Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре

2016-10-30T12:09:55Z

217.66.156.108: В описании индексируемся с единицы, свап [2, i], в псевдокоде - с единицы [1, i). @Katsz

__TOC__
{{Задача
|definition = Пусть дан граф <tex>G = \left \langle {V, E} \right \rangle</tex>, удовлетворяющий условию [[Теорема Оре|теоремы Оре]] или [[Теорема Дирака|теоремы Дирака]]. Требуется найти в нем гамильтонов цикл.
}}
== Описание алгоритма ==

Поступим следующим образом: заведем очередь и положим в нее все вершины нашего графа (не важно в каком порядке). Пусть <tex> n = \left | V \right |</tex>. Тогда <tex>n(n -1)</tex> раз будем делать следующую операцию:

* Пусть <tex> v_1 </tex> {{---}} это голова очереди, <tex> v_2 </tex> {{---}} следующая за ней вершина и так далее. Если между первой и второй вершиной в очереди есть ребро в графе <tex>G</tex>, то перемещаем первую вершину в конец очереди и переходим к следующей итерации.
* Если между первой и второй вершиной в очереди ребра нет, то найдем вершину <tex>v_i</tex>, где <tex>i > 2</tex>, такую что, ребра <tex>v_1v_i, v_2v_{i+1} \in E</tex> (так как у нас для графа выполнена либо [[Теорема Оре|теорема Оре]], либо [[Теорема Дирака|теорема Дирака]], то такая вершина обязательно найдется; чуть позже докажем это явно). После чего поменяем в очереди местами вершины <tex>v_2</tex> и <tex>v_i</tex>, <tex>v_3</tex> и <tex>v_{i-1}</tex>, <tex>v_{2+j} </tex> и <tex>v_{i-j}</tex>, и так далее, пока <tex>2 + j (то есть <tex>j</tex> пробегает все значения от <tex>0</tex> до значения заданного неравенством). Теперь у нас появилось ребро между первой и второй вершинами в очереди (теперь вторая вершина, это та, которая была до разворота на <tex>i</tex>-й позиции), а также, гарантированно существует ребро между <tex>i</tex>-й и <tex>(i+1)</tex>-й вершинами очереди. После этого, так же как и в первом случае, оправляем первую вершину в конец очереди.

Таким образом после <tex>n</tex> итераций, мы получаем последовательность (вершины лежащие в очереди), где любые 2 соседние вершины соединены ребром, все вершины графа находятся в этой последовательности, и более того, каждая ровно один раз, а также существует ребро между последней и первой вершинами очереди, а это и значит, что мы решили поставленную задачу.

== Псевдокод ==
Функция <tex>\mathtt{findHamiltonianCycle}</tex> получает на вход граф <tex> G </tex > и находит гамильтонов цикл в нем.

* <tex> queue </tex> {{---}} очередь вершин графа <tex>G = \left \langle {V, E} \right \rangle</tex>
{| width = 100%
|-
|
'''function''' findHamiltonianCycle(<tex>\left \langle {V, E} \right \rangle</tex>):
'''for''' <tex> v \in V</tex>: // Добавляем все вершины графа в очередь
queue.pushBack(<tex>v</tex>)
'''for''' k = 0..n * (n - 1)
'''if''' (queue.at(0), queue.at(1)) <tex> \notin E</tex> // Проверяем существования ребра между первой и второй вершинами очереди
i = 2
'''while''' (queue.at(0), queue.at(i)) <tex> \notin E</tex> '''or''' (queue.at(1), queue.at(i + 1)) <tex> \notin E</tex>
i++ // Ищем индекс удовлетворяющую условию вершины
queue.swapSubQueue(1, i) // Разворачиваем часть перестановки от 2-й до найденной позиции включительно
queue.pushBack(queue.top())
queue.pop()
|}

== Доказательство алгоритма ==

{{Лемма
|statement=Каждый раз, когда нам надо искать вершину <tex>v_i</tex>, где <tex>i > 2</tex>, такую что <tex>v_1v_i, v_2v_{i+1} \in E</tex>, такая вершина действительно существует.
|proof=Рассмотрим множество <tex>S = \{i\mid v_1v_i \in E\}</tex>, состоящее из индексов вершин, смежных с <tex>v_1</tex>, и множество <tex>T = \{i+1 \mid v_2v_{i+1} \in E\}</tex>, индексов вершин смежных с <tex>v_2</tex>. Заметим, что <tex>S \subset \{3, 4, \ldots, n\}</tex>, а <tex>T \subset \{2, 3, \ldots, n - 1\}</tex>, тогда <tex>S\cup T\subset \{2, 3, \ldots, n\} </tex>, а значит <tex>\left\vert S\cup T\right\vert \leqslant n-1</tex>, в то же время <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg} v_1 + \operatorname{deg} v_2 \geqslant n</tex> (по условию [[Теорема Оре|теоремы Оре]] или [[Теорема Дирака|теоремы Дирака]]). Из этого следует, что <tex>S\cap T\ne \varnothing</tex>, а это и значит, что искомая вершина существует.
}}

{{Лемма
|statement=После <tex>n(n - 1)</tex> итераций между каждой парой соседних вершин очереди существует ребро.
|proof=Достаточно заметить, что каждую итерацию алгоритма, мы, в случае отсутствия ребра, между <tex>v_1</tex> и <tex>v_{2}</tex> увеличиваем количество пар соседних в очереди вершин, между которыми есть ребро, как минимум на <tex>1</tex> (это прямое следствие условия поиска нужной вершины, в случае отсутствия ребра), для поиска такой пары требуется не более <tex>n</tex> итераций. Таких пар изначально не более <tex>n</tex>, откуда следует, что после <tex>n</tex> итераций, второе условие будет выполнено.
}}

{{Теорема
|statement=Алгоритм находит гамильтонов цикл.
|proof=Из предыдущих лемм следует корректность алгоритма.
}}

== Сложность алгоритма ==

Поиск вершины, удовлетворяющей заданному условию работает за <tex>O(n)</tex>, а таких поисков будет осуществлено не более чем <tex>n</tex>. Оставшиеся <tex>n(n - 2)</tex> итерации выполняются за <tex>O(1)</tex>.
Тогда алгоритм выполняется за <tex>O(n^2)</tex>.

== См.также ==
*[[Гамильтоновы графы]]
*[[Теорема Оре]]
*[[теорема Дирака|Теорема Дирака]]
*[[Очередь]]

== Источники информации ==
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/graph-circuits-cuts/hamiltonian-2005 Дискретная математика: Алгоритмы {{---}} Гамильтоновы графы]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Гамильтоновы графы]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре