Викиконспекты - Вклад участника [ru]

QpmtnCmax

2012-05-25T12:23:09Z

217.118.78.35: /* Алгоритм построения расписания */

<div style="background-color: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: #000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border-width: 1px;">Эта статья находится в разработке!</div>
<includeonly>[[Категория: В разработке]]</includeonly>

==Постановка задачи==
Есть несколько станков с разной скоростью выполнения работ. Работу на каждом из станков можно прервать и продолжить позже.

Цель - выполнить все как можно быстрее.

1. Найдем нижнюю границу времени выполнения.

2. Составим оптимальное расписание.

==Алгоритм построения расписания==

<tex> P_i = p_1 + ... + p_i</tex>

<tex> S_j = p_1 + ... + p_j</tex>

Где <tex>i = 1 ... n</tex>; <tex>j = 1 ... m</tex>; <tex> n \ge m</tex>;

Необходимое условие для выполнения всех работ в интервале <tex>[0;T]</tex>:

<tex> P_n = p_1 + ... + p_n \le s_1T + ... + s_mT = S_mT</tex> или <tex>P_n/S_m \le T</tex>

Нижняя граница <tex>C_{max}</tex> :

<tex>w = \max</tex>{<tex>\max\limits_{j=1}^{m-1} P_i/S_j, P_n/S_m</tex>}

Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки w, с помощью Level-алгоритма.

Level - алгоритм:

<tex>t \leftarrow 0 </tex>
'''WHILE''' существуют работы с положительным lvl
Assign(t)
<tex>t1 \leftarrow min(s>t |</tex>работа выполненная в момент времени <tex> s)</tex>
<tex>t2 \leftarrow min(s>t | p_i(t)>p_j(t)</tex> && <tex> p_i(s) == p_j(s))</tex>
<tex> t \leftarrow min(t1,t2) </tex>
Построение расписания

Функция <tex>Assign(t)</tex>:

<tex>J = </tex>{<tex>i|p_i(t)>0</tex>}
<tex>M = </tex>{<tex>M_1,...,M_m</tex>}
'''WHILE''' (<tex>J</tex> != 0 && <tex>M</tex> != 0)
Найти множество работ <tex>I</tex> подмножество <tex>J</tex> ,lvl которых максимальный
<tex>r \leftarrow min</tex>(|<tex>M</tex>|,|<tex>I</tex>|)
Назначаем работы из мн-ва <tex>I</tex> на <tex>r</tex> самых быстрых машин из мн-ва <tex>M</tex>
<tex>J \leftarrow J</tex>\<tex>I</tex>
удаляем из мн-ва <tex>M</tex> <tex>r</tex> самых быстрых машин

==Пример==
[[Файл:qptmncmax.png|400px|thumb|right|Картинка к примеру]]

Пусть у нас есть 5 работ и 4 станка. Покажем работу алгоритма для данного случая.

В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1-J_4</tex> на станках <tex>M_1-M_4</tex> соответственно. В момент времени <tex>t_1</tex> <tex>lvl</tex> 4-ой работы опускается до времени выполнения 5-ой работы. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex> J_4,J_5</tex> на одном станке: <tex>M_4</tex>. В момент времени <tex>t_2</tex> происходит похожая ситуация. С этого момента времени работы <tex> J_1,J_2</tex> выполняются синхронно на двух станках <tex> M_1,M_2</tex>. Далее работы не пересекаются друг с другом и каждая заканчивается на ранее выделенных им станках.

==Время работы==
Level-алгоритм вызывает функцию Assign(t) в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз. Функция Assign(t) выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>.

==Литература==
* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 379 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8

QpmtnCmax

2012-05-25T12:21:51Z

217.118.78.35: /* Алгоритм построения расписания */

<div style="background-color: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: #000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border-width: 1px;">Эта статья находится в разработке!</div>
<includeonly>[[Категория: В разработке]]</includeonly>

==Постановка задачи==
Есть несколько станков с разной скоростью выполнения работ. Работу на каждом из станков можно прервать и продолжить позже.

Цель - выполнить все как можно быстрее.

1. Найдем нижнюю границу времени выполнения.

2. Составим оптимальное расписание.

==Алгоритм построения расписания==

<tex> P_i = p_1 + ... + p_i</tex>

<tex> S_j = p_1 + ... + p_j</tex>

Где <tex>i = 1 ... n</tex>; <tex>j = 1 ... m</tex>; <tex> n \ge m</tex>;

Необходимое условие для выполнения всех работ в интервале <tex>[0;T]</tex>:

<tex> P_n = p_1 + ... + p_n \le s_1T + ... + s_mT = S_mT</tex> или <tex>P_n/S_m \le T</tex>

Нижняя граница <tex>C_{max}</tex> :

<tex>w = max</tex>{<tex>max\limits_{j=1}^{m-1} P_i/S_j, P_n/S_m</tex>}

Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки w, с помощью Level-алгоритма.

Level - алгоритм:

<tex>t \leftarrow 0 </tex>
'''WHILE''' существуют работы с положительным lvl
Assign(t)
<tex>t1 \leftarrow min(s>t |</tex>работа выполненная в момент времени <tex> s)</tex>
<tex>t2 \leftarrow min(s>t | p_i(t)>p_j(t)</tex> && <tex> p_i(s) == p_j(s))</tex>
<tex> t \leftarrow min(t1,t2) </tex>
Построение расписания

Функция <tex>Assign(t)</tex>:

<tex>J = </tex>{<tex>i|p_i(t)>0</tex>}
<tex>M = </tex>{<tex>M_1,...,M_m</tex>}
'''WHILE''' (<tex>J</tex> != 0 && <tex>M</tex> != 0)
Найти множество работ <tex>I</tex> подмножество <tex>J</tex> ,lvl которых максимальный
<tex>r \leftarrow min</tex>(|<tex>M</tex>|,|<tex>I</tex>|)
Назначаем работы из мн-ва <tex>I</tex> на <tex>r</tex> самых быстрых машин из мн-ва <tex>M</tex>
<tex>J \leftarrow J</tex>\<tex>I</tex>
удаляем из мн-ва <tex>M</tex> <tex>r</tex> самых быстрых машин

==Пример==
[[Файл:qptmncmax.png|400px|thumb|right|Картинка к примеру]]

Пусть у нас есть 5 работ и 4 станка. Покажем работу алгоритма для данного случая.

В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1-J_4</tex> на станках <tex>M_1-M_4</tex> соответственно. В момент времени <tex>t_1</tex> <tex>lvl</tex> 4-ой работы опускается до времени выполнения 5-ой работы. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex> J_4,J_5</tex> на одном станке: <tex>M_4</tex>. В момент времени <tex>t_2</tex> происходит похожая ситуация. С этого момента времени работы <tex> J_1,J_2</tex> выполняются синхронно на двух станках <tex> M_1,M_2</tex>. Далее работы не пересекаются друг с другом и каждая заканчивается на ранее выделенных им станках.

==Время работы==
Level-алгоритм вызывает функцию Assign(t) в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз. Функция Assign(t) выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>.

==Литература==
* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 379 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8