Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя

2012-06-04T08:41:09Z

217.118.78.122: /* Теорема */

==Теорема==
{{ Теорема
| statement = Существуют такие оракулы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>, что <tex>\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} </tex> и <tex>\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} </tex>.
| proof =
'''Существование оракула <tex>A</tex>'''

Рассмотрим [[PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF) | PS-полный язык <tex>\mathrm{TQBF}</tex>]].

<tex>
\mathrm{P^{TQBF}} \overset{(1)}{\subseteq}
\mathrm{NP^{TQBF}} \overset{(2)}{\subseteq}
\mathrm{NPS^{TQBF}} \overset{(3)}{=}
\mathrm{PS^{TQBF}} \overset{(4)}{=}
\mathrm{PS} \overset{(5)}{\subseteq}
\mathrm{P^{TQBF}}
\Rightarrow
</tex><br/>
<tex>\Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}</tex>.

# <tex> \mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} </tex>.
# <tex> \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}} </tex>.
# По [[ Класс PS. Теорема Сэвича. Совпадение классов NPS и PS | теореме Сэвича]] <tex> \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} </tex>.
# <tex> \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} </tex>.
# <tex> \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC} \Rightarrow \mathrm{PS} \subseteq \mathrm{P^{TQBF}} </tex>.

----

'''Существование оракула <tex>B</tex>'''

Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B \Rightarrow U_B \in \mathrm{NP}^B</tex> (сертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.

Пронумеруем некоторым образом все машины Тьюринга, имеющие доступ к оракулу языка <tex>B</tex>, и рассмотрим последовательность <tex>M_i</tex>, в которой каждая машина Тьюринга встречается бесконечное число раз. Очевидно, это можно сделать в силу счетности множества машин Тьюринга. Построение множества <tex>B</tex> разделим на счетное число стадий, на каждой из которых множество пополнится конечным числом элементов. Будем строить <tex>B</tex> так, чтобы на <tex>i</tex>-й стадии было выполнено: существует слово <tex>x</tex>, что <tex>T(M_i, x) \ge 2^{n-1}</tex>. Это утверждение сильнее, чем <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>, так как <tex>2^n</tex> растет быстрее любого полинома.
* 0-я стадия: <tex>B \leftarrow \emptyset </tex>.
* <tex>i</tex>-я стадия. Стадии с 0-й по <tex>(i-1)</tex>-ю пройдены, <tex>B</tex> — конечное множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из <tex>(n-1)</tex>-го символа. Запустим машину <tex>M_i</tex> на входе <tex>1^n</tex> на <tex>2^{n-1}</tex> шагов. Когда <tex>M_i</tex> требуется ответ оракула языка <tex>B</tex> о слове <tex>x</tex>, будем определять принадлежность этого слова к <tex>B</tex> следующим образом:
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> была определена на одной из предыдущих стадий, то она сохраняется;
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> не установлена ранее, то далее считаем, что <tex>x \not\in B</tex>.

Но <tex>M_i</tex> могла остановится раньше, чем за <tex>2^{n-1}</tex> шагов и вернуть какое-либо значение. Так как <tex>B</tex> строится с условием, что для выбранного <tex>x = 1^n</tex> выполнено: <tex>T(M_i,x) \ge 2^{n-1}</tex>, то решение машины о принадлежности слова должно быть неверным:
* если <tex>M_i</tex> приняла слово, то исключим из <tex>B</tex> все слова вида <tex>\{0,1\}^n</tex>;
* Если <tex>M_i</tex> отклонила слово, то выберем слово <tex>x</tex> длины <tex>n</tex>, принадлежность которого <tex>B</tex> еще не определено. Добавим <tex>x</tex> в <tex>B</tex>. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущий шагах мы могли сделать не более, чем <tex>2^n-1</tex> запросов к оракулу (то есть определить принадлежность <tex>B</tex> не более <tex>2^n-1</tex> слов длины <tex>n</tex>), а всего слов длины n <tex>2^n</tex>.

Во множестве <tex>B</tex> на каждой стадии содержится конечное число элементов, так как на каждой стадии в <tex>B</tex> может быть добавлено не более чем <tex>2^{n-1}+1</tex> слов.

Из построения получаем, что для любой машины Тьюринга <tex>M</tex> существует бесконечно много слов из <tex>U_B</tex>, для которых <tex>M</tex> не может принять верное решение о принадлежности слова <tex>U_B</tex> за время, меньшее <tex>2^{n-1}</tex>. Следовательно, <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.

}}

==Следствия==

{{ Утверждение
| statement = Методом диагонализации нельзя доказать, что <tex>\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}</tex>.
}}

{{ Утверждение
| statement = Если существует решение вопроса равенства <tex>\mathrm{P}</tex> и <tex> \mathrm{NP}</tex>, то оно не должно "релятивизоваться", поэтому стандартные техники, например, диагонализация не применима.
}}

[[Категория: Теория сложности]]

Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя

2012-06-03T12:31:20Z

217.118.78.122:

==Теорема==
{{ Теорема
| statement = Существуют такие оракулы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>, что <tex>\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} </tex> и <tex>\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} </tex>.
| proof =
'''Существование оракула <tex>A</tex>'''

Рассмотрим [[PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF) | PS-полный язык <tex>\mathrm{TQBF}</tex>]].

<tex>
\mathrm{P^{TQBF}} \overset{(1)}{\subseteq}
\mathrm{NP^{TQBF}} \overset{(2)}{\subseteq}
\mathrm{NPS^{TQBF}} \overset{(3)}{=}
\mathrm{PS^{TQBF}} \overset{(4)}{=}
\mathrm{PS} \overset{(5)}{\subseteq}
\mathrm{P^{TQBF}}
\Rightarrow
</tex><br/>
<tex>\Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}</tex>.

# <tex> \mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} </tex>.
# <tex> \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}} </tex>.
# По [[ Класс PS. Теорема Сэвича. Совпадение классов NPS и PS | теореме Сэвича]] <tex> \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} </tex>.
# <tex> \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} </tex>.
# <tex> \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC} \Rightarrow \mathrm{PS} \subseteq \mathrm{P^{TQBF}} </tex>.

----

'''Существование оракула <tex>B</tex>'''

Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B \Rightarrow U_B \in \mathrm{NP^B}</tex> (сертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P^B}</tex>.

Пронумеруем некоторым образом все машины Тьюринга, имеющие доступ к оракулу языка <tex>B</tex>, и рассмотрим последовательность <tex>M_i</tex>, в которой каждая машина Тьюринга встречается бесконечное число раз. Очевидно, это можно сделать в силу счетности множества машин Тьюринга. Построение множества <tex>B</tex> разделим на счетное число стадий, на каждой из которых множество пополнится конечным числом элементов. Будем строить <tex>B</tex> так, чтобы на <tex>i</tex>-й стадии было выполнено: <tex>M_i</tex> не разрешает язык <tex>U_B</tex> за время не большее, чем <tex>2^{n-1}</tex>. Это утверждение сильнее, чем <tex>U_B \not\in \mathrm{P^B}</tex>, так как <tex>2^n</tex> растет быстрее любого полинома.
* 0-я стадия: <tex>B \leftarrow \emptyset </tex>.
* <tex>i</tex>-я стадия. Стадии с 0-й по <tex>(i-1)</tex>-ю пройдены, <tex>B</tex> — конечное множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из <tex>(n-1)</tex>-го символа. Запустим машину <tex>M_i</tex> на входе <tex>1^n</tex> на <tex>2^{n-1}</tex> шагов. Когда <tex>M_i</tex> требуется ответ оракула языка <tex>B</tex> о слове <tex>x</tex>, будем определять принадлежность этого слова к <tex>B</tex> следующим образом:
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> была определена на одной из предудщих стадий, то она сохраняется;
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> не установлена ранее, то далее считаем, что <tex>x \not\in B</tex>.

Но <tex>M_i</tex> могла остановится раньше, чем за <tex>2^{n-1}</tex> шагов и вернуть какое-либо значение. Так как <tex>B</tex> строится с условием <tex>M_i</tex> не разрешает <tex>U_B</tex> за время <tex>2^{n-1}</tex>, то решение машины о принадлежности слова должно быть неверным:
* если <tex>M_i</tex> приняла слово, то исключим из <tex>B</tex> все слова вида <tex>\{0,1\}^n</tex>;
* Если <tex>M_i</tex> отклонила слово, то выберем слово <tex>x</tex> длины <tex>n</tex>, принадлежность которого <tex>B</tex> еще не определено. Добавим <tex>x</tex> в <tex>B</tex>. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущий шагах мы могли сделать не более, чем <tex>2^n-1</tex> запросов к оракулу (то есть определить принадлежность <tex>B</tex> не более <tex>2^n-1</tex> слов длины <tex>n</tex>), а всего слов длины n <tex>2^n</tex>.

Во множестве <tex>B</tex> на каждой стадии содержится конечное число элементов, так как на каждой стадии в <tex>B</tex> может быть добавлено не более чем <tex>2^{n-1}+1</tex> слов.

Из построения получаем, что для любой машины Тьюринга <tex>M_i</tex> существует бесконечно много слов из <tex>U_B</tex>, которые <tex>M_i</tex> не может разрешить за время меньшее <tex>2^{n-1}</tex>. Следовательно, <tex>U_B \not\in \mathrm{P_B}</tex>.

}}

==Следствия==

{{ Утверждение
| statement = Методом диагонализации нельзя доказать, что <tex>\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}</tex>.
}}

{{ Утверждение
| statement = Если существует решение вопроса равенства <tex>\mathrm{P}</tex> и <tex> \mathrm{NP}</tex>, то оно не должно "релятивизоваться", поэтому стандартные техники, например, диагонализация не применима.
}}

[[Категория: Теория сложности]]