\dfrac{ 1}{(1-z)^2}=(1-z)^{-2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} {-2\choose n}(-z)^n=</tex>

<tex>=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n{n+1\choose 1}(-z)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n</tex>

<tex>G(z)=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}=</tex>

<tex>=\dfrac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n +\dfrac{7}{9}\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n - \dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n z^n + \dfrac{7}{18}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 4^n z^n</tex>

<tex>a_n=\dfrac{n+1}{3}+\dfrac{7}{9}-\dfrac{2^n}{2}+\dfrac{7 \cdot 4^n}{18}=\dfrac{7 \cdot 4^n+6n+20}{18}-2^{n-1}</tex>

=== Расчет дисперсии геометрического распределения ===
Метод производящих функций также используется для нахождения [[Дисперсия случайной величины | математического ожидания и дисперсии]] различных распределений в теории вероятностей. Например, в геометрическом распределении <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Геометрическое распределение]</ref> для нахождения дисперсии <tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:

* <tex>\operatorname{E}(\xi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} </tex>

* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}p(1-p)^{n-1}</tex>

которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3\ldots</tex> и <tex>1, 4, 9\ldots</tex>:

* <tex>\operatorname{ E}(\xi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} = </tex>

<tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1) p(1-p)^{n} = </tex>

<tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}n p(1-p)^{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} p(1-p)^{n-1} = </tex>

<tex>= (1-p) \operatorname{E}(\xi) +1 \Rightarrow \operatorname{E}(\xi) = \dfrac{1}{p}</tex>

* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}(1-p)^{n-1} =</tex>

<tex>=p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(1-p)^{n-1} - p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1} =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n+1} + p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n} =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n}\cdot(1-p)\right) =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\right) =</tex>

<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ (1 - p) ^ 2}{p}\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1 - p}{p}\right) =</tex>

<tex>= p\cdot\dfrac{2}{p^3} - p\cdot\dfrac{1}{p^2} = \dfrac{2}{p^{2}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{2-p}{p^{2}}</tex>.

Тогда:

<tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2= \dfrac{2-p}{p^{2}}-\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}</tex>
== Приложения ==
=== Примеры простых производящих функций ===
На последнем шаге приведения производящей функции к замкнутому виду требуется разложить полученные слагаемые в ряд. Для этого можно воспользоваться таблицей основных производящих функций <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril03/ Таблица производящих функций]</ref>.

Все суммы выполняются по переменной <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>\infty</tex>. Элементы последовательности нумеруются от <tex>0</tex>.
{| class="wikitable" style="width:30cm" border=1
|+
|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| '''Последовательность''' || '''Производящая функция в виде ряда''' || '''Производящая функция в замкнутом виде'''
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 0, 0,\ldots)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (<tex>m</tex> нулей в начале) || <tex>z^m</tex> || <tex>z^m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 1, 1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0, \ldots 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (повторяется через <tex>m</tex>) || <tex>\sum\limits z^{nm}</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z^m}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, -1, 1, -1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (-1)^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1+z}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 2, 3, 4,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (n+1)z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 2, 4, 8, 16,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits 2^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-2z)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, r, r^2, r^3,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits r^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-rz)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>{m\choose 0}, {m\choose 1}, {m\choose 2}, {m\choose 3},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {m\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>(1+z)^m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>1, {{m}\choose m}, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {{m+n-1}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^m}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>1, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m}, {{m+3}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {{m+n}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^{m+1}}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(0, 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\ln(1+z)</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{24},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{n!}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>e^z</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, -\dfrac{1}{2!}m^2, \dfrac{1}{4!}m^4, -\dfrac{1}{6!}m^6, \dfrac{1}{8!}m^8,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n)!}</tex> <tex>m^{(2n)}</tex> || <tex>\cos m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(m, -\dfrac{1}{3!}m^3, \dfrac{1}{5!}m^5, -\dfrac{1}{7!}m^7, \dfrac{1}{9!}m^9,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n-1)!}</tex> <tex>m^{(2n-1)}</tex> || <tex>\sin m</tex>
|}

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-18T18:45:39Z

188.243.128.31: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

ДПФ также применяют для быстрого умножения двух длинных чисел, которые в свою очередь могут быть представлены в виде полиномов.

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый [[Первообразные корни | примитивным]].

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & 4i & 4 \\
-4i & 4i & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center>
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{4} (10 + 1 + 3i + 8 + 1 - 3i) = 5 \\
a_1 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-i) + (-1)8 + (1 - 3i)i) = 2 \\
a_2 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-1) + 8 + (1 - 3i)(-1)) = 4 \\
a_3 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)i + (-1)8 + (1 - 3i)(-i)) = -1
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
[[Категория: Основные элементы теории чисел]]
[[Категория: Основные алгоритмы теории чисел]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-18T18:45:22Z

188.243.128.31: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Cначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея ''разделяй и властвуй'', то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
[[Категория: Основные элементы теории чисел]]
[[Категория: Основные алгоритмы теории чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-15T19:24:57Z

188.243.128.31: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

ДПФ также применяют для быстрого умножения двух длинных чисел, которые в свою очередь могут быть представлены в виде полиномов.

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый [[Первообразные корни | примитивным]].

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & 4i & 4 \\
-4i & 4i & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center>
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{4} (10 + 1 + 3i + 8 + 1 - 3i) = 5 \\
a_1 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-i) + (-1)8 + (1 - 3i)i) = 2 \\
a_2 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-1) + 8 + (1 - 3i)(-1)) = 4 \\
a_3 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)i + (-1)8 + (1 - 3i)(-i)) = -1
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-15T19:23:13Z

188.243.128.31: /* Применение ДПФ */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

ДПФ также применяют для быстрого умножения двух длинных чисел, которые в свою очередь могут быть представлены в виде полиномов.

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый [[Первообразные корни | примитивным]].

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & 4i & 4 \\
-4i & 4i & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center>
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{4} (10 + 1 + 3i + 8 + 1 - 3i) = 5 \\
a_1 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-i) + (-1)8 + (1 - 3i)i) = 2 \\
a_2 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-1) + 8 + (1 - 3i)(-1)) = 4 \\
a_3 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)i + (-1)8 + (1 - 3i)(-i)) = -1
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-15T19:21:27Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый [[Первообразные корни | примитивным]].

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & 4i & 4 \\
-4i & 4i & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center>
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{4} (10 + 1 + 3i + 8 + 1 - 3i) = 5 \\
a_1 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-i) + (-1)8 + (1 - 3i)i) = 2 \\
a_2 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-1) + 8 + (1 - 3i)(-1)) = 4 \\
a_3 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)i + (-1)8 + (1 - 3i)(-i)) = -1
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-15T19:20:56Z

188.243.128.31: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый [[Первообразные корни | примитивным]].

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & 4i & 4 \\
-4i & 4i & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center>
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{4} (10 + 1 + 3i + 8 + 1 - 3i) = 5 \\
a_1 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-i) + (-1)8 + (1 - 3i)i) = 2 \\
a_2 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-1) + 8 + (1 - 3i)(-1)) = 4 \\
a_3 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)i + (-1)8 + (1 - 3i)(-i)) = -1
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-15T19:20:44Z

188.243.128.31: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Cначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея ''разделяй и властвуй'', то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-15T19:17:49Z

188.243.128.31: /* Источники информации */

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-15T19:14:31Z

188.243.128.31: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Cначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея ''разделяй и властвуй'', то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Основные элементы теории чисел]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-15T19:11:46Z

188.243.128.31: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Cначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея ''разделяй и властвуй'', то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Основные алгоритмы теории чисел]]

Алгоритмы алгебры и теории чисел

2016-12-15T19:09:07Z

188.243.128.31: /* Практика - Основные алгоритмы теории чисел */

== Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики ==
* [[Классы чисел]]
* [[Натуральные и целые числа]]
* [[Простые числа]]
* [[Наибольший общий делитель]]
* [[Основная теорема арифметики]]
* [[Теоремы о простых числах]]
=== Практика - Разложение на множители и длинная арифметика ===
* [[Системы счисления]]
* [[Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика)]]
* [[Разложение на множители (факторизация)]]

== Лекция - Основные элементы теории чисел ==
* [[Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю]]
* [[Китайская теорема об остатках]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Вильсона]]
* [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле]]
* [[Функция Эйлера]]
* [[Количество делителей, сумма делителей]]
* [[Функция Мебиуса]]

=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел ===
* [[Решето Эратосфена]]
* [[Быстрое возведение в степень]]
* [[Умножение по Монтгомери]]
* [[Дискретное преобразование Фурье]]
* [[Быстрое преобразование Фурье]]

== Лекция - Основы теории групп ==
* [[Полугруппа]], [[моноид]], [[группа]]
* [[Абелева группа]], [[Конечная группа]]
* [[Гомоморфизм групп]], [[изоморфизм групп]]
* [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]]
* [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]]
* [[Регулярное представление группы]]
* [[Теорема о подгруппах циклической группы]]
* [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]]
=== Практика - Основы теории групп ===
* [[Вычисление порядка элемента в группе]]
* [[Вычисление порядка перестановки в группе перестановок]]
* [[Дискретное логарифмирование в группе]]
* [[Действие группы на множестве]]
* [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий]]
* [[Представление групп]]

== Лекция - Основы теории колец ==
*[[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец]]
*[[Делители нуля, области целостности]]
*[[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов]]
*[[Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах]]
*[[Евклидовы кольца]]
=== Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем ===

== Лекция - Основы теории полей ==
* [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей]]
* [[Примеры полей]]
* [[Мультипликативная группа поля]]
* [[Расширения полей]]

== Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты ==
* [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]]
* [[Первообразные корни]]
** [[Существование первообразных корней по определенным модулям|Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида <tex>2,4,p^n,2\cdot p^n</tex>]]
* [[Квадратичные вычеты|Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю]]
** [[Символ Лежандра, критерий Эйлера]]
** [[Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)|Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>]]
** [[Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю]]
=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты ===

== Лекция - Квадратичные вычеты ==
*[[Квадратичный закон взаимности]]
*[[Символ Якоби и его свойства]]
*[[Обобщенный квадратичный закон взаимности]]
*[[Алгоритм вычисления символа Якоби]]
=== Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту ===
*[[Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла]]
*[[Тест Соловея-Штрассена]]
*[[Тест Миллера-Рабина]]

== Лекция - Аналитическая теория чисел ==
* [[Факты из математического анализа]]
* [[Теорема Чебышёва]]
* [[Постулат Бертрана]]
* [[Уточнение констант в теореме Чебышёва]]
* [[Сумма обратных к простым]]
* [[Асимптотический закон распределения простых чисел]]

=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> ===

== Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ==
* [[Цепная дробь]]
** [[Связь цепных дробей и алгоритма Евклида]]
** [[Сходимость цепных дробей]]
** [[Цепные дроби как приближение к числу]]
** [[Квадратичная иррациональность]]
** [[Периодичность цепных дробей]]
** [[Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей|Цепные дроби для <tex>\sqrt{d}</tex> и квадратичных иррациональностей]]
* [[Уравнение Пелля]]
* [[Представление простых в виде суммы двух квадратов]]

== Лекция - Конечные поля ==
=== Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями ===

Алгоритмы алгебры и теории чисел

2016-12-15T19:08:46Z

188.243.128.31: /* Лекция - Аналитическая теория чисел */

== Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики ==
* [[Классы чисел]]
* [[Натуральные и целые числа]]
* [[Простые числа]]
* [[Наибольший общий делитель]]
* [[Основная теорема арифметики]]
* [[Теоремы о простых числах]]
=== Практика - Разложение на множители и длинная арифметика ===
* [[Системы счисления]]
* [[Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика)]]
* [[Разложение на множители (факторизация)]]

== Лекция - Основные элементы теории чисел ==
* [[Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю]]
* [[Китайская теорема об остатках]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Вильсона]]
* [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле]]
* [[Функция Эйлера]]
* [[Количество делителей, сумма делителей]]
* [[Функция Мебиуса]]

=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел ===
* [[Решето Эратосфена]]
* [[Быстрое возведение в степень]]
* [[Умножение по Монтгомери]]

== Лекция - Основы теории групп ==
* [[Полугруппа]], [[моноид]], [[группа]]
* [[Абелева группа]], [[Конечная группа]]
* [[Гомоморфизм групп]], [[изоморфизм групп]]
* [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]]
* [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]]
* [[Регулярное представление группы]]
* [[Теорема о подгруппах циклической группы]]
* [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]]
=== Практика - Основы теории групп ===
* [[Вычисление порядка элемента в группе]]
* [[Вычисление порядка перестановки в группе перестановок]]
* [[Дискретное логарифмирование в группе]]
* [[Действие группы на множестве]]
* [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий]]
* [[Представление групп]]

== Лекция - Основы теории колец ==
*[[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец]]
*[[Делители нуля, области целостности]]
*[[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов]]
*[[Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах]]
*[[Евклидовы кольца]]
=== Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем ===

== Лекция - Основы теории полей ==
* [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей]]
* [[Примеры полей]]
* [[Мультипликативная группа поля]]
* [[Расширения полей]]

== Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты ==
* [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]]
* [[Первообразные корни]]
** [[Существование первообразных корней по определенным модулям|Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида <tex>2,4,p^n,2\cdot p^n</tex>]]
* [[Квадратичные вычеты|Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю]]
** [[Символ Лежандра, критерий Эйлера]]
** [[Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)|Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>]]
** [[Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю]]
=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты ===

== Лекция - Квадратичные вычеты ==
*[[Квадратичный закон взаимности]]
*[[Символ Якоби и его свойства]]
*[[Обобщенный квадратичный закон взаимности]]
*[[Алгоритм вычисления символа Якоби]]
=== Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту ===
*[[Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла]]
*[[Тест Соловея-Штрассена]]
*[[Тест Миллера-Рабина]]

== Лекция - Аналитическая теория чисел ==
* [[Факты из математического анализа]]
* [[Теорема Чебышёва]]
* [[Постулат Бертрана]]
* [[Уточнение констант в теореме Чебышёва]]
* [[Сумма обратных к простым]]
* [[Асимптотический закон распределения простых чисел]]

=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> ===

== Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ==
* [[Цепная дробь]]
** [[Связь цепных дробей и алгоритма Евклида]]
** [[Сходимость цепных дробей]]
** [[Цепные дроби как приближение к числу]]
** [[Квадратичная иррациональность]]
** [[Периодичность цепных дробей]]
** [[Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей|Цепные дроби для <tex>\sqrt{d}</tex> и квадратичных иррациональностей]]
* [[Уравнение Пелля]]
* [[Представление простых в виде суммы двух квадратов]]

== Лекция - Конечные поля ==
=== Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями ===

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-15T19:03:34Z

188.243.128.31: /* Источники */

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-15T18:59:55Z

188.243.128.31: /* ДПФ в модульной арифметике */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый [[Первообразные корни | примитивным]].

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & 4i & 4 \\
-4i & 4i & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center>
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{4} (10 + 1 + 3i + 8 + 1 - 3i) = 5 \\
a_1 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-i) + (-1)8 + (1 - 3i)i) = 2 \\
a_2 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-1) + 8 + (1 - 3i)(-1)) = 4 \\
a_3 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)i + (-1)8 + (1 - 3i)(-i)) = -1
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-15T18:58:59Z

188.243.128.31: /* ДПФ в модульной арифметике */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти [[Примитивные корни | примитивный корень]], то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & 4i & 4 \\
-4i & 4i & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center>
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{4} (10 + 1 + 3i + 8 + 1 - 3i) = 5 \\
a_1 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-i) + (-1)8 + (1 - 3i)i) = 2 \\
a_2 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-1) + 8 + (1 - 3i)(-1)) = 4 \\
a_3 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)i + (-1)8 + (1 - 3i)(-i)) = -1
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T22:12:53Z

188.243.128.31: /* Источники */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Cначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея ''разделяй и властвуй'', то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T22:10:37Z

188.243.128.31: /* Алгоритм построения БПФ */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Cначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея ''разделяй и властвуй'', то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T22:10:00Z

188.243.128.31: /* Описание задачи */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Cначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T22:06:12Z

188.243.128.31: /* Пример */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & -1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & 4i & 4 \\
-4i & 4i & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center>
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{4} (10 + 1 + 3i + 8 + 1 - 3i) = 5 \\
a_1 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-i) + (-1)8 + (1 - 3i)i) = 2 \\
a_2 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)(-1) + 8 + (1 - 3i)(-1)) = 4 \\
a_3 = \dfrac{1}{4} (10 + (1 + 3i)i + (-1)8 + (1 - 3i)(-i)) = -1
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T20:51:18Z

188.243.128.31: /* Пример */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{-16i}
\begin{pmatrix}
-4i & -4i & -4i & -4i \\
-4i & -4 & -1 & 4 \\
-4i & -1 & -4i & 4i \\
-4i & 4 & 4i & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 \\
1 + 3i \\
8 \\
1 - 3i
\end{pmatrix}
</tex></center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T20:44:01Z

188.243.128.31: /* Пример */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

Аналогично, получаем обратное ДПФ.

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex></center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T20:34:47Z

188.243.128.31: /* Следствия */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k.
</tex>
</center>
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
DFT(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T20:33:59Z

188.243.128.31: /* Алгоритм построения БПФ */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T20:33:30Z

188.243.128.31: /* Алгоритм построения БПФ */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T20:33:15Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform, FFT'') {{---}} метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье]] за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(n \log n)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T20:30:38Z

188.243.128.31: /* Описание задачи */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(n \log n)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T20:30:01Z

188.243.128.31: /* Применение ДПФ */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n \log n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k,
</tex>
</center>
что и требовалось доказать.
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
DFT(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T20:29:47Z

188.243.128.31: /* Применение ДПФ */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n\logn)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k,
</tex>
</center>
что и требовалось доказать.
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
DFT(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T20:27:39Z

188.243.128.31: /* Алгоритм построения обратного БПФ */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-14T20:27:21Z

188.243.128.31: /* Алгоритм построения обратного БПФ */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex>.

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T20:20:04Z

188.243.128.31: /* Следствия */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(nlogn)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}\left(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1)\right)
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k,
</tex>
</center>
что и требовалось доказать.
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
DFT(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T20:17:44Z

188.243.128.31: /* ДПФ в модульной арифметике */

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(nlogn)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют [[Группа | группу]], то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1))
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k,
</tex>
</center>
что и требовалось доказать.
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
DFT(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T20:17:10Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform, DFT'') многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
\mathrm{InvDFT}(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = \mathrm{InvDFT}(\mathrm{DFT}(A) \times \mathrm{DTF}(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(nlogn)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют группу, то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>\mathrm{DFT}(\mathrm{DFT}(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof=
Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
\mathrm{DFT}(a_0, a_1, a_{n-1}) = \mathrm{InvDFT}(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1))
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k,
</tex>
</center>
что и требовалось доказать.
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>\mathrm{DFT}</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
DFT(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники информации ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Аналитическая теория чисел]]

Алгоритмы алгебры и теории чисел

2016-12-14T20:14:13Z

188.243.128.31: /* Лекция - Аналитическая теория чисел */

== Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики ==
* [[Классы чисел]]
* [[Натуральные и целые числа]]
* [[Простые числа]]
* [[Наибольший общий делитель]]
* [[Основная теорема арифметики]]
* [[Теоремы о простых числах]]
=== Практика - Разложение на множители и длинная арифметика ===
* [[Системы счисления]]
* [[Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика)]]
* [[Разложение на множители (факторизация)]]

== Лекция - Основные элементы теории чисел ==
* [[Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю]]
* [[Китайская теорема об остатках]]
* [[Теорема Ферма]]
* [[Теорема Вильсона]]
* [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле]]
* [[Функция Эйлера]]
* [[Количество делителей, сумма делителей]]
* [[Функция Мебиуса]]

=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел ===
* [[Решето Эратосфена]]
* [[Быстрое возведение в степень]]
* [[Умножение по Монтгомери]]

== Лекция - Основы теории групп ==
* [[Полугруппа]], [[моноид]], [[группа]]
* [[Абелева группа]], [[Конечная группа]]
* [[Гомоморфизм групп]], [[изоморфизм групп]]
* [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]]
* [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]]
* [[Регулярное представление группы]]
* [[Теорема о подгруппах циклической группы]]
* [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]]
=== Практика - Основы теории групп ===
* [[Вычисление порядка элемента в группе]]
* [[Вычисление порядка перестановки в группе перестановок]]
* [[Дискретное логарифмирование в группе]]
* [[Действие группы на множестве]]
* [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий]]
* [[Представление групп]]

== Лекция - Основы теории колец ==
*[[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец]]
*[[Делители нуля, области целостности]]
*[[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов]]
*[[Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах]]
*[[Евклидовы кольца]]
=== Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем ===

== Лекция - Основы теории полей ==
* [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей]]
* [[Примеры полей]]
* [[Мультипликативная группа поля]]
* [[Расширения полей]]

== Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты ==
* [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]]
* [[Первообразные корни]]
** [[Существование первообразных корней по определенным модулям|Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида <tex>2,4,p^n,2\cdot p^n</tex>]]
* [[Квадратичные вычеты|Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю]]
** [[Символ Лежандра, критерий Эйлера]]
** [[Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)|Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>]]
** [[Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю]]
=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты ===

== Лекция - Квадратичные вычеты ==
*[[Квадратичный закон взаимности]]
*[[Символ Якоби и его свойства]]
*[[Обобщенный квадратичный закон взаимности]]
*[[Алгоритм вычисления символа Якоби]]
=== Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту ===
*[[Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла]]
*[[Тест Соловея-Штрассена]]
*[[Тест Миллера-Рабина]]

== Лекция - Аналитическая теория чисел ==
* [[Факты из математического анализа]]
* [[Теорема Чебышёва]]
* [[Постулат Бертрана]]
* [[Уточнение констант в теореме Чебышёва]]
* [[Сумма обратных к простым]]
* [[Асимптотический закон распределения простых чисел]]
* [[Дискретное преобразование Фурье]]
* [[Быстрое преобразование Фурье]]
=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> ===

== Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ==
* [[Цепная дробь]]
** [[Связь цепных дробей и алгоритма Евклида]]
** [[Сходимость цепных дробей]]
** [[Цепные дроби как приближение к числу]]
** [[Квадратичная иррациональность]]
** [[Периодичность цепных дробей]]
** [[Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей|Цепные дроби для <tex>\sqrt{d}</tex> и квадратичных иррациональностей]]
* [[Уравнение Пелля]]
* [[Представление простых в виде суммы двух квадратов]]

== Лекция - Конечные поля ==
=== Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями ===

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-14T18:21:22Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform (DFT)'') {{---}} многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} это вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
InvDFT(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = InvDFT(DFT(A) \times DTF(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют группу, то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>DFT(DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof= '''Доказательство:'''

Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
DFT(a_0, a_1, a_{n-1}) = InvDFT(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1))
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k,
</tex>
</center>
что и требовалось доказать.
}}

== Пример ==
Посчитаем <tex>DFT</tex> для полинома степени <tex>n = 4</tex>.

<center>
<tex>
A(x) = 5 + 2x + 4x^2 - x^3
</tex>
</center>

Тогда подставляя значения <tex>k</tex> в <tex>e^{2i\frac{\pi k}{4}}</tex> получаем:
<center>
<tex>
x_0 = \ \ 1 \\
x_1 = \ \ 2 \\
x_2 = \ \ 4 \\
x_3 = -1
</tex>
</center>

Построим матрицу Вандермонда:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & i & -1 & -i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -i & 1 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Получаем вектор значений многочлена <tex>(y_0, y_1, y_2, y_3)</tex>:

<center>
<tex>
y_0 = 1 \cdot 5 \ + \ 1 \cdot 2 \ + \ 1 \cdot 4 \ -1 \ = \ 10 \\
y_1 = 1 \cdot 5 \ + \ 2i \ - \ 4 \ + \ i \ = \ 1 \ + \ 3i \\
y_2 = 1 \cdot 5 \ - \ 2 \ + \ 4 \ + 1 \ = \ 8 \\
y_3 = 1 \cdot 5 \ - \ 2i \ - \ 4 \ - \ i = 1 \ - \ 3i
</tex>
</center>

В итоге получаем:

<center>
<tex>
DFT(A) = (10, 1 + 3i, 8, 1 - 3i)
</tex>
</center>

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-07T13:17:28Z

188.243.128.31: /* Алгоритм построения обратного БПФ */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1}</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center>

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-05T21:34:57Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform (DFT)'') {{---}} многочлена <tex>A(x)</tex> называют вектор значений этого многочлена в точках <tex>x = \omega_{n,k}</tex>:

<tex>
DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}) = (y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (A(\omega_{n,0}), A(\omega_{n,1}), \ldots , A(\omega_{n,n-1}))
</tex>
<tex>
= (A(\omega_n^0), A(\omega_n^1), \ldots , A(\omega_n^{n-1})),
</tex>

где <tex>\omega_{n,k} = e^{i\frac{2\pi k}{n}}</tex> {{---}} <tex> k-</tex>ый из <tex>n</tex> комплексных корней из единицы. <tex>\omega_n = \omega_{n,1} = e^{i\frac{2\pi}{n}}</tex> называется главным значением корня <tex>n</tex>-ой степени из единицы, а все остальные корни являются его степенями: <tex>\omega_{n,k} = (\omega_n)^k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Обратное дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Inverse DFT'') для вектора значений многочлена <tex>A(\omega_n)</tex> <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} это вектор коэффициентов этого многочлена <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex>:

<center>
<tex>
InvDFT(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}) = (a_0, a_1, \ldots , a_{n-1}).
</tex>
</center>
}}

== Применение ДПФ ==
Дискретное преобразование Фурье используют для быстрого перемножения двух полиномов <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.

Для того чтобы получить произведение двух многочленов за время, меньшее чем <tex>O(n^2)</tex>, необходимо сначала посчитать <tex>DFT</tex> обоих многочленов. Так как при умножении двух многочленов их значения просто перемножаются в каждой точке. Следовательно, если <tex>DFT</tex> {{---}} это вектор значений многочлена, то мы можем получить значение произведения двух многочленов, просто перемножив их ДПФ. Значит, чтобы получить коэффициенты полученного многочлена, применим обратное ДПФ.

<center>
<tex>
A \times B = InvDFT(DFT(A) \times DTF(B)).
</tex>
</center>

Так как ДПФ многолчена {{---}} это вектор его значений, значит, перемножение двух ДПФ требует только <tex>O(n)</tex> операций. Осталось только вычислять ДПФ и обратное ДПФ за время <tex>O(n)</tex>. Для этого используем [[Быстрое преобразование Фурье| быстрое преобразование Фурье]].

== ДПФ в модульной арифметике ==
В основе ДПФ используются комплексные числа, являющиеся корнями <tex>n</tex>-ой степени из единицы. Для эффективного вычисления использовались свойства комплексных корней, которые образуют группу, то есть степень одного корня всегда является другим корнем. Среди них есть корень, называемый примитивным.

Однако, то же верно и в случае корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы в модульной арифметике. Не для любого модуля <tex>p</tex> найдется <tex>n</tex> различных корней, но такие модули все же существуют. Необходимо найти примитивный корень, то есть:

<center>
<tex>
(\omega_n)^n = 1 \ \mod p,
</tex>

<tex>
(\omega_n)^k \ne 1 \ \mod p, 1 \leqslant k < n.
</tex>
</center>

Как и с комплексными корнями, остальные <tex>n-1</tex> корней <tex>n</tex>-ой степени из единицы по модулю <tex>p</tex> можно получить как степени примитивного корня <tex>\omega_n</tex>

== Следствия ==
{{Утверждение
|statement= <tex>DFT(DFT(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})) = \dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1) </tex>
|proof= '''Доказательство:'''

Применим к обеим частям обратное ДПФ и получим:

<center>
<tex>
DFT(a_0, a_1, a_{n-1}) = InvDFT(\dfrac{1}{n} (a_0, a_{n-1}, \ldots , a_1))
</tex>
</center>

Заметим, что слева у нас находится вектор значений многочлена с коэффициентами <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> и обозначим его за <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex>. Заметим, что:

<center>
<tex>
y_k = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, справа у нас находится вектор коэффициентов многочлена со значениями <tex>\left( \dfrac{1}{n} a_0, \dfrac{1}{n} a_{n-1}, \ldots , \dfrac{1}{n} a_1 \right)</tex> в точках <tex>x = \omega_n^k</tex>. Обозначим его как <tex>(y_0 ', y_1 ', \ldots , y_{n-1} ')</tex>, где:

<center>
<tex>
y_k '= \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n} z_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} j},
</tex>
</center>

где

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
z_0 \\
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a_0}{n}\\
\dfrac{a_{n-1}}{n}\\
\dfrac{a_{n-2}}{n}\\
\vdots \\
\dfrac{a_1}{n}
\end{pmatrix}
</tex>
</center>

Тогда, подставляя значения <tex>z_j</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 e^0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i\frac{2\pi k}{n} (n - j)} = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{-i 2\pi k} e^{i\frac{2\pi k}{n} j}
</tex>
</center>

А так как <tex>e^{-i 2\pi k} = \left(\dfrac{1}{e^{i 2\pi}}\right)^k = 1</tex>, получаем:

<center>
<tex>
y_k ' = a_0 + \sum\limits_{j=1}^{n} a_j e^{i \frac{2\pi k}{n} j} = \sum\limits_{j=0}^{n} a_j e^{i\frac{2\pi k}{n} j} = y_k,
</tex>
</center>
что и требовалось доказать.
}}

== См. также ==
*[[Быстрое преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-05T20:36:28Z

188.243.128.31:

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-05T20:27:23Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1}</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{kj}} </tex></center>

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-04T16:43:55Z

188.243.128.31: /* Алгоритм построения обратного БПФ */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1}</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{kj}} </tex></center>

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-04T16:42:53Z

188.243.128.31: /* Алгоритм построения БПФ */

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:

<center>
<tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

<tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>
</center>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>
</center>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>

Таким образом, мы получили:

<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>

<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>. </center>

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1}</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{kj}} </tex>

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-04T16:30:32Z

188.243.128.31: /* ДПФ в модульной арифметике */

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-04T16:13:12Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:
* <tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

* <tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>
* Для второй половины получаем:
<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.

Таким образом, мы получили:

<tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>

<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>.

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1}</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{kj}} </tex>

== См. также ==
*[[Дискретное преобразование Фурье]]

== Источники ==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]
*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)]

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-04T16:12:16Z

188.243.128.31:

Дискретное преобразование Фурье

2016-12-04T16:10:32Z

188.243.128.31: Новая страница: «{{Определение |definition= '''Дискретное преобразование Фурье''' (англ. ''Discrete Fourier Transform (DFT)'') {{---}} ...»

Быстрое преобразование Фурье

2016-12-04T14:30:45Z

188.243.128.31:

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

== Описание задачи ==
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}

Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:
* <tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

* <tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>
* Для второй половины получаем:
<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.

Таким образом, мы получили:

<tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>

<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>.

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots , y_{n-1})</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.

Рассмотрим ДПФ в матричном виде:

<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex>

Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1}</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).

<tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \ldots & \omega_n^{n-1} \\
\omega_n^0 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \ldots & \omega_n^{2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}}^{-1}
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex>

Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:

<tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-1} & \omega_n^{-2} & \ldots & \omega_n^{-(n-1)} \\
\omega_n^0 & \omega_n^{-2} & \omega_n^{-4} & \ldots & \omega_n^{-2(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex>

Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:

<tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{kj}} </tex>

Быстрое преобразование Фурье

2016-11-22T20:23:01Z

188.243.128.31: Новая страница: «{{Определение |definition= '''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это м...»

{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять дискретное преобразование Фурье за время <tex>O(nlogn)</tex>.
}}
== Алгоритм построения БПФ ==
Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.

Идея заключается в том, что сначала мы разделяем вектор коэффициентов на два вектора, рекурсивно вычисляем значение ДПФ для них, и объединяем их в одно ДПФ.

Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.

<tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex>

Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:
* <tex> A_0(x) = a_0 x^0 + a_2 x^1 + \ldots + a_{n-2} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

* <tex> A_1(x) = a_1 x^0 + a_3 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{\frac{n}{2} - 1} </tex>

Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:

<tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex>

Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>DFT(A_0)</tex> и <tex>DFT(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>DFT(A)</tex>. Так как здесь используется идея "разделяй и властвуй", то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlogn)</tex>.

Пусть <tex>DFT(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>DFT(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>DFT(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>
* Для второй половины получаем:
<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex>

Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:

<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.

Таким образом, мы получили:

<tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>

<tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>.

== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Пусть вектор <tex>y_0, y_1, \ldots , y_{n-1}</tex> {{---}} значения многочлена <tex>A</tex> степени <tex>n</tex> в точках <tex>n = \omega_n^k</tex>. Необходимо, по данному вектору восстановить коэффициенты <tex>(a_0, a_1, \ldots , a_{n-1})</tex> многочлена.