Оценка качества в задаче кластеризации

2019-11-28T16:17:21Z

195.19.236.234: /* Источники информации */ исправлена фамилия

'''Проблема оценки качества в [[Кластеризация|задаче кластеризации]]''' трудноразрешима, как минимум, по двум причинам:
* [[Кластеризация#Теорема невозможности Клейнберга|Теорема невозможности Клейнберга]] {{---}} не существует оптимального алгоритма кластеризации.
* Многие алгоритмы кластеризации не способны определить настоящее количество кластеров в данных. Чаще всего количество кластеров подается на вход алгоритма и подбирается несколькими запусками алгоритма.

== Методы оценки качества кластеризации ==
'''Метод оценки качества кластеризации''' {{---}} инструментарий для количественной оценки результатов кластеризации.

Принято выделять три группы методов оценки качества кластеризации:
* '''Внешние''' (англ. ''Internal'') метрики основаны на сравнении результата кластеризации с априори известным разделением на классы.
* '''Внутренние''' (англ. ''External'') метрики отображают качество кластеризации только по информации в данных.

== Внешние метрики оценки качества ==
Данные метрики используют дополнительные знания о кластеризуемом множестве: распределение по кластерам, количество кластеров и т.д.

=== Обозначения ===
Дано множество <math>S</math> из <math>n</math> элементов, разделение на классы <math>X = \{ X_1, X_2, \ldots , X_r \}</math>, и полученное разделение на кластеры <math>Y = \{ Y_1, Y_2, \ldots , Y_s \}</math>, совпадения между <math>X</math> и <math>Y</math> могут быть отражены в таблице сопряженности <math>\left[n_{ij}\right]</math>, где каждое <math>n_{ij}</math> обозначает число объектов, входящих как в <math>X_i</math>, так и в <math>Y_j</math> : <math>n_{ij}=|X_i \cap Y_j|</math>.
: <math>\begin{array}{c|cccc|c}
{{} \atop X}\!\diagdown\!^Y &
Y_1&
Y_2&
\ldots&
Y_s&
\text{Sums}
\\
\hline
X_1&
n_{11}&
n_{12}&
\ldots&
n_{1s}&
a_1
\\
X_2&
n_{21}&
n_{22}&
\ldots&
n_{2s}&
a_2
\\
\vdots&
\vdots&
\vdots&
\ddots&
\vdots&
\vdots
\\
X_r&
n_{r1}&
n_{r2}&
\ldots&
n_{rs}&
a_r
\\
\hline
\text{Sums}&
b_1&
b_2&
\ldots&
b_s&
n
\end{array}</math>

Пусть <math>p_{ij} = \dfrac{ n_{ij} }{ n }, p_{i} = \dfrac{ a_{i} }{ n }, p_{j} = \dfrac{ b_{j} }{ n } </math>.

Также рассмотрим пары <math>(x_i, x_j)</math> из элементов кластеризуемого множества <math>X</math>. Подсчитаем количество пар, в которых:
* Элементы принадлежат одному кластеру и одному классу {{---}} <math>TP</math>
* Элементы принадлежат одному кластеру, но разным классам {{---}} <math>TN</math>
* Элементы принадлежат разным кластерам, но одному классу {{---}} <math>FP</math>
* Элементы принадлежат разным кластерам и разным классам {{---}} <math>FN</math>

=== Rand Index ===
Индекс Rand оценивает, насколько много из тех пар элементов, которые находились в одном классе, и тех пар элементов, которые находились в разных классах, сохранили это состояние после кластеризации алгоритмом.
: <math>
Rand = \dfrac{TP+FN}{TP+TN+FP+FN}
</math>
Имеет область определения от 0 до 1, где 1 {{---}} полное совпадение кластеров с заданными классами, а 0 {{---}} отсутствие совпадений.

=== Adjusted Rand Index ===
:<math>\overbrace{ARI}^\text{Adjusted Index} = \frac{ \overbrace{\sum_{ij} \binom{n_{ij}}{2}}^\text{Index} - \overbrace{[\sum_i \binom{a_i}{2} \sum_j \binom{b_j}{2}] / \binom{n}{2}}^\text{Expected Index} }{ \underbrace{\frac{1}{2} [\sum_i \binom{a_i}{2} + \sum_j \binom{b_j}{2}]}_\text{Max Index} - \underbrace{[\sum_i \binom{a_i}{2} \sum_j \binom{b_j}{2}] / \binom{n}{2}}_\text{Expected Index} }</math>
где <math>n_{ij}, a_i, b_j</math> {{---}} значения из таблицы сопряженности.

В отличие от обычного [[{{NAMESPACE}}:{{PAGENAME}}#Rand_Index|Rand Index]], Adjusted Rand Index может принимать отрицательные значения, если <math>Index < Expected Index</math>.

=== Jaccard Index ===
Индекс Жаккара похож на [[#Rand_Index|Rand Index]], только не учитывает пары элементов находящиеся в разные классах и разных кластерах (<math>FN</math>).
: <math>
Jaccard = \dfrac{TP}{TP+TN+FP}
</math>
Имеет область определения от 0 до 1, где 1 {{---}} полное совпадение кластеров с заданными классами, а 0 {{---}} отсутствие совпадений.

=== Folkes and Mallows Index ===
Индекс Fowlkes-Mallows используется для определения сходства между двумя кластерами.
: <math>
FM = \sqrt{ \dfrac{TP}{TP+TN} \cdot \dfrac{TP}{TP+FP} }
</math>
Более высокое значение индекса означает большее сходство между кластерами. Этот индекс также хорошо работает на зашумленных данных.

=== Hubert Г statistic ===
Данная метрика отражает среднее расстояние между объектами разных кластеров:
: <math>
Г = \dfrac{1}{M} \sum \limits_{i=1}^{N-1} \sum \limits_{i=i+1}^{N} P(i, j) \cdot Q(i, j),
</math>
где <math>M = n*(n-1)/2</math>, <math>P(i, j)</math> {{---}} матрица близости, а
: <math>Q(i, j) = \begin{cases}
0, & \mbox{если x(i) и x(j) лежат в одном кластере} \\
1, & \mbox{в другом случае } \\
\end{cases}
</math>
Можно заметить, что два объекта влияют на <math>Г</math>, только если они находятся в разных кластерах.

Чем больше значение метрики {{---}} тем лучше.

=== Phi Index ===
Классическая мера корреляции между двумя переменными:
: <math>
\Phi = \dfrac{ TP \times FN - TN \times FP }{ (TP + TN)(TP + FP)(FN + FP)(FN + TN) }
</math>

=== Minkowski Score ===
: <math>
MS = \dfrac{ \sqrt{ \sum_i \binom{a_i}{2} + \sum_j \binom{b_i}{2} - 2\sum_{ij} \binom{ n_{ij} }{ 2 } } }{ \sqrt{ \sum_j \binom{b_i}{2} } }
</math>

=== Goodman-Kruskal Index ===
: <math>
GK = \sum_i p_i(1 - \max_j \dfrac{ p_{ij} }{ p_i })
</math>

=== Entropy ===
Энтропия измеряет "чистоту" меток классов:
: <math>
E = - \sum_i p_i ( \sum_j \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } log( \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } ) )
</math>

Стоит отметить, что если все кластера состоят из объектов одного класса, то энтропия равна 0.

=== Purity ===
Чистота ставит в соответствие кластеру самый многочисленный в этом кластере класс.
: <math>
P = \sum_i p_i ( \max_j \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } )
</math>

Чистота находится в интервале [0, 1], причём значение = 1 отвечает оптимальной кластеризации.

=== F-мера ===
F-мера представляет собой гармоническое среднее между точностью (precision) и полнотой (recall).
: <math>
F = \sum_j p_j \max_i \big\lbrack 2 \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } \dfrac{ p_{ij} }{ p_j } \big/ (\dfrac{ p_{ij} }{ p_i } + \dfrac{ p_{ij} }{ p_j }) \big\rbrack
</math>

=== Variation of Information ===
Данная метрика измеряет количество информации, потерянной и полученной при переходе из одного кластера в другой.
: <math>
VI = - \sum_i p_i \log p_i - \sum_i p_j log p_j - 2 \sum_i \sum_j p_{ij} \log \dfrac{ p_{ij} }{ p_i p_j }
</math>

== Внутренние метрики оценки качества ==
Данные метрики оценивают качество структуры кластеров опираясь только непосредственно на нее, не используя внешней информации.

=== Компактность кластеров (Cluster Cohesion) ===
Идея данного метода в том, что чем ближе друг к другу находятся объекты внутри кластеров, тем лучше разделение.

Таким образом, необходимо минимизировать внутриклассовое расстояние, например, сумму квадратов отклонений:
: <math>
WSS = \sum \limits_{j=1}^{M} \sum \limits_{i = 1}^{|C_j|} (x_{ij} - \overline{x_j})^2
</math>, где <math>M</math> {{---}} количество кластеров.

=== Отделимость кластеров (Cluster Separation) ===
В данном случае идея противоположная {{---}} чем дальше друг от друга находятся объекты разных кластеров, тем лучше.

Поэтому здесь стоит задача максимизации суммы квадратов отклонений:
: <math>
BSS = n \cdot \sum \limits_{j=1}^{M} (\overline{x_{j}} - \overline{x})^2
</math>, где <math>M</math> {{---}} количество кластеров.

=== Индекс Данна (Dunn Index) ===
Индекс Данна имеет множество вариаций, оригинальная версия выглядит следующим образом:
: <math>
D(C) = \dfrac{ min_{c_k \in C} \{ min_{c_l \in C \setminus c_k} \{ \delta(c_k, c_l) \} \} }{ max_{c_k \in C} \{ \Delta(c_k) \} }
</math>,
где:
: <math>\delta</math> {{---}} межкластерное расстояние, <math>\delta(c_k, c_k) = min_{x_i \in c_k, y_j \in c_l} \|x_i - x_j\|</math>,
: <math>\Delta(c_k)</math> {{---}} диаметр кластера, <math>\Delta(c_k) = max_{x_i,x_j \in c_k} \|x_i - x_j\|</math>.

=== Силуэт (Silhouette) ===
Значение силуэта показывает, насколько объект похож на свой кластер по сравнению с другими кластерами.

Оценка для всей кластерной структуры:
: <math>
Sil(С) = \dfrac{1}{N} \sum_{c_k \in C} \sum_{x_i \in c_k} \dfrac{ b(x_i, c_k) - a(x_i, c_k) }{ max \{ a(x_i, c_k), b(x_i, c_k) \} }
</math>,
где:
: <math>
a(x_i, c_k) = \dfrac{1}{|c_k|} \sum_{x_j \in c_k} \|x_i - x_j\|
</math> {{---}} среднее расстояние от <math>x_i \in c_k</math> до других объектов из кластера <math>c_k</math> (компактность),
: <math>
b(x_i, c_k) = min_{c_l \in C \setminus c_k } \{ \dfrac{1}{|c_l|} \sum_{x_j \in c_l} \|x_i - x_j\|
</math> {{---}} среднее расстояние от <math>x_i \in c_k</math> до объектов из другого кластера <math>c_l: k \neq l</math> (отделимость).
Можно заметить, что
: <math> -1 \le Sil(C) \le 1
</math>.
Чем ближе данная оценка к 1, тем лучше.

Есть также упрощенная вариация силуэта: <math>a(x_i, c_k)</math> и <math>b(x_i, c_k)</math> вычисляются через центры кластеров.

=== Calinski–Harabasz index ===
: <math>
CH(C) = \dfrac{ N-K }{ K-1 } \cdot \dfrac{ sum_{c_k \in C} |c_k| \cdot \| \overline{c_k} - \overline{X} \| }{ sum_{c_k \in C} sum_{ x_i \in c_k } \| x_i - \overline{c_k} \| }
</math>
Компактность основана на расстоянии от точек кластера до их центроидов, а разделимость - на расстоянии от центроид кластеров до глобального центроида.

=== C-Index ===
C-Index - нормализованная оценка компактности:
: <math>
CI(C) = \dfrac{ S(C) - S_{min}(C) }{ S_{max}(C) - S_{min}(C)}
</math>,
где:
: <math>
S(C) = \sum \limits_{c_k \in C} \sum \limits_{x_i, x_j \in c_k} \| x_i - x_j \|
</math>,
: <math>S_{min}(C) (S_{max}(C))</math> - сумма <math>\dfrac{ |c_k|\cdot(|c_k| - 1) }{2}</math> минимальных (максимальных) расстояний между парами всех объектов во всем датасете.

=== Davies–Bouldin Index ===
Это, возможно, одна из самых используемых мер оценки качества кластеризации.<br/>
Она вычисляет компактность как расстояние от объектов кластера до их центроидов, а отделимость - как расстояние между центроидами.
: <math>
DB(C) = \dfrac{1}{K} \sum \limits_{c_k \in C} \max \limits_{c_l \in C \setminus c_k} \Big\{ \dfrac{ S(c_k)+S(c_l) }{ \| \overline{c_k} - \overline{c_l} \| } \Big\}
</math>,
где:
: <math>
S(c_k) = \dfrac{ 1 }{ |c_k| } \sum \limits_{x_i \in c_k} \|x_i - \overline{c_k}\|
</math>

Существует еще одна вариация данной метрики, которая была предложена автором вместе с основной версией:
: <math>
DB^*(C) = \dfrac{1}{K} \sum \limits_{c_k \in C} \dfrac
{ \max \limits_{c_l \in C \setminus c_k} \{ S(c_k)+S(c_l) \} }
{ \min \limits_{c_l \in C \setminus c_k} \{ \| \overline{c_k} - \overline{c_l} \| \} }
</math>

=== Score function ===
: <math>
SF(C) = 1 - \dfrac{ 1 }{ e^{e^{bcd(C) + wcd(C)}} }
</math>,
где:
: <math>
bcd(C) = \dfrac{ \sum \limits_{c_k \in C} |c_k| \cdot \|\overline{c_k} - \overline{X}\| }{ N \times K }
</math>,
: <math>
wcd(C) = \sum \limits_{c_k \in C} \dfrac{ 1 }{ |c_k| } \sum \limits_{x_i \in c_k} \|x_i - \overline{c_k}\|
</math>

=== Gamma Index ===
: <math>
G(C) = \dfrac{ \sum_{c_k \in C} \sum_{x_i,x_j \in c_k} |c_k| \cdot dl(x_i, x_j) }{ n_w (\binom{N}{2} - n_w) }
</math>

где:
: <math>dl(x_i,x_j)</math> {{---}} число пар <math>(x_k, x_l) \in X</math> таких, что (1) <math>x_k</math> и <math>x_l</math> принадлежат разным кластерам, и (2) <math>\|x_k - x_l\| < \|x_i - x_j\|</math>,
: <math>
n_w = \sum_{c_k \in C} \binom{|c_k|}{2}
</math>

=== COP Index ===
В данной метрике компактность вычисляется как расстояние от точек кластера до его центроиды, а разделимость основана на расстоянии до самого отдаленного соседа.
: <math>
COP(C) = \dfrac{1}{N} \sum \limits_{c_k \in C} |c_k| \dfrac{ 1/|c_k| \sum_{x_i \in c_k} \| x_i - \overline{c_k} \| }{ \min_{x_i \notin c_k} \max_{x_j \in c_k} \| x_i - x_j\| }
</math>

== Сравнение ==
Не существует лучшего метода оценки качества кластеризации. Однако, в рамках исследования<ref>[https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S003132031200338X An extensive comparative study of cluster validity indices]</ref> была предпринята попытка сравнить существующие метрики на различных данных. Полученные результаты показали, что на искусственных датасетах наилучшим образом себя проявили индексы Silhouette(Sil), Davies–Bouldin*(DB*) и Calinski–Harabasz(CH). На реальных датасетах лучше всех показал себя Score function.

== См. также ==
* [[Кластеризация]]
* [[Оценка качества в задачах классификации и регрессии]]<sup>[на 28.01.19 не создан]</sup>

== Источники информации ==
# [https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Clustering_criteria Wikipedia {{---}} Category:Clustering criteria]
# [http://synthesis.ipi.ac.ru/sigmod/seminar/sivogolovko20111124.pdf Сивоголовко Е. В. Методы оценки качества четкой кластеризации]
# [http://www.cs.kent.edu/~jin/DM08/ClusterValidation.pdf Cluster Validation]
# [https://link.springer.com/article/10.1023/A:1012801612483 Halkidi, M., Batistakis, Y., Vazirgiannis, M., 2001. On clustering validation techniques. Journal of intelligent information systems, 17(2-3), pp.107-145.]
# [https://eurekamag.com/pdf/008/008337083.pdf Pal, N.R., Biswas, J., 1997. Cluster validation using graph theoretic concepts. Pattern Recognition, 30(6), pp.847-857.]

== Примечания ==

[[Категория:Машинное обучение]]
[[Категория:Кластеризация]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Оценка качества в задаче кластеризации