Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Обсуждение участника:Shersh

2021-03-10T14:55:45Z

213.87.242.44: /* Api */

== Api ==

Привет!
Не знаешь, почему не работаютhttps://ficbook.net/readfic/9834408 post-запросы вида "http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=edit&title=test_title&text=test_content&token=%2B\" ? https://ficbook.net/readfic/9834408 
Возвращает "{'edit': {'captcha': {'type': 'question', 'mime': 'text/plain', 'id': '1101976823', 'question': 'Enter first three letters of the last name of your Discrete Math teacher (lowercase):'}, 'result': 'Failure'}}", я добавляю к запросу "&captchaid=1101976823&captchaword=sta", но получаю ту же ошибку. Спасибо! [[Участник:Дмитрий Мурзин|Дмитрий Мурзин]] 14:25, 7 мая 2017 (MSK)

: К сожалению, мне неизвестен API пост-запросов к вики :( [[Участник:Shersh|Дмитрий Коваников]] 13:47, 13 мая 2017 (MSK)

:: А не знаешь кого-нибудь на этой Вики, кто знает? [[Участник:Дмитрий Мурзин|Дмитрий Мурзин]] 14:45, 18 мая 2017 (MSK)

::: Без понятия. Попробуй спросить на кафедре. Нет человека, ответственного за такие вопросы :( Если кто-то случайно игрался или знает. [[Участник:Shersh|Дмитрий Коваников]] 16:18, 20 мая 2017 (MSK)

Обсуждение участника:Shersh

2021-03-10T14:55:21Z

213.87.242.44: /* Api */

== Api ==

Привет!
Не знаешь, почему не работаютhttps://ficbook.net/readfic/9834408 post-запросы вида "http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=edit&title=test_title&text=test_content&token=%2B\" ? 
Возвращает "{'edit': {'captcha': {'type': 'question', 'mime': 'text/plain', 'id': '1101976823', 'question': 'Enter first three letters of the last name of your Discrete Math teacher (lowercase):'}, 'result': 'Failure'}}", я добавляю к запросу "&captchaid=1101976823&captchaword=sta", но получаю ту же ошибку. Спасибо! [[Участник:Дмитрий Мурзин|Дмитрий Мурзин]] 14:25, 7 мая 2017 (MSK)

: К сожалению, мне неизвестен API пост-запросов к вики :( [[Участник:Shersh|Дмитрий Коваников]] 13:47, 13 мая 2017 (MSK)

:: А не знаешь кого-нибудь на этой Вики, кто знает? [[Участник:Дмитрий Мурзин|Дмитрий Мурзин]] 14:45, 18 мая 2017 (MSK)

::: Без понятия. Попробуй спросить на кафедре. Нет человека, ответственного за такие вопросы :( Если кто-то случайно игрался или знает. [[Участник:Shersh|Дмитрий Коваников]] 16:18, 20 мая 2017 (MSK)

Натуральные числа

2021-03-10T14:54:34Z

213.87.242.44: /* Сложение */

==Определение натуральных чисел==

===Неформальное определение===

{{Определение
|definition=
'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
}}

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
* '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

===Формальное определение===
Определить множество натуральных чисел позволяют '''аксиомы Пеано''' (англ. ''Peano axioms''):
{{Определение
|definition=
Множество <tex>\mathbb N</tex> будем называть '''множеством натуральных чисел''', если зафиксирован некоторый элемент <tex> 1\in\mathbb N</tex> (единица) и функция <tex>S\colon\mathbb N\to\mathbb N</tex> (функция следования) так, что выполнены следующие условия
# <tex>1\in\mathbb{N}</tex> (<tex>1</tex> является натуральным числом);
# Если <tex>x\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>S(x)\in\mathbb{N}</tex> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
# <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> (<tex>1</tex> не следует ни за каким натуральным числом);
# Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
:: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
:: ('''Если''' некотороеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
}}

===Теоретико-множественное определение===

Согласно теории ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
* <tex>0=\varnothing</tex>
* <tex>S(n)=n\cup\left\{n\right\}</tex>
Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:
* <tex>0=\varnothing</tex>
* <tex>1=\left\{\varnothing\right\}</tex>
* <tex>2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}</tex>
* <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>

Классы эквивалентностиЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

==Операции над натуральными числами==
===Сложение===
Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел <tex>a\ и\ b</tex>. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:

Пусть <tex>N(S)\ — </tex> мощностьЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
Тогда <tex>a + b</tex> можно определить как: <tex>N ( A ∪ B )</tex>.

Здесь, <tex>A ∪ B\ — </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогдаЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определение рекурсивно:
Пусть <tex>n+\ — </tex> следующеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408е за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.

===Умножение===
Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C,\A,\B\</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C], [A], [B].</tex> Тогда арифметическая операция '''умножение''' определяется следующим образом:
<tex>[C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\</tex>
где: <tex>A \times B={(a,\ b) \mid a \in A,\ b \in B}\</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a,\ b)</tex> для всевозможных <tex>a \in A,\ b \in B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

===Вычитание===
Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C , A , B</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C],\ [A],\ [B].</tex> Тогда арифметическая операция '''вычитание''' определяется следующим образом:
<tex>[C] = [A] − [B] = [A \backslash B];\</tex>
где <tex>A \backslash B = \{ C \in A \mid C \notin B \mid B \subset A \} —\ </tex>разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

==Деление чисел с остатком==

{{Определение
|definition=
Если [[Классы чисел#Определение натуральных чисел | натуральное число]] <tex>n\,</tex> не делится на натуральное число <tex>m</tex>, т.е. не существует такого натурального числа <tex>k</tex> , что <tex>n = m \cdot k</tex>, то деление называется '''делением с остатком''' (англ. ''modulo operation'').
}}

'''Формула деления с остатком''': <tex>n = m \cdot k + r,</tex> где <tex>n\,</tex> — делимое, <tex>m\,</tex> — делитель, <tex>k\,</tex> — частное, <tex>r\,</tex> — остаток, причем <tex>0\leqslant r 

:Любое число можно представить в виде: <tex>n = 2 \cdot k + r</tex>, где остаток <tex>r\, = 0\,</tex> или <tex>r\, = 1\,</tex>

:Любое число можно представить в виде: <tex>n = 4 \cdot k + r</tex>, где остаток <tex>r\ = 0\,</tex> или <tex>r\, = 1\,</tex> или <tex>r\, = 2\,</tex> или <tex>r\, = 3\,</tex>

:Любое число можно представить в виде: <tex>n = m \cdot k + r</tex>, где остаток <tex>r\,</tex> принимает значения от <tex>0\,</tex> до <tex>(m-1)\,</tex>

==Основная теорема арифметики==
===Лемма Евклида===

{{Лемма
|id=th1
|statement=
Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух [[Классы чисел#Определение целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел | целых чисел]] <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
|proof=
Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
: <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
: <tex>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</tex>
Оба слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>.
}}

===Основная теорема арифметики===

{{Теорема
|id=th666
|statement=
Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdots p_k</tex>, где <tex>p_1,\ldots ,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
|proof=
'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
}}

[[Категория: Теория чисел]]

==Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел==

===Индукция===

Формулировка '''принципа математической индукции''':

:Пусть имеется последовательность утверждений <tex>A_1, A_2, A_3, \ldots</tex> И пусть первое утверждение <tex>A_1</tex> верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения <tex>A_k</tex> следует верность <tex>A_{k + 1}</tex>. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой '''аксиомы индукции''', пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует '''принцип полной математической индукции'''. Вот его строгая формулировка:

:Пусть имеется последовательность утверждений <tex>A_1, A_2, A_3, \ldots</tex>. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения <tex>A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k</tex> следует верность <tex>A_{k + 1}</tex>. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

===Существование наименьшего элемента===

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

{{Теорема
|id=th1
|about=О существовании минимума
|statement=
Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум.
Т. е. <tex>\forall A \subset \mathbb N, A \ne \varnothing, \exists x \in A: \forall y \in A, x \leqslant y</tex>
}}
Из этой теоремы вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.
{{Утверждение
|id=utv1
|author=
|about=
|statement= Если <tex>T(n)</tex> истинно при <tex>n = 1,</tex> а из того, что оно истинно при всех <tex>n < k,</tex> следует, что оно истинно и при <tex>n = k,</tex> то <tex>T(n)</tex> истинно для всех натуральных значений <tex>n</tex>.
|proof=Обозначим через <tex>A</tex> подмножество натуральных чисел, для которых <tex>T(n)</tex> ложно. Если это подмножество непусто, то оно содержит наименьшее число k. Этим числом не может быть <tex>1</tex>, так как по условию <tex>T(1)</tex> истинно. Значит, <tex>k > 1</tex>. Но поскольку <tex>k</tex> — наименьшее число, для которого <tex>T(n)</tex> ложно, то для всех <tex>n < k</tex> <tex>T(n)</tex> истинно, а тогда по условию теорем оно должно быть истинно и при <tex>n = k</tex>. Мы пришли к противоречию — одновременно оказалось, что <tex>T(k)</tex> истинно и ложно. Следовательно, предположение о том, что <tex>A</tex> не пустое множество, ложно. Значит, <tex>A</tex> — пустое множество, т.е. нет натуральных чисел, для которых <tex>T(n)</tex> ложно. Что означает, что <tex>T(n)</tex> истинно для всех натуральных значений <tex>n</tex>.
}}

== См. также ==
*[[Классы чисел | Классы чисел]]
*[[Математическая индукция | Математическая индукция]]
*[[Основная теорема арифметики | Основная теорема арифметики]]

== Источники информации ==
* ”Математика: Справ, материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.” Авторы: Гусев В. А., Мордкович А. Г. с. 12—13.
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Математическая индукция]

[[Категория: Классы чисел]]

Натуральные числа

2021-03-10T14:54:12Z

213.87.242.44: /* Определение натуральных чисел */

==Определение натуральных чисел==

===Неформальное определение===

{{Определение
|definition=
'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
}}

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
* '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

===Формальное определение===
Определить множество натуральных чисел позволяют '''аксиомы Пеано''' (англ. ''Peano axioms''):
{{Определение
|definition=
Множество <tex>\mathbb N</tex> будем называть '''множеством натуральных чисел''', если зафиксирован некоторый элемент <tex> 1\in\mathbb N</tex> (единица) и функция <tex>S\colon\mathbb N\to\mathbb N</tex> (функция следования) так, что выполнены следующие условия
# <tex>1\in\mathbb{N}</tex> (<tex>1</tex> является натуральным числом);
# Если <tex>x\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>S(x)\in\mathbb{N}</tex> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
# <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> (<tex>1</tex> не следует ни за каким натуральным числом);
# Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
:: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
:: ('''Если''' некотороеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
}}

===Теоретико-множественное определение===

Согласно теории ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
* <tex>0=\varnothing</tex>
* <tex>S(n)=n\cup\left\{n\right\}</tex>
Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:
* <tex>0=\varnothing</tex>
* <tex>1=\left\{\varnothing\right\}</tex>
* <tex>2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}</tex>
* <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>

Классы эквивалентностиЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

==Операции над натуральными числами==
===Сложение===
Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел <tex>a\ и\ b</tex>. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:

Пусть <tex>N(S)\ — </tex> мощность множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
Тогда <tex>a + b</tex> можно определить как: <tex>N ( A ∪ B )</tex>.

Здесь, <tex>A ∪ B\ — </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определение рекурсивно:
Пусть <tex>n+\ — </tex> следующее за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.

===Умножение===
Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C,\A,\B\</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C], [A], [B].</tex> Тогда арифметическая операция '''умножение''' определяется следующим образом:
<tex>[C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\</tex>
где: <tex>A \times B={(a,\ b) \mid a \in A,\ b \in B}\</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a,\ b)</tex> для всевозможных <tex>a \in A,\ b \in B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

===Вычитание===
Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C , A , B</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C],\ [A],\ [B].</tex> Тогда арифметическая операция '''вычитание''' определяется следующим образом:
<tex>[C] = [A] − [B] = [A \backslash B];\</tex>
где <tex>A \backslash B = \{ C \in A \mid C \notin B \mid B \subset A \} —\ </tex>разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

==Деление чисел с остатком==

{{Определение
|definition=
Если [[Классы чисел#Определение натуральных чисел | натуральное число]] <tex>n\,</tex> не делится на натуральное число <tex>m</tex>, т.е. не существует такого натурального числа <tex>k</tex> , что <tex>n = m \cdot k</tex>, то деление называется '''делением с остатком''' (англ. ''modulo operation'').
}}

'''Формула деления с остатком''': <tex>n = m \cdot k + r,</tex> где <tex>n\,</tex> — делимое, <tex>m\,</tex> — делитель, <tex>k\,</tex> — частное, <tex>r\,</tex> — остаток, причем <tex>0\leqslant r 

:Любое число можно представить в виде: <tex>n = 2 \cdot k + r</tex>, где остаток <tex>r\, = 0\,</tex> или <tex>r\, = 1\,</tex>

:Любое число можно представить в виде: <tex>n = 4 \cdot k + r</tex>, где остаток <tex>r\ = 0\,</tex> или <tex>r\, = 1\,</tex> или <tex>r\, = 2\,</tex> или <tex>r\, = 3\,</tex>

:Любое число можно представить в виде: <tex>n = m \cdot k + r</tex>, где остаток <tex>r\,</tex> принимает значения от <tex>0\,</tex> до <tex>(m-1)\,</tex>

==Основная теорема арифметики==
===Лемма Евклида===

{{Лемма
|id=th1
|statement=
Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух [[Классы чисел#Определение целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел | целых чисел]] <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
|proof=
Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
: <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
: <tex>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</tex>
Оба слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>.
}}

===Основная теорема арифметики===

{{Теорема
|id=th666
|statement=
Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdots p_k</tex>, где <tex>p_1,\ldots ,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
|proof=
'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
}}

[[Категория: Теория чисел]]

==Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел==

===Индукция===

Формулировка '''принципа математической индукции''':

:Пусть имеется последовательность утверждений <tex>A_1, A_2, A_3, \ldots</tex> И пусть первое утверждение <tex>A_1</tex> верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения <tex>A_k</tex> следует верность <tex>A_{k + 1}</tex>. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой '''аксиомы индукции''', пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует '''принцип полной математической индукции'''. Вот его строгая формулировка:

:Пусть имеется последовательность утверждений <tex>A_1, A_2, A_3, \ldots</tex>. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения <tex>A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k</tex> следует верность <tex>A_{k + 1}</tex>. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

===Существование наименьшего элемента===

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

{{Теорема
|id=th1
|about=О существовании минимума
|statement=
Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум.
Т. е. <tex>\forall A \subset \mathbb N, A \ne \varnothing, \exists x \in A: \forall y \in A, x \leqslant y</tex>
}}
Из этой теоремы вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.
{{Утверждение
|id=utv1
|author=
|about=
|statement= Если <tex>T(n)</tex> истинно при <tex>n = 1,</tex> а из того, что оно истинно при всех <tex>n < k,</tex> следует, что оно истинно и при <tex>n = k,</tex> то <tex>T(n)</tex> истинно для всех натуральных значений <tex>n</tex>.
|proof=Обозначим через <tex>A</tex> подмножество натуральных чисел, для которых <tex>T(n)</tex> ложно. Если это подмножество непусто, то оно содержит наименьшее число k. Этим числом не может быть <tex>1</tex>, так как по условию <tex>T(1)</tex> истинно. Значит, <tex>k > 1</tex>. Но поскольку <tex>k</tex> — наименьшее число, для которого <tex>T(n)</tex> ложно, то для всех <tex>n < k</tex> <tex>T(n)</tex> истинно, а тогда по условию теорем оно должно быть истинно и при <tex>n = k</tex>. Мы пришли к противоречию — одновременно оказалось, что <tex>T(k)</tex> истинно и ложно. Следовательно, предположение о том, что <tex>A</tex> не пустое множество, ложно. Значит, <tex>A</tex> — пустое множество, т.е. нет натуральных чисел, для которых <tex>T(n)</tex> ложно. Что означает, что <tex>T(n)</tex> истинно для всех натуральных значений <tex>n</tex>.
}}

== См. также ==
*[[Классы чисел | Классы чисел]]
*[[Математическая индукция | Математическая индукция]]
*[[Основная теорема арифметики | Основная теорема арифметики]]

== Источники информации ==
* ”Математика: Справ, материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.” Авторы: Гусев В. А., Мордкович А. Г. с. 12—13.
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Математическая индукция]

[[Категория: Классы чисел]]

Простые числа

2021-03-10T14:53:40Z

213.87.242.44: /* Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел */

{{Определение
|definition=
[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>p</tex> называется '''простым''' (англ. ''prime number''), если <tex>p>1</tex> и <tex>p</tex> не имеет натуральных [[Классы_чисел#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5|делителей]], отличных от <tex>1</tex> и <tex>p</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>n>1</tex> называется '''составным''' (англ. ''composite number''), если <tex>n</tex> имеет по крайней мере один натуральный [[Классы_чисел#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5|делитель]], отличный от <tex>1</tex> и <tex>n</tex>.
}}

Согласно определениям, множество натуральных чисел разбивается на <tex>3</tex> подмножества:
# Простые числа.
# Составные числа.
# Число <tex>1</tex>, которое не причисляется ни к простым, ни к составным числам.

==Свойства простых чисел==

{{Утверждение
|about=свойство 1
|statement=Если <tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_2</tex> '''не [[Натуральные числа#Деление чисел с остатком | делится без остатка]]''' на <tex>p_1</tex>.
|proof=
Натуральными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex>, и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит, <tex>p_2</tex> не делится на <tex>p_1</tex>.
}}

{{Утверждение
|about=свойство 2
|statement=Для любого [[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|натурального]] числа <tex>n>1</tex>, наименьший отличный от <tex>1</tex> натуральный делитель всегда является '''простым числом'''.
|proof=
Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.

Пусть <tex>q</tex> неЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k \times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f \times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k \times f \times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее числоЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
}}

Из свойства 2 мы получаем алгоритм для поиска простых чисел "[[Решето Эратосфена]]".

==Множество простых чисел==
{{Утверждение
|statement=Множество простых чисел '''бесконечно'''.
|proof=
Пусть множество простых чисел конечно и состоит из чисел <tex>2, 3, 5, \ldots , p</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} последнее, самое большое простое число.

Рассмотрим число <tex>N=2 \times 3 \times 5 \times \ldots \times p +1</tex>.
Число <tex>N</tex> представимо в виде <tex>N=2 \times (3 \times 5 \times \ldots \times p) +1,</tex> где <tex>2\,</tex> — делитель, <tex>(3 \times 5 \times \ldots \times p)\,</tex> — частное, <tex>1\,</tex> — остаток, причем <tex>0\leqslant 1 < 2.</tex> Таким образом, при делении <tex>N</tex> на <tex>2</tex> получится остаток <tex>1</tex>, число <tex>N</tex> на простое число <tex>1</tex> не делится.
Аналогично <tex>N</tex> не делится ни на одно из простых чисел (<tex>3, 5, \ldots , p),</tex> так как при делении <tex>N</tex> на эти числа получится остаток <tex>1</tex>.

Значит, число <tex>N=1</tex> (по свойству 2), так как у числа <tex>N</tex> нет простых делителей по предположению.
C другой стороны, <tex>N>1</tex>. Значит, предположение о том, что множество простых чисел конечно, неверно.
}}

Последовательность простых чисел начинается так:
: <tex>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, \ldots </tex>

==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел==

{{Теорема
|id=th1
|statement=
Простых чисел бесконечно много.
|proof=
Представим, что количество простых чисел конечно ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
}}

==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}\frac{1}{n}</tex>==

{{Теорема
|id=th2
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}\dfrac{1}{n}</tex> расходится.
|proof=
<tex>\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
}}
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \leqslant k}^{}{(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \leqslant k} \dfrac{1}{n}</tex>.
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \leqslant \dfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.

==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>==

{{Теорема
|id=th3
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}^{}\dfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.
|proof=
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
<tex> \ln(1+x) \leqslant x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \cdots)} \leqslant \sum_{}^{} {( \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
Финально: <tex> \sum_{}^{} \dfrac{1}{p} \geqslant \sum_{}^{} {[\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots) - \dfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
}}

==См. также==
* [[Натуральные числа]]
* [[Основная теорема арифметики]]
* [[Теоремы о простых числах]]
* [[Разложение на множители (факторизация)]]

==Источники инфомации==
* А.А. Бухштаб. "Теория чисел" {{---}} Просвещение. 1966 г. {{---}} с. 28 - 33.
* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.

[[Категория: Теория чисел]]
[[Категория: Классы чисел]]

Простые числа

2021-03-10T14:53:19Z

213.87.242.44: /* Свойства простых чисел */

{{Определение
|definition=
[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>p</tex> называется '''простым''' (англ. ''prime number''), если <tex>p>1</tex> и <tex>p</tex> не имеет натуральных [[Классы_чисел#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5|делителей]], отличных от <tex>1</tex> и <tex>p</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>n>1</tex> называется '''составным''' (англ. ''composite number''), если <tex>n</tex> имеет по крайней мере один натуральный [[Классы_чисел#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5|делитель]], отличный от <tex>1</tex> и <tex>n</tex>.
}}

Согласно определениям, множество натуральных чисел разбивается на <tex>3</tex> подмножества:
# Простые числа.
# Составные числа.
# Число <tex>1</tex>, которое не причисляется ни к простым, ни к составным числам.

==Свойства простых чисел==

{{Утверждение
|about=свойство 1
|statement=Если <tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_2</tex> '''не [[Натуральные числа#Деление чисел с остатком | делится без остатка]]''' на <tex>p_1</tex>.
|proof=
Натуральными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex>, и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит, <tex>p_2</tex> не делится на <tex>p_1</tex>.
}}

{{Утверждение
|about=свойство 2
|statement=Для любого [[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|натурального]] числа <tex>n>1</tex>, наименьший отличный от <tex>1</tex> натуральный делитель всегда является '''простым числом'''.
|proof=
Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.

Пусть <tex>q</tex> неЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k \times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f \times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k \times f \times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее числоЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
}}

Из свойства 2 мы получаем алгоритм для поиска простых чисел "[[Решето Эратосфена]]".

==Множество простых чисел==
{{Утверждение
|statement=Множество простых чисел '''бесконечно'''.
|proof=
Пусть множество простых чисел конечно и состоит из чисел <tex>2, 3, 5, \ldots , p</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} последнее, самое большое простое число.

Рассмотрим число <tex>N=2 \times 3 \times 5 \times \ldots \times p +1</tex>.
Число <tex>N</tex> представимо в виде <tex>N=2 \times (3 \times 5 \times \ldots \times p) +1,</tex> где <tex>2\,</tex> — делитель, <tex>(3 \times 5 \times \ldots \times p)\,</tex> — частное, <tex>1\,</tex> — остаток, причем <tex>0\leqslant 1 < 2.</tex> Таким образом, при делении <tex>N</tex> на <tex>2</tex> получится остаток <tex>1</tex>, число <tex>N</tex> на простое число <tex>1</tex> не делится.
Аналогично <tex>N</tex> не делится ни на одно из простых чисел (<tex>3, 5, \ldots , p),</tex> так как при делении <tex>N</tex> на эти числа получится остаток <tex>1</tex>.

Значит, число <tex>N=1</tex> (по свойству 2), так как у числа <tex>N</tex> нет простых делителей по предположению.
C другой стороны, <tex>N>1</tex>. Значит, предположение о том, что множество простых чисел конечно, неверно.
}}

Последовательность простых чисел начинается так:
: <tex>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, \ldots </tex>

==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел==

{{Теорема
|id=th1
|statement=
Простых чисел бесконечно много.
|proof=
Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
}}

==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}\frac{1}{n}</tex>==

{{Теорема
|id=th2
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}\dfrac{1}{n}</tex> расходится.
|proof=
<tex>\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
}}
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \leqslant k}^{}{(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \leqslant k} \dfrac{1}{n}</tex>.
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \leqslant \dfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.

==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>==

{{Теорема
|id=th3
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}^{}\dfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.
|proof=
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
<tex> \ln(1+x) \leqslant x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \cdots)} \leqslant \sum_{}^{} {( \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
Финально: <tex> \sum_{}^{} \dfrac{1}{p} \geqslant \sum_{}^{} {[\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots) - \dfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
}}

==См. также==
* [[Натуральные числа]]
* [[Основная теорема арифметики]]
* [[Теоремы о простых числах]]
* [[Разложение на множители (факторизация)]]

==Источники инфомации==
* А.А. Бухштаб. "Теория чисел" {{---}} Просвещение. 1966 г. {{---}} с. 28 - 33.
* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.

[[Категория: Теория чисел]]
[[Категория: Классы чисел]]

Основная теорема арифметики

2021-03-10T14:52:46Z

213.87.242.44: /* Лемма Евклида */

==Лемма Евклида==

{{Лемма
|id=th1
|statement=
Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух целых чисел <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
|proof=
Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
: <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
: <tex>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</tex>
Оба ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>, ч.т.д.
}}

==Основная теорема арифметики==

{{Теорема
|id=th666
|statement=
Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
|proof=
'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <tex>n</tex>. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
}}

[[Категория: Классы чисел]]

Разложение на множители (факторизация)

2021-03-10T14:51:00Z

213.87.242.44: /* Перебор делителей */

{{Определение | definition=
'''Факторизация''' (англ. ''factorization'') — представление объекта в виде произведения других объектов.
}}
{{Определение | definition=
'''Разложение на множители''', или '''Факторизация целых чисел''' (англ. ''integer factorization'') — представление числа в виде [[Натуральные числа#Основная теорема арифметики | произведения его множителей]].
}}
== Перебор делителей==
{{Определение | definition=
'''Перебор делителей''' (англ. ''Trial division'') — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей. Скажите пожалуйста, вы о чем вообще думали, когда открывали правки для незарегистрированных пользователей?
ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408
}}
=== Наивная реализация O(n) ===
[[Основная теорема арифметики#Основная теорема арифметики#Собственно теорема | Основная теорема арифметики]], вкупе с утверждением, что <tex>y</tex> не делит <tex>x</tex> нацело: <tex>\forall x, y \in \mathbb{N}~~x<y \Longrightarrow</tex> <tex>\left( \dfrac{x}{y} < 1 \right)</tex>, позволяют нам ограничить пространство поиска делителей числа <tex>number</tex> интервалом <tex>[2;number]</tex>.
==== Основная идея ====
Заметим, что если <tex>number</tex> = <tex>\prod p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_j \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>, то <tex>\left(\dfrac{number}{p_j}\right) = \prod\limits_{i \ne j} p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>. Таким образом, мы можем делить <tex>number</tex> на его делители (множители) последовательно и в любом порядке. Тогда будем хранить <tex>curNum \colon curNum = \dfrac{number}{\prod result_i}</tex> — произведение оставшихся множителей.

==== Псевдокод нахождения простых множителей ====
Так как простых множителей не может быть больше, чем <tex>n</tex>, а в худшем случае (когда число простое, и на каждое итерации <tex>probe</tex> увеличивается на <tex>1</tex>) он работает за <tex>O(n)</tex>, то, следовательно, алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>.

'''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
// сюда складываем множители
result = '''vector<int>'''
// число, у которого осталось найти множители
curNum = number
// число, на которое пытаемся делить
probe = 2
'''while''' curNum <tex>\ne</tex> 1
'''if''' curNum '''mod''' probe <tex>\ne\, </tex>0
// проверены все множители из [2; probe]
probe++
'''else'''
// делим пока делится
curNum /= probe
result += [probe]
'''return''' result

==== Псевдокод нахождения делителей ====

'''function''' ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408getDividers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
// массив полученных делителей
result = '''vector<int>'''
// перебираем все потенциальные делители
'''for''' probe = 2 '''to''' number
'''if''' number '''mod''' probe = 0
// probe делит number нацело
result += [probe]
'''return''' result

=== Улучшенная реализация <tex>O(\sqrt{n})</tex> ===
==== Основная идея ====
Из определения: <tex>\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n</tex>. Логично, что:
{|
|-align="center"
|rowspan="2"| <tex>\bigg\{</tex>
|<tex>x \cdot y = number</tex>
|rowspan="2"| <tex>\Longrightarrow x > \sqrt{number}</tex>
|-align="center"
|<tex>y < \sqrt{number}</tex>
|}
Таким ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408образом, любой делитель <tex>d_0 > \sqrt{number}</tex> однозначно связан с некоторым <tex>d_1 < \sqrt{number}</tex>. Если мы найдем все делители до <tex>\sqrt{number}</tex>, задача может считаться решенной.
==== Псевдокод ====

'''function''' getDividers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
result = '''vector<int>'''
'''for''' probe = 2 '''to''' <tex>\sqrt{number}</tex> //обновляем верхнюю границу перебора
'''if''' number '''mod''' probe = 0
result += [probe]
result += [number / probe] // записываем сопряженный делитель
'''return''' result

=== Проверка числа на простоту ===
Алгоритм можно ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408переделать для нахождения простых чисел. Число будет простым, если у него не окажется множителей (и делителей) кроме <tex>1</tex> (алгоритмы не проверяют делимость на <tex>1</tex>) и самого числа (улучшенная реализация опускает этот делитель).

== Предподсчет ==
{{main|Решето Эратосфена}}
=== Основная идея ===
Решето Эратосфена (англ. ''Sieve of Eratosthenes'') позволяет не только находить простые числа, но и находить простые множители числа. Для этого необходимо хранить (помимо самого "решета") массив простых чисел, на которое каждое число делится (достаточно одного простого делителя).
=== Псевдокод ===

// возвращает только дополнительный массив
'''function''' sieveOfEratosthenes(n: '''int'''): '''int'''[n + 1]
result = [n + 1]
result[n] = n
// выбираем следующий простой делитель
'''for''' i = 2 '''to''' <tex>\sqrt{n}</tex>
'''if''' result[i] = 0
// записываем делитель в элементы массива,
// соответствующие числа которых делятся нацело
shuttle = <tex>i^2</tex>
'''while''' shuttle <tex>\leqslant</tex> n
result[shuttle] = i
shuttle += i
'''return''' result

'''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
result = '''vector<int>'''
// получаем дополненное решето Эратосфена
sieve = sieveOfEratosthenes(number)
// следующее временное значение получаем
// делением предыдущего на простой делитель из решета
curNum = number
'''while''' curNum <tex>\ne</tex> 1
result += sieve[curNum]
curNum /= sieve[curNum]
'''return''' result

== См. также ==
*[[Решето Эратосфена]]
*[[Основная теорема арифметики]]
*[[Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных#Комбинаторика | Комбинаторика]]

== Источники информации ==
* Маврин П.Ю. — Лекция по алгоритмам над простыми числами (2016)
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число]

[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
[[Категория: Теория чисел]]

Разложение на множители (факторизация)

2021-03-10T10:15:23Z

213.87.242.44: /* Перебор делителей */

{{Определение | definition=
'''Факторизация''' (англ. ''factorization'') — представление объекта в виде произведения других объектов.
}}
{{Определение | definition=
'''Разложение на множители''', или '''Факторизация целых чисел''' (англ. ''integer factorization'') — представление числа в виде [[Натуральные числа#Основная теорема арифметики | произведения его множителей]].
}}
== Перебор делителей==
{{Определение | definition=
'''Перебор делителей''' (англ. ''Trial division'') — алгоритм, ПРИДУМАННЫЙ ГЕРМАНОМ ДЛЯ ГЛУПОЙ факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
}}
=== Наивная реализация O(n) ===
[[Основная теорема арифметики#Основная теорема арифметики#Собственно теорема | Основная теорема арифметики]], вкупе с утверждением, что <tex>y</tex> не делит <tex>x</tex> нацело: <tex>\forall x, y \in \mathbb{N}~~x<y \Longrightarrow</tex> <tex>\left( \dfrac{x}{y} < 1 \right)</tex>, позволяют нам ограничить пространство поиска делителей числа <tex>number</tex> интервалом <tex>[2;number]</tex>.
==== Основная идея ====
Заметим, что если <tex>number</tex> = <tex>\prod p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_j \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>, то <tex>\left(\dfrac{number}{p_j}\right) = \prod\limits_{i \ne j} p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>. Таким образом, мы можем делить <tex>number</tex> на его делители (множители) последовательно и в любом порядке. Тогда будем хранить <tex>curNum \colon curNum = \dfrac{number}{\prod result_i}</tex> — произведение оставшихся множителей.

==== Псевдокод нахождения простых множителей ====
Так как простых множителей не может быть больше, чем <tex>n</tex>, а в худшем случае (когда число простое, и на каждое итерации <tex>probe</tex> увеличивается на <tex>1</tex>) он работает за <tex>O(n)</tex>, то, следовательно, алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>.

'''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
// сюда складываем множители
result = '''vector<int>'''
// число, у которого осталось найти множители
curNum = number
// число, на которое пытаемся делить
probe = 2
'''while''' curNum <tex>\ne</tex> 1
'''if''' curNum '''mod''' probe <tex>\ne\, </tex>0
// проверены все множители из [2; probe]
probe++
'''else'''
// делим пока делится
curNum /= probe
result += [probe]
'''return''' result

==== Псевдокод нахождения делителей ====

'''function''' getDividers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
// массив полученных делителей
result = '''vector<int>'''
// перебираем все потенциальные делители
'''for''' probe = 2 '''to''' number
'''if''' number '''mod''' probe = 0
// probe делит number нацело
result += [probe]
'''return''' result

=== Улучшенная реализация <tex>O(\sqrt{n})</tex> ===
==== Основная идея ====
Из определения: <tex>\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n</tex>. Логично, что:
{|
|-align="center"
|rowspan="2"| <tex>\bigg\{</tex>
|<tex>x \cdot y = number</tex>
|rowspan="2"| <tex>\Longrightarrow x > \sqrt{number}</tex>
|-align="center"
|<tex>y < \sqrt{number}</tex>
|}
Таким образом, любой делитель <tex>d_0 > \sqrt{number}</tex> однозначно связан с некоторым <tex>d_1 < \sqrt{number}</tex>. Если мы найдем все делители до <tex>\sqrt{number}</tex>, задача может считаться решенной.
==== Псевдокод ====

'''function''' getDividers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
result = '''vector<int>'''
'''for''' probe = 2 '''to''' <tex>\sqrt{number}</tex> //обновляем верхнюю границу перебора
'''if''' number '''mod''' probe = 0
result += [probe]
result += [number / probe] // записываем сопряженный делитель
'''return''' result

=== Проверка числа на простоту ===
Алгоритм можно переделать для нахождения простых чисел. Число будет простым, если у него не окажется множителей (и делителей) кроме <tex>1</tex> (алгоритмы не проверяют делимость на <tex>1</tex>) и самого числа (улучшенная реализация опускает этот делитель).

== Предподсчет ==
{{main|Решето Эратосфена}}
=== Основная идея ===
Решето Эратосфена (англ. ''Sieve of Eratosthenes'') позволяет не только находить простые числа, но и находить простые множители числа. Для этого необходимо хранить (помимо самого "решета") массив простых чисел, на которое каждое число делится (достаточно одного простого делителя).
=== Псевдокод ===

// возвращает только дополнительный массив
'''function''' sieveOfEratosthenes(n: '''int'''): '''int'''[n + 1]
result = [n + 1]
result[n] = n
// выбираем следующий простой делитель
'''for''' i = 2 '''to''' <tex>\sqrt{n}</tex>
'''if''' result[i] = 0
// записываем делитель в элементы массива,
// соответствующие числа которых делятся нацело
shuttle = <tex>i^2</tex>
'''while''' shuttle <tex>\leqslant</tex> n
result[shuttle] = i
shuttle += i
'''return''' result

'''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
result = '''vector<int>'''
// получаем дополненное решето Эратосфена
sieve = sieveOfEratosthenes(number)
// следующее временное значение получаем
// делением предыдущего на простой делитель из решета
curNum = number
'''while''' curNum <tex>\ne</tex> 1
result += sieve[curNum]
curNum /= sieve[curNum]
'''return''' result

== См. также ==
*[[Решето Эратосфена]]
*[[Основная теорема арифметики]]
*[[Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных#Комбинаторика | Комбинаторика]]

== Источники информации ==
* Маврин П.Ю. — Лекция по алгоритмам над простыми числами (2016)
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число]

[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
[[Категория: Теория чисел]]

Разложение на множители (факторизация)

2021-03-10T10:14:01Z

213.87.242.44: /* Наивная реализация O(n) */

{{Определение | definition=
'''Факторизация''' (англ. ''factorization'') — представление объекта в виде произведения других объектов.
}}
{{Определение | definition=
'''Разложение на множители''', или '''Факторизация целых чисел''' (англ. ''integer factorization'') — представление числа в виде [[Натуральные числа#Основная теорема арифметики | произведения его множителей]].
}}
== Перебор делителей==
{{Определение | definition=
'''Перебор делителей''' (англ. ''Trial division'') — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
}}
=== Наивная реализация O(n) ===
[[Основная теорема арифметики#Основная теорема арифметики#Собственно теорема | Основная теорема арифметики]], вкупе с утверждением, что <tex>y</tex> не делит <tex>x</tex> нацело: <tex>\forall x, y \in \mathbb{N}~~x<y \Longrightarrow</tex> <tex>\left( \dfrac{x}{y} < 1 \right)</tex>, позволяют нам ограничить пространство поиска делителей числа <tex>number</tex> интервалом <tex>[2;number]</tex>.
==== Основная идея ====
Заметим, что если <tex>number</tex> = <tex>\prod p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_j \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>, то <tex>\left(\dfrac{number}{p_j}\right) = \prod\limits_{i \ne j} p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>. Таким образом, мы можем делить <tex>number</tex> на его делители (множители) последовательно и в любом порядке. Тогда будем хранить <tex>curNum \colon curNum = \dfrac{number}{\prod result_i}</tex> — произведение оставшихся множителей.

==== Псевдокод нахождения простых множителей ====
Так как простых множителей не может быть больше, чем <tex>n</tex>, а в худшем случае (когда число простое, и на каждое итерации <tex>probe</tex> увеличивается на <tex>1</tex>) он работает за <tex>O(n)</tex>, то, следовательно, алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>.

'''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
// сюда складываем множители
result = '''vector<int>'''
// число, у которого осталось найти множители
curNum = number
// число, на которое пытаемся делить
probe = 2
'''while''' curNum <tex>\ne</tex> 1
'''if''' curNum '''mod''' probe <tex>\ne\, </tex>0
// проверены все множители из [2; probe]
probe++
'''else'''
// делим пока делится
curNum /= probe
result += [probe]
'''return''' result

==== Псевдокод нахождения делителей ====

'''function''' getDividers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
// массив полученных делителей
result = '''vector<int>'''
// перебираем все потенциальные делители
'''for''' probe = 2 '''to''' number
'''if''' number '''mod''' probe = 0
// probe делит number нацело
result += [probe]
'''return''' result

=== Улучшенная реализация <tex>O(\sqrt{n})</tex> ===
==== Основная идея ====
Из определения: <tex>\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n</tex>. Логично, что:
{|
|-align="center"
|rowspan="2"| <tex>\bigg\{</tex>
|<tex>x \cdot y = number</tex>
|rowspan="2"| <tex>\Longrightarrow x > \sqrt{number}</tex>
|-align="center"
|<tex>y < \sqrt{number}</tex>
|}
Таким образом, любой делитель <tex>d_0 > \sqrt{number}</tex> однозначно связан с некоторым <tex>d_1 < \sqrt{number}</tex>. Если мы найдем все делители до <tex>\sqrt{number}</tex>, задача может считаться решенной.
==== Псевдокод ====

'''function''' getDividers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
result = '''vector<int>'''
'''for''' probe = 2 '''to''' <tex>\sqrt{number}</tex> //обновляем верхнюю границу перебора
'''if''' number '''mod''' probe = 0
result += [probe]
result += [number / probe] // записываем сопряженный делитель
'''return''' result

=== Проверка числа на простоту ===
Алгоритм можно переделать для нахождения простых чисел. Число будет простым, если у него не окажется множителей (и делителей) кроме <tex>1</tex> (алгоритмы не проверяют делимость на <tex>1</tex>) и самого числа (улучшенная реализация опускает этот делитель).

== Предподсчет ==
{{main|Решето Эратосфена}}
=== Основная идея ===
Решето Эратосфена (англ. ''Sieve of Eratosthenes'') позволяет не только находить простые числа, но и находить простые множители числа. Для этого необходимо хранить (помимо самого "решета") массив простых чисел, на которое каждое число делится (достаточно одного простого делителя).
=== Псевдокод ===

// возвращает только дополнительный массив
'''function''' sieveOfEratosthenes(n: '''int'''): '''int'''[n + 1]
result = [n + 1]
result[n] = n
// выбираем следующий простой делитель
'''for''' i = 2 '''to''' <tex>\sqrt{n}</tex>
'''if''' result[i] = 0
// записываем делитель в элементы массива,
// соответствующие числа которых делятся нацело
shuttle = <tex>i^2</tex>
'''while''' shuttle <tex>\leqslant</tex> n
result[shuttle] = i
shuttle += i
'''return''' result

'''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
result = '''vector<int>'''
// получаем дополненное решето Эратосфена
sieve = sieveOfEratosthenes(number)
// следующее временное значение получаем
// делением предыдущего на простой делитель из решета
curNum = number
'''while''' curNum <tex>\ne</tex> 1
result += sieve[curNum]
curNum /= sieve[curNum]
'''return''' result

== См. также ==
*[[Решето Эратосфена]]
*[[Основная теорема арифметики]]
*[[Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных#Комбинаторика | Комбинаторика]]

== Источники информации ==
* Маврин П.Ю. — Лекция по алгоритмам над простыми числами (2016)
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число]

[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
[[Категория: Теория чисел]]