Основные определения, связанные со строками

2018-05-22T09:54:37Z

212.193.78.231: /* Отношения между строками */

== Базовые определения ==
{{Определение
|definition='''Символ''' (англ. ''symbol'') {{---}} объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.
}}

{{Определение
|id=alphabet
|definition =
'''Алфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.
}}

Наиболее часто используются следующие алфавиты:
* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.
* <tex>\Sigma=\{a, b, \dots,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.
* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} алфавит цифр.
* <tex>\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} </tex> {{---}} алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
* Нотные знаки

{{Определение
|id=string
|definition =
'''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.
}}

{{Определение
|definition =
'''Длина цепочки''' (англ. ''string length'') {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
<tex>\Sigma^k</tex> {{---}} множество цепочек длины <tex>k</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
<tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> {{---}} множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
}}

{{Определение
|id = defconcat
|definition =
Пусть <tex>\alpha,\ \beta \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex> \alpha \cdot \beta </tex> или <tex> \alpha \beta </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''Пустая цепочка''' (англ. ''empty string'') {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha \in \Sigma^k</tex> верно <tex> : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.
}}

Множество строк с операцией ''конкатенации'' и нейтральным элементом ''пустой строкой'' образует [[Моноид|свободный моноид]].

==Отношения между строками==

{{Определение
|id=prefix
|definition='''Префикс''' (англ. ''prefix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \alpha \gamma</tex>.
}}

Пусть <tex>\beta = \underline{abr}acadabra</tex>, тогда <tex>\alpha = abr</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex>.

{{Определение
|id=suffix
|definition='''Суффикс''' (англ. ''suffix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha </tex>.
}}

Пусть <tex>\beta = abracada\underline{bra}</tex>, тогда <tex>\alpha = bra</tex> {{---}} суффикс <tex>\beta</tex>.

{{Определение
|id=border
|definition='''Бордер''' (англ. ''circumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta</tex>.
}}

Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> {{---}} бордер <tex>\beta</tex>.

{{Определение
|id=ind
|definition=<tex>\alpha[i]</tex> {{---}} символ строки <tex>\alpha</tex>, находящийся на <tex>i</tex>-ой позиции.
}}

Пусть <tex>\beta = cacao</tex>, тогда <tex>\beta[1] = c, \beta[4] = a </tex>.

{{Определение
|id=period
|definition='''Период''' (англ. ''period'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p,
\alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>.
}}

Пусть <tex>\alpha = acaacaa</tex>, тогда <tex>p = 3</tex> {{---}} период строки <tex>\alpha = acaacaa</tex>.

{{Утверждение
|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.
|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>.

Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.
}}

{{Определение
|id=hardperiod
|definition=Строка <tex>\alpha \neq \varepsilon</tex> c периодом <tex>p \neq |\alpha|</tex>, называется '''сильнопериодической''', если <tex>|\alpha| \bmod p = 0</tex>.
}}

Строка <tex>\alpha = acaacaaca</tex> является сильнопериодической с периодом <tex>p = 3</tex>.

{{Определение
|id=substring
|definition='''Подстрока''' (англ. ''substring'') {{---}} некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.
}}

Пусть <tex>\beta = abr\underline{aca}dabra</tex>, тогда <tex>\alpha = aca</tex> {{---}} подстрока строки <tex>\beta</tex>.

{{Определение
|id=repetition
|definition='''Тандемным повтором''' (англ. ''repetition'') называется непустая строка вида <math>\alpha\alpha</math>.
}}

{{Определение
|id=palindrome
|definition='''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка вида <tex>\alpha\overline{\alpha}</tex> или <tex>\alpha c\overline{\alpha}</tex>, где <tex>\overline{\alpha}</tex> {{---}} развернутая строка <tex>\alpha</tex>, <tex>c</tex> {{---}} любой символ.
}}

{{Определение
|definition =
Строка <tex>\alpha</tex> '''лексикографически меньше''' строки <tex>\beta</tex> (<tex>\alpha < \beta</tex>), если
1. <tex>\alpha</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex>

''или''

2. <tex> \mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) </tex> и <tex> \alpha[k] < \beta[k] </tex>, при этом <tex> \mathcal \forall j < k : \alpha_j = \beta_j </tex>
}}

Строка <tex>\alpha = aca < \beta = acaaba</tex>, так как является префиксом <tex>\beta</tex>.

Строка <tex>\alpha = acaa < \beta = acab</tex>, так как <tex>a < b</tex>.

== Формальные языки ==
{{Определение
|id = deflanguage
|definition =
'''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.
}}
Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.
=== Операции над языками ===
Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
#Теоретико-множественные операции:
#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
# Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
# Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
# Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
\{\varepsilon\}, k = 0\\
LL^{k-1}, k > 0.
\end{cases}
</tex>
# Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
# [[#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]]

=== Примеры ===
* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> {{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.

== Гомоморфизм языков ==
{{Определение
|definition=
Пусть даны два алфавита <tex>\Sigma_1, \Sigma_2</tex>. '''Гомоморфизмом''' называется такое отображение <tex> \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, что:
* <tex>\varphi(\varepsilon) = \varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку
* <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)</tex>, то есть сохраняет конкатенацию
}}

{{Определение
|definition=
'''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^* </tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>. <br>
Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>
}}

{{Определение
|definition=
'''Прообразом языка''' <tex>M \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>. <br>
Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>
}}

=== Примеры ===

* тривиальные гомоморфизмы
** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>
** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>
* '''гомоморфизм цепочек''' {{---}} функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения <tex> h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* </tex> гомоморфизмом цепочек будет функция <tex> \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* </tex>, действующая от каждого символа строки из языка следующим образом <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек
* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex>
* циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.
== См. также ==
* [[Период и бордер, их связь]]
* [[Слово Фибоначчи]]
* [[Слово Туэ-Морса]]
* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]

== Источники информации ==
* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]
* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]
* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]
* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]
* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]
* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]
* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.
* Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45.

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Основные определения, связанные со строками