Перечислимые языки

2013-12-19T05:39:19Z

217.118.78.101:

{{Определение
|definition =
'''Полуразрешимый язык''' ('''semi-decidable language''') {{---}} язык, для которого существует программа <tex>p</tex> такая, что <tex>\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''Перечислимый язык''' ('''recursively enumerable language''') {{---}} язык, для которого существует программа <tex>g</tex> такая, что <tex>g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}</tex>. Язык <tex>L</tex> называется '''коперечислимым''' ('''co-enumerable'''), если <tex>\overline L</tex> {{---}}перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется <tex> \mathrm{RE} </tex>, а всех коперечислимих <tex> \mathrm{co}</tex>-<tex>\mathrm{RE}</tex> .
}}

{{Определение
|definition =
Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Запуск программы <tex>p</tex> с '''тайм-лимитом''' ('''time limit''') <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт <tex>\bot</tex> (символ зависания).
}}

{{Теорема
|id=th1
|statement=
<tex>L</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L</tex> {{---}} полуразрешимый.
|proof=
Пусть <tex>L</tex> {{---}} перечислимый язык. Тогда для него существует программа <tex>g</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex>. Значит, для всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex> путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что <tex> g(i) = x</tex>. Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, что <tex>\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>. Тогда <tex>L</tex> является полуразрешимым языком.
<tex>p(x):</tex>
for <tex> i = 1 ~ .. ~ \infty</tex>
if <tex> g(i) == x</tex>
return <tex> 1</tex>
Пусть <tex>L</tex> {{---}} полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>1</tex> для любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p</tex> не зависала на словах, которые не принадлежат <tex>L</tex>, будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу <tex>p</tex>. Таким образом существует программа <tex>g_0</tex>, которая выводит <tex>i</tex> слово языка <tex>L</tex> с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex> является перечислимым языком.
<tex>g_0(i):</tex>
<tex>cnt = 0</tex>
for <tex> k = 1 ~ .. ~ \infty</tex>
for <tex> x \in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex>
if <tex> p|_k(x) == 1</tex>
<tex>cnt</tex>++
if <tex> cnt == i</tex>
return <tex> x</tex>
<tex>g(i):</tex>
<tex>U = \emptyset</tex>
for <tex> j = 1 ~ .. ~ \infty</tex>
<tex>x = g_0(j)</tex>
if <tex> x \notin U</tex>
<tex>cnt</tex>++
if <tex> cnt == i</tex>
return <tex> x</tex>
<tex>U.insert(x)</tex>

Приведённые программы доказывают эквивалентность определений.
}}

{{Теорема
|id=th2
|statement=
Любой [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки | разрешимый язык]] <tex>L</tex> является перечислимым.
|proof=
Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то <tex>L</tex> является перечислимым.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>L</tex> {{---}} перечислим и коперечислим <tex>\Rightarrow</tex> <tex>L</tex> {{---}} [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешим]].
|proof=
Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex> {{---}} разрешимый.
}}

== Источники ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. {{---}} М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursively_enumerable_language Wikipedia— Recursively enumerable language]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Рекурсивно перечислимый язык]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Перечислимые языки