Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

2012-06-24T14:51:34Z

217.66.152.33:

[[Интеграл Фейера|<<]][[Теорема Фейера|>>]]

{{В разработке}}
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Нормированные_пространства#определение и примеры|нормированное пространство]], к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.

<tex>E_y(x) \ge 0</tex>, если <tex>x \in Y</tex>, то <tex>E_y(x)=0</tex>, таким образом, положительной определенности у этого функционала нет.

{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
|proof=
'''Однородность''': <tex>\forall \varepsilon > 0 </tex>, по определению нижней грани <tex>\|x-y_{\varepsilon}\| < E_y(x)+\varepsilon</tex>, где <tex>y_{\varepsilon} \in Y</tex>.
<tex>|\lambda|\|x-y_{\varepsilon}\|<|\lambda|E_y(x)+|\lambda| \varepsilon </tex>

По аксиомам нормы: <tex>|\lambda|\|x-y_{\varepsilon}\|=\|\lambda x-\lambda y_\varepsilon\|</tex>.

Так как <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, то <tex>\lambda y_{\varepsilon} \in Y</tex> и <tex>\| \lambda x - \lambda y_{\varepsilon} \| \ge E_y(\lambda x)</tex>.

Тогда <tex>E_y(\lambda x) < |\lambda|E_y(x)+ |\lambda|\varepsilon</tex>, при <tex>\varepsilon \to 0</tex> получаем <tex>E_y(\lambda x) \le |\lambda|E_y(x)</tex>.

В обратную сторону: <tex>E_y(x)=E_y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>, то есть, <tex>\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>.

Пусть <tex>\mu = \frac{1}{\lambda}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)</tex>.

Таким образом, получаем два противоположных неравенства, следовательно, <tex>E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)</tex>.

'''Неравенство треугольника''': <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|< E_y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>\|x_2-z_{\varepsilon}\|< E_y(x_2)+\varepsilon</tex>.

Складывая два неравенства, получим <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|+\|x_2-z_{\varepsilon}\|<E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon</tex>.

По свойствам нижней грани, <tex>E_y(x_1+x_2)\le \|(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})\| \le \| x_1 - y_{\varepsilon} \| + \| x_2 - z_{\varepsilon} \| < E_y(x_1) + E_y(x_2) </tex>, так как <tex>y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y</tex>.

При <tex>\varepsilon \to 0</tex> приходим к неравенству треугольника: <tex>E_y(x_1+x_2)\le E_y(x_1)+E_y(x_2)</tex>.
}}

Отметим некоторый технический момент: <tex>\forall x \in X</tex>, <tex>\forall y \in Y</tex> выполняется: <tex>E_y(x)=E_y((x+y)-y)\le E_y(x+y)+E(-y)</tex>, <tex>E_y(-y) = 0</tex>, так как <tex>-y \in Y</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le E_y(x+y) \le E_y(x) + E_y(y) = E_y(x)</tex>.

Значит, <tex>\forall y \in Y E_y(x)=E_y(x+y)</tex>.

Также, так как <tex>0 \in Y</tex>, то <tex>E_y(x) \le \|x-0\|=\|x\|</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le \|x\|</tex>.

Отсюда, если <tex>x_n \to x</tex>, то <tex>E_y(x_n) \to E_y(x)</tex>, то есть, <tex> E </tex> непрерывно как функционал в норме <tex> X </tex>.

Основной интерес представляют покрытия <tex> X </tex> элементами конечномерных подпространств.

Пусть <tex>\dim Y < +\infty</tex>, <tex>Y=\mathcal L(e_1,..,e_p)</tex> (<tex> \mathcal L </tex> - линейная оболочка множества), тогда <tex>\dim Y = p</tex>.

К примеру, <tex>\dim H_n = 2n+1</tex>, <tex>H_n = \mathcal L(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>, то есть, <tex>Y = \mathcal L(e_1,..,e_n)</tex>.

Рассмотрим функцию <tex>f(\alpha_1,..,\alpha_n)=\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, тогда ясно, что

<tex>E_y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)</tex>.

Надо доказать, что существует <tex>\overline{\alpha^*}=(\alpha^*_1,..,\alpha^*_n)</tex>, на котором достигается эта нижняя грань, тогда в качестве <tex>y^*</tex> можно взять <tex>y^*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^*_k e_k</tex>. Доказательство существования будем вести с помощью [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#weirstrass|теоремы Вейерштрасса]], утверждающей, что если функция <tex>n</tex> переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение.

Проверим непрерывность:
<tex>|f(\overline{\alpha}+\Delta \overline{\alpha})-f(\overline{\alpha})| = |\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k+\Delta\alpha_k)e_k\|-\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le </tex>

<tex>\le |\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| + \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta\alpha_k e_k\| - \|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| = </tex>

<tex> = \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta \alpha_k e_k\| \le \sum\limits_{k=1}^{n}|\Delta\alpha_k\||e_k\| \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> (по неравенству Коши).

Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}</tex> {{---}} константа для данного базиса, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна.

Пусть <tex>M=2E_y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_y(x) > 0</tex> (иначе, если <tex>E_y(x)=0</tex>, то <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>\|x-y_n\| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>\|x-y_n\| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>\dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению).

Выясним, на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > M</tex>, то есть, <tex>\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M</tex>.

<tex>\|x - \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \ge \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| - \|x\|</tex>, то есть, надо смотреть такие <tex>\overline{\alpha}</tex>, для которых выполнено условие: <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M + \|x\|</tex>. Если выполнено это неравенство, то в силу предыдущих выкладок, необходимое нам неравенство тоже выполнено. Тогда на совокупности точек <tex>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n</tex> таких, что <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M + \|x\|</tex> функция минимума достигать не может, так как <tex>M</tex> само в два раза больше этого минимума.

Значит, минимум может достигаться только на <tex>T = \{\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n : \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \le M + \|x\|\}</tex>. Если убедиться, что это множество {{---}} компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то, по теореме Вейерштрасса, <tex>f</tex> примет на нем свое минимальное значение, которое является наилучшим приближением.

Компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества.

1) ''Замкнутость''

Пусть <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(m)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1,n}</tex>.

Если <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\| \to \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, то, так как <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|\le M + \|x\|</tex>, предел нормы ограничен этим же значением, тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, и <tex>T</tex> замкнуто.

<tex>|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\|-\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k\|=\|\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)e_k\| \le </tex>

<tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)^2}</tex>.

Так как <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)^2} \to 0</tex>, то <tex>T</tex> {{---}} замкнуто.

2) ''Ограниченность''

Рассмотрим евклидову норму в <tex> \mathbb{R}^n </tex>: <tex>\|\overline{\alpha}\| = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^2}</tex>.

<tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|=\|\overline{\alpha}\|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{\|\overline{\alpha}\|}e_k\| \le M + \|x\|</tex>. Обозначим за <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{\|\overline{\alpha}\|}</tex> и заметим, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k^2=1</tex>. Будем рассматривать суммы <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k\|</tex>, нам необходимо доказать их ограниченность.

Обозначим <tex>m = \inf\limits_{\|\beta\|=1}\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k\|</tex>.

Нижняя грань(инфимум) берется по единичной сфере в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>), по непрерывной функции, значит, по теореме Вейерштрасса, найдется <tex>\beta^*</tex> такая, что <tex>\|\beta^*\|=1</tex> и <tex>m = \|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k^* e_k\|</tex>.

Если предположить, что <tex>m = 0</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k e_k = 0</tex>, но так как <tex>e_k</tex> {{---}} линейно независимы, то <tex>\beta^*=0</tex> и <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}(\beta^*_k)^2=0</tex>. Но этого быть не может, ведь <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}(\beta^*_k)^2 = \|\beta^*\|^2 = 1</tex>, откуда противоречие. Значит, <tex>m>0</tex>.

Тогда <tex>\|\overline{\alpha}\| \le \frac{M+\|x\|}{m}</tex>, <tex>T</tex> ограниченно, <tex>T</tex> {{---}} компакт, теорема доказана.
}}

Можно рассмотреть <tex>C[0,1]</tex>, <tex>\|f\|=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|</tex>. Если в качестве <tex>A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}</tex> взять конечномерное подмножество <tex>C[0,1]</tex>, далее начинать рассматривать <tex>E_n(f)</tex>, то, по доказанной теореме, существует <tex> T_n(f) \in A_n</tex>, такое, что <tex>E_n(f)=|f-T_n(f)|</tex>.

Так как <tex>A_n \subset A_{n+1}</tex>, то <tex>E_n(f) \ge E_{n+1}(f)</tex>, то есть, <tex>E_n(f)</tex> {{---}} убывает. Тогда, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке#weirstrasscont|теореме Вейерштрасса]], любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит, <tex>E_n(f) \to 0</tex>.

[[Интеграл Фейера|<<]][[Теорема Фейера|>>]]

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах