Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Покрытие рёбер графа путями

2017-01-08T13:45:59Z

217.66.156.226:

Следующее утверждение являются следствием из [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|критерия Эйлеровости]] [[Основные определения теории графов|графа]]:
{{Теорема|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечетную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество ребер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|реберно-простыми]] путями.
|proof=

'''Необходимость'''

Докажем, что <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> реберно-простыми путями.

Добавим <tex> N </tex> ребер <tex>uv</tex> таких, что степени вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в <tex>G</tex> появится Эйлеров цикл <tex>c</tex> (критерием Эйлеровости графа является отсутствие нечетных вершин в связном мультиграфе).

Удалим из <tex>c</tex> добавленные ребра.
Заметим, что теперь цикл распадается на <tex> N </tex> простых путей. В самом деле: возьмем Эйлеров цикл и удалим из него <tex>N</tex> ребер. Теперь полученный граф можно разбить на <tex>N</tex> (или меньше) цепей между этими удаленными ребрами.

'''Достаточность'''

Докажем, что <tex>G</tex> нельзя покрыть менее, чем <tex>N</tex> реберно-простыми путями.

Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей <tex>p_1, p_2, ... p_k, k < N</tex>, такой что он покрывает все ребра <tex>G</tex>. Пусть <tex>i-</tex>й путь из этого набора имеет вид <tex> w_i = u_{i_0}e_{i_1}u_{i_1}...u_{i_m}</tex>. Добавим в <tex>G</tex> все ребра вида <tex>u_{i_m}u_{{i+1}_0}</tex> (соединяют конец предыдущей и начало следующей цепи) и ребро <tex>u_{k_m}u_{1_0}</tex> (соединяет конец последней и начало первой цепей).

В новом графе появится Эйлеров цикл, т.к. мы добавили ребра, соединяющие конец и начало <tex> i </tex> и <tex> i + 1 </tex> пути соответственно. Всего добавлено <tex>k</tex> ребер, которые меняют четность не более, чем <tex>2k</tex> вершин. Т.к. <tex>k < N</tex>, то в графе останутся вершины нечетной степени, что не удовлетворяет критерию Эйлеровости графа.<br/>

Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше <tex>N</tex>, не существует.
}}

==См. также==
* [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов]]

==Источники информации==
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Покрытие рёбер графа путями

2017-01-08T13:39:20Z

217.66.156.226:

Следующее утверждение являются следствием из [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|критерия Эйлеровости]] [[Основные определения теории графов|графа]]:
{{Теорема|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечетную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество ребер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|реберно-простыми]] путями.
|proof=

'''Необходимость'''

Докажем, что <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> реберно-простыми путями.

Добавим <tex> N </tex> ребер <tex>uv</tex> таких, что <tex>uv</tex> <tex>\notin</tex> <tex>G</tex> и степени вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в <tex>G</tex> появится Эйлеров цикл <tex>c</tex> (критерием Эйлеровости графа является отсутствие нечетных вершин в связном мультиграфе).

Удалим из <tex>c</tex> добавленные ребра.
Заметим, что теперь цикл распадается на <tex> N </tex> простых путей. В самом деле: возьмем Эйлеров цикл и удалим из него <tex>N</tex> ребер. Теперь полученный граф можно разбить на <tex>N</tex> (или меньше) цепей между этими удаленными ребрами.

'''Достаточность'''

Докажем, что <tex>G</tex> нельзя покрыть менее, чем <tex>N</tex> реберно-простыми путями.

Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей <tex>p_1, p_2, ... p_k, k < N</tex>, такой что он покрывает все ребра <tex>G</tex>. Пусть <tex>i-</tex>й путь из этого набора имеет вид <tex> w_i = u_{i_0}e_{i_1}u_{i_1}...u_{i_m}</tex>. Добавим в <tex>G</tex> все ребра вида <tex>u_{i_m}u_{{i+1}_0}</tex> (соединяют конец предыдущей и начало следующей цепи) и ребро <tex>u_{k_m}u_{1_0}</tex> (соединяет конец последней и начало первой цепей).

В новом графе появится Эйлеров цикл, т.к. мы добавили ребра, соединяющие конец и начало <tex> i </tex> и <tex> i + 1 </tex> пути соответственно. Всего добавлено <tex>k</tex> ребер, которые меняют четность не более, чем <tex>2k</tex> вершин. Т.к. <tex>k < N</tex>, то в графе останутся вершины нечетной степени, что не удовлетворяет критерию Эйлеровости графа.<br/>

Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше <tex>N</tex>, не существует.
}}

==См. также==
* [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов]]

==Источники информации==
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]