Алгоритм Форда-Беллмана

2020-05-02T13:36:47Z

2.92.228.32: /* Нахождение отрицательного цикла */

{{Задача
|definition=Для заданного взвешенного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] <tex>G = (V, E)</tex> найти кратчайшие пути из заданной вершины <tex> s </tex> до всех остальных вершин.
В случае, когда в графе <tex>G</tex> содержатся отрицательные [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|циклы]], достижимые из <tex>s</tex>, сообщить, что кратчайших путей не существует.
}}

==Введение==
Количество путей длины <tex>k</tex> рёбер можно найти с помощью метода [[Динамическое_программирование|динамического программирования]]. 
Пусть <tex>d[k][u]</tex> {{---}} количество путей длины <tex>k</tex> рёбер, заканчивающихся в вершине <tex>u</tex>. Тогда <tex> d[k][u] = \sum\limits_{v : vu \; \in E} d[k-1][v] </tex>.

Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть <tex>s</tex> {{---}} стартовая вершина. Тогда <tex> d[k][u] = \min\limits_{v : vu \; \in E}(d[k-1][v] \: + \: \omega(u, v))</tex>, при этом <tex>d[0][s] = 0</tex>, а <tex>d[0][u] = +\infty </tex>
{{Лемма
|statement=Если существует кратчайший путь от <tex>s</tex> до <tex>t</tex>, то <tex> \rho(s, \, t) \: = \: \min\limits_{k = 0..n-1} d[k][t]</tex>
|proof=Пусть кратчайший путь состоит из <tex>k</tex> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.
}}

==Псевдокод==
Используя приведенные формулы, алгоритм можно реализовать методом динамического программирования.

'''for''' k = 0 '''to''' <tex>|V| - 2</tex> // вершины нумеруются с единицы
'''for''' <tex>v \in V</tex>
'''for''' <tex> (u, v) \in E </tex>
d[k + 1][v] = min(d[k + 1][v], d[k][u] + <tex>\omega(u, v)</tex>) // <tex>\omega(u, v)</tex> {{---}} вес ребра uv

Также релаксацию можно свести к одномерному случаю, если не хранить длину пути в рёбрах. Одномерный массив будем обозначать <tex>d'</tex>, тогда <tex>d'[u] = \min(d'[u], \; d'[v] + \omega(vu))</tex>

==Корректность==

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G = (V, E)</tex> — взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — стартовая вершина.
Тогда после завершения <tex>k</tex> итераций цикла <tex>\mathrm{for}</tex> выполняется неравенство <tex> \rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex>.
|proof=Воспользуемся индукцией по <tex>k</tex>:

'''База индукции'''
:При <tex>k = 0</tex> выполнено: <tex>\rho(s, u) \leqslant +\infty \leqslant +\infty </tex>

'''Индукционный переход'''
:Сначала докажем, что <tex> \rho(s, u) \leqslant d'[u]</tex>.
:Пусть после <tex>k - 1 </tex> итерации выполняется <tex>\rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i=0..k-1} d[i][u]</tex> для всех <tex>u</tex>.
:Тогда после <tex>k</tex> итераций <tex> \rho(s, v) = \min\limits_{u \in V} (\rho(s, u) + \omega(uv)) \leqslant \min\limits_{u \in V} (d'[u] + \omega(uv)) = d'[v]</tex>.

:Переходим ко второму неравенству.
:Теперь возможно два случая:
:#<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[k+1][u]</tex>
:#<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[j][u] =\min\limits_{i = 0..j} \; d[i][u]</tex>

:Рассмотрим 1 случай:
::<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[k+1][u]</tex> 
::<tex>d'[u] \leqslant d'[v] + \omega(vu) \leqslant d[k][v] + \omega(vu) = d[k+1][u]</tex>
:2 случай расписывается аналогично.

Таким образом переход выполнен и <tex>\rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex> выполняется.
}}

==Реализация алгоритма и ее корректность==
'''bool''' fordBellman(s)''':'''
'''for''' <tex>v \in V</tex>
d[v] = <tex>\mathcal {1}</tex>
d[s] = 0
'''for''' i = 0 '''to''' <tex> |V| - 1 </tex>
'''for''' <tex> (u, v) \in E </tex>
'''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> // <tex>\omega(u, v)</tex> {{---}} вес ребра uv
d[v] = d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex>
'''for''' <tex> (u, v) \in E </tex>
'''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex>
'''return''' ''false''
'''return''' ''true''

В этом алгоритме используется релаксация, в результате которой <tex>d[v]</tex> уменьшается до тех пор, пока не станет равным <tex>\delta(s, v)</tex>.
<tex>d[v]</tex> {{---}} оценка веса кратчайшего пути из вершины <tex>s</tex> в каждую вершину <tex>v \in V</tex>. 
<tex>\delta(s, v)</tex> {{---}} фактический вес кратчайшего пути из <tex>s</tex> в вершину <tex>v</tex>.

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> {{---}} взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> {{---}} стартовая вершина. Тогда после завершения <tex> |V| - 1 </tex> итераций цикла для всех вершин, достижимых из <tex>s</tex>, выполняется равенство <tex> d[v] = \delta (s, v) </tex>.
|proof=Рассмотрим произвольную вершину <tex>v</tex>, достижимую из <tex>s</tex>.
Пусть <tex>p = \langle v_0,..., v_{k} \rangle </tex>, где <tex>v_0 = s</tex>, <tex>v_{k} = v</tex> {{---}} кратчайший ациклический путь из <tex> s </tex> в <tex> v </tex>. Путь <tex> p </tex> содержит не более <tex> |V| - 1 </tex> ребер. Поэтому <tex>k \leqslant |V| - 1</tex>.

Докажем следующее утверждение:
:После <tex>n : (n \leqslant k)</tex> итераций первого цикла алгоритма, <tex>d[v_n] = \delta(s, v_n) </tex>
Воспользуемся индукцией по <tex>n</tex>:

'''База индукции'''
:Перед первой итерацией утверждение очевидно выполнено: <tex>d[v_0] = d[s] = \delta(s, s) = 0</tex>
'''Индукционный переход'''
:Пусть после <tex>n : (n < k)</tex> итераций, верно что <tex>d[v_n] = \delta(s, v_n)</tex>. Так как <tex>(v_n, v_{n + 1})</tex> принадлежит кратчайшему пути от <tex>s</tex> до <tex>v</tex>, то <tex>\delta(s, v_{n+1}) = \delta(s, v_n) + \omega(v_n, v_{n + 1})</tex>. Во время <tex>l + 1</tex> итерации релаксируется ребро <tex>(v_n,v_{n+1})</tex>, следовательно по завершению итерации будет выполнено
::<tex>d[v_{n+1}] \leqslant d[v_n] + \omega(v_n, v_{n+1}) = \delta(s, v_n) + \omega(v_n, v_{n+1}) = \delta(s, v_{n+1})</tex>.
:Ясно, что <tex>d[v_{n+1}] \geqslant \delta(s, v_{n+1}) </tex>, поэтому верно что после <tex>l + 1</tex> итерации <tex>d[v_{n+1}] = \delta(s, v_{n + 1})</tex>.
:Индукционный переход доказан.

Итак, выполнены равенства <tex>d[v] = d[v_{k}] = \delta (s, v_{k}) = \delta (s, v)</tex>. 
}}

{{Теорема
|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> {{---}} взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> {{---}} стартовая вершина. Если граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> true </tex> и для всех <tex> v \in V \ d[v] = \delta (s, v)</tex>. Если граф <tex> G </tex> содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> false </tex>.
|proof=Пусть граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>.

Тогда если вершина <tex> v </tex> достижима из <tex> s </tex>, то по лемме <tex> d[v] = \delta (s, v)</tex>. Если вершина <tex> v </tex> не достижима из <tex> s </tex>, то <tex> d[v] = \delta (s, v) = \mathcal {1}</tex> из несуществования пути.

Теперь докажем, что алгоритм вернет значение <tex> true </tex>.

После выполнения алгоритма верно, что для всех <tex> (u, v) \in E, \ d[v] = \delta (s, v) \leqslant \delta (s, u) + \omega (u,v) = d[u] + \omega (u,v)</tex>, значит ни одна из проверок не вернет значения <tex> false </tex>.

Пусть граф <tex> G </tex> содержит отрицательный цикл <tex> c = {v_0,...,v_{k}} </tex>, где <tex> v_0 = v_{k} </tex>, достижимый из вершины <tex> s </tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} < 0 </tex>.

Предположим, что алгоритм возвращает <tex> true </tex>, тогда для <tex> i = 1,...,k </tex> выполняется <tex> d[v_{i}] \leqslant d[v_{i-1}] + \omega (v_{i-1}, v_{i}) </tex>.

Просуммируем эти неравенства по всему циклу: <tex>\sum\limits_{i=1}^{k} {d[v_{i}]} \leqslant \sum\limits_{i=1}^{k} {d[v_{i-1}]} + \sum\limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} </tex>.

Из того, что <tex> v_0 = v_{k} </tex> следует, что <tex> \sum\limits^{k}_{i=1} {d[v_{i}]} = \sum \limits_{i=1}^{k} {d[v_{i - 1}]} </tex>.

Получили, что <tex> \sum \limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} \geqslant 0 </tex>, что противоречит отрицательности цикла <tex> c </tex>.
}}

==Сложность==
Инициализация занимает <tex> \Theta (V) </tex> времени, каждый из <tex> |V| - 1 </tex> проходов требует <tex> \Theta (E) </tex> времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает <tex>O(E)</tex> времени. Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за <tex>O(V E)</tex> времени.

==Нахождение отрицательного цикла==
Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.

Если после <tex>|V| - 1</tex> итерации найдется вершина <tex> v </tex>, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно <tex>|V| - 1</tex> раз пройти назад по предкам из вершины <tex> v </tex>. Так как наибольшая длина пути в графе из <tex>|V|</tex> вершин равна <tex>|V| - 1</tex>, то полученная вершина <tex> u </tex> будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.

Зная, что вершина <tex> u </tex> лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина <tex> u </tex>. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.

'''int[]''' negativeCycle(s)''':'''
'''for''' <tex>v \in V</tex>
d[v] = <tex>\mathcal {1}</tex>
p[v] = -1
d[s] = 0
'''for''' i = 1 '''to''' <tex>|V| - 1</tex>
'''for''' <tex> (u, v) \in E </tex>
'''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex>
d[v] = d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex>
p[v] = u
'''for''' <tex> (u, v) \in E </tex>
'''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex>
'''for''' i = 0 '''to''' <tex>|V| - 1</tex>
v = p[v]
u = v
'''while''' u != p[v]
ans.add(v) // добавим вершину к ответу
v = p[v]
reverse(ans)
'''break'''
'''return''' ans

== Источники информации ==
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — ISBN 978-5-8459-0857-5.
* [http://e-maxx.ru/algo/ford_bellman MAXimal :: algo :: Алгоритм Форда-Беллмана]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм Форда-Беллмана