Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Примитивно рекурсивные функции

2019-03-19T21:26:44Z

217.66.156.73: /* Работа со списками фиксированной длины */

[[Лекция 6 | <<]][[Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике | >>]]

[[Категория: Математическая логика]]

== Рекурсивные функции ==
===Строительные блоки рекурсивных функций===
Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:
<ol>
<li> <tex>\mathrm{Z}</tex> {{---}} ноль. </li>

<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex>

<li> <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} инкремент. </li>

<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex>, где <tex>x' = x + 1</tex>.

<li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li>

<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) = x_i</tex>

<li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))</tex>

<li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, \ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n) & y = 0\\
\mathrm{g}(x_1, \ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1, \ldots, x_n,y-1)) & y > 0
\end{array}\right.</tex>

<li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, \ldots, x_n)</tex> — такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.
</ol>
{{Определение
|definition=
Если некоторая функция <tex>\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной''' (англ. ''recursive'').
}}

===Примитивно рекурсивные функции===

{{Определение
|definition=
'''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил <tex>1</tex>{{---}}<tex>5</tex>.

}}
Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.
{{Определение
|definition=
'''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.
}}

Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:
*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
*В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.

== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ==

==== '''n'''-местный ноль ====
<tex> \textbf 0 </tex> {{---}} функция нуля аргументов.

<tex> \textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y) </tex>

<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex>

Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex>\textbf 0</tex>, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>.

====Константа <tex> \textbf M </tex>====

<tex> \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))</tex>

<tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом.

==== Сложение ====
<tex> \mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)</tex>, где

<tex> \mathrm{f}(x) = x </tex>

<tex> \mathrm{g}(x, y, z) = \mathrm{N}(z) </tex>

<tex> \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{f}(x) & y = 0\\
\mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0
\end{array}\right.</tex>

<tex>=\left\{\begin{array} {ll}
x & y = 0\\
\mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0
\end{array}\right.</tex>

<tex>=\left\{\begin{array} {ll}
x & y = 0\\
\mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y > 0
\end{array}\right. </tex>

Можно преобразовать в более простой вид.

<tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex>

<tex> \mathrm{sum}(x,y) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex>

==== Умножения ====
<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \mathrm{Z}(x) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>

==== Вычитания ====
Если <tex> x \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>.

Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex>

<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \mathrm{Z}(0) </tex>

<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex>

Теперь рассмотрим <tex> \mathrm{sub}(x,y) </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,y) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>

==== Операции сравнения ====
<tex> \mathrm{eq}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> \mathrm{eq}(x,y) = 0 </tex>

<tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex>

<tex> \mathrm{lower}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 0 </tex>

Сначала выразим <tex> \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \mathrm{Z}(x,y-1) </tex>

Теперь все остальные функции

<tex> \mathrm{le}(x,y) = \mathrm{eq_0}(\mathrm{sub}(x,y)) </tex>

<tex> \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) </tex>

<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex>

==== Условный оператор ====
<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex>

<tex> \mathrm{if}(c,x,y) = x </tex>

==== Деление ====
<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно.

Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>.

<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\mathrm{Z}(y) </tex>

<tex>\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),</tex><tex>\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y))</tex>

Теперь само деления

<tex> \mathrm{divide}(0,y) = \mathrm{Z}(y) </tex>

<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y))) </tex>

Остаток от деления выражается так:

<tex> \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) </tex>

==== Работа со списками фиксированной длины ====
С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа.
Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

==Теоремы==
===Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ===
{{Теорема
|statement= Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex> примитивно рекурсивная функция.
|proof=
Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где:

*<tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.

*<tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.

*<tex> S </tex> {{---}} номер текущего состояния.

*<tex> C </tex> {{---}} символ на который указывает головка ленты.

Тогда всем переходам соответствует функция <tex> \mathrm{f}([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние.
Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в <tex> C </tex> записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в <tex> L </tex> и <tex> R </tex> в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в <tex> C </tex> записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в <tex> S </tex> записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода {{---}} примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций <tex> \mathrm{if} </tex> следует что и <tex> \mathrm{f} </tex> также является примитивно рекурсивной функцией.

Функции преобразование аргументов в формат входных данных для [[Машина Тьюринга|МТ]] и получения ответа по состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их <tex>\mathrm{IN} </tex> и <tex> \mathrm{OUT} </tex>.

Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) </tex> которая принимает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] , число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] после <tex> t </tex> шагов.
Покажем что <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция.

<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex>

<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) </tex>

Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция.
}}

==См. также ==
* [[Лямбда-исчисление]]
* [[Частично рекурсивные функции]]

==Источники информации ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Википедия {{---}} Рекурсивная функция]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]

Тьюринг-полнота

2019-03-19T21:21:59Z

217.66.156.73: /* Теорема Геделя о неполноте */

==Введение==
{{Определение
|definition =
Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''' (англ. ''Turing-equivalent''), если оно может эмулировать [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]].
}}
{{Определение
|definition =
Задача называется '''Тьюринг-полной''' (англ. ''Turing-complete''), если её можно решить, используя только машину Тьюринга или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной.
}}

Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.

В теории вычислимости ''исполнитель'' (множество вычисляющих элементов) называется '''Тьюринг-полным''', если на нём можно реализовать любую вычислимую функцию. Другими словами, для каждой вычислимой функции существует вычисляющий её элемент (например, машина Тьюринга) или программа для исполнителя, а все функции, вычисляемые множеством вычислителей, являются вычислимыми функциями (возможно, при некотором кодировании входных и выходных данных).

Любой полный по Тьюрингу язык достаточно универсален, чтобы иметь возможность имитировать любой другой язык (хотя и с потенциальным замедлением в работе). Такие языки эквивалентны в рамках вычислений, которые могут произвести. Полные по Тьюрингу языки настолько распространены, что их можно обнаружить даже в примитивных на первый взгляд системах, например, [[Линейный клеточный автомат, эквивалентность МТ | клеточных автоматах]] или мозаичных системах.

На практике полнота по Тьюрингу похожа на идеализацию. Компьютеры имеют ограниченное количество памяти, а неограниченная по времени их работа может быть прервана физическим воздействием (выключение, поломка), что как бы ограничивает число задач, которые они могут решить. На самом деле, физические ограничения в контексте Тьюринг-полноты не берутся во внимание: Тьюринг-полный исполнитель не должен быть ограничен по времени и памяти лишь самим исполнителем.

==Критерии Тьюринг-полноты==

Если на языке программирования можно реализовать машину Тьюринга, то такой язык Тьюринг-полон, и наоборот. Возможность реализации машины Тьюринга на конкретном языке программирования можно ''грубо'' описать как перечень требований, которым этот язык должен для этого удовлетворять:

* Конечность (нет бесконечных символьных множеств и пр.).

* Фиксированное описание (формальность<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Формальный язык]</ref>).

* Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду неограниченная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть ''"always big enough"''.

* Неограниченность времени выполнения — любая программа в должна иметь возможность работать до тех пор, пока не завершится.

* Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия).

* Наличие циклов <tex>{\bf while}</tex> с прерыванием или эквивалентных им конструкций.

* Возможность останавливать выполнение (''halt'') или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения.

* Представление множества натуральных чисел, понятие нуля и следующего числа. Возможны другие подобные системы.

* Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без формальных ограничений в объёме. Очевидно, что если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным.

==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования==

Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить на нём интерпретатор Тьюринг-полного языка.

===Assembly language===

Язык Ассемблера достаточно примитивен относительно языков программирования высокого уровня: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и любые высокоуровневые языки программирования.

Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так:

ADDS r0, r0, #1 ; сдвиг ленты вправо
ADDS r0, r0, #-1 ; сдвиг ленты влево
ADDS [r0], [r0], #1 ; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты
ADDS [r0], [r0], #-1 ; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты

И далее использовать инструкцию <tex>\mathrm{BEQ}</tex> или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление.

===Pascal===

Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором <tex>\mathrm{new}</tex>, семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списков
можно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.
В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal.

===C===

В языке C нет высокоуровневого понятия переменной (в смысле Паскаля), есть объекты (object), хранящиеся в памяти как последовательно расположенные байты,имеющие адрес (байты в свою очередь состоят из неадресуемых битов). Целые типы ограничены (конечное множество значений), указатель отождествляется с адресом, постулируется возможность хранить адрес в целочисленной переменной (int или long — зависит от реализации), откуда следует ограниченность множества значений указателей, а стало быть, и ограниченность адресного пространства C-машины. То есть язык C, как и язык ассемблера, ориентирован на архитектуру с конечной памятью. Файл не является типом данных языка C, в отличие от Паскаля. Это вещь из окружения, для работы с которой есть операции над потоками в виде набора библиотечных функций. Тип fpos_t, принятый в стандарте C для позиционирования файлов, постулируется как «отличный от массива тип данных (object type)». Следовательно, множество значений этого типа конечно, а значит, максимальная длина файла в языке C ограничена сверху.

===SQL===

Сам по себе SQL никогда не считался полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр., например, с помощью PostgreSQL<ref>[http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf High Performance with PostgreSQL 8.4]</ref>. Более того, на в 2011 г. Habrahabr появилась статья, где показана машина Тьюринга на SQL<ref>[https://habrahabr.ru/post/113165/|Машина Тьюринга на чистом SQL]</ref> (в реализации Firebird 2.1, который ограничивает вложенность рекурсивных запросов до 2014 уровней). Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time.

===HTML===

HTML можно назвать языком программирования только в контексте формальной полемики. На деле он является языком гипертекстовой разметки и ни чем больше. Т. е. на HTML можно совершить только некоторую ограниченную совокупность действий, интерпретируемых браузером, однако никто не запрещает сделать язык, идентичный по синтаксису с HTML, но интерпретируемый совершенно по другому таким образом, чтобы он был полным по Тьюрингу.

===Некоторые другие ЯП===

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Название языка'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Год изобретения'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Зависимость от архитектуры процессора'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1972
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Процедурный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| зав. от ISO
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C++
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1983
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Мультипарадигменный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий/Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Язык Ассемблера
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1950
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Полнофункциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| SQL
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1989
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Haskell
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1990
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| HTML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1986
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| CSS
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1996
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Java
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1965
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Python
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1991
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| XML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1998
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Brainfuck
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1993
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Whitespace
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 2003
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да

|}

==Интересные случаи полноты по Тьюрингу==

===Шаблоны C++===

Шаблоны C++ позволяют производить сложные вычисления ещё на стадии компиляции программы. Впервые это было продемонстрировано Эрвином Унрухом, который реализовал рекурсивный алгоритм распознавания простых чисел в процессе компиляции. Позже в статье Университета Индиана было продемонстрировано кодирование машины Тьюринга в шаблонах C++<ref>[http://web.archive.org/web/20131101122512/http://ubietylab.net/ubigraph/content/Papers/pdf/CppTuring.pdf C++ Templates are Turing-complete]</ref>.

===Java Generics===

Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>.

===URISC===

'''URISC''' (от англ. ''Ultimate RISC'') — предельный случай процессора типа RISC (буквально: компьютер с предельно сокращённым набором инструкций), который умеет выполнять одну-единственную инструкцию. Обычно это «вычесть и пропустить следующую инструкцию, если вычитаемое было больше уменьшаемого» (англ. ''«reverse-subtract and skip if borrow»''). Аналогичная концепция, основанная именно на «вычесть и перейти, если результат не положительный» (англ. ''«subtract and branch unless positive»''), называется '''SUBLEQ'''.

'''URISC''' также известен в современной литературе как '''OISC''' (англ. One Instruction Set Computer) и является полным по Тьюрингу.

===mov===

Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций <tex>\mathrm {mov}</tex><ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>.

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы GCC]]
|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы M/o/Vfuscator]]
|}

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:Demo_mov.gif|thumb|500px|left|Простые числа с использованием одной инструкции]]
|}

===HTML5 + CSS3===

Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным.

===Excel===

Excel имеет свой скриптовый язык. Однако, для кодирования Машины Тьюринга в таблице Excel достаточно использование только формул<ref>[http://www.felienne.com/archives/2974 Excel Turing Machine]</ref>.

===Тьюринг-полнота в играх===

* Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>. Возможно, достижение Тьюринг-полноты в игре-песочнице с возможностью создания логических элементов было неизбежным, но сложность компьютеров, собираемых из блоков в данной игре, достойна внимания.

* Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>. Некоторые элементы игры представляют из себя ничто иное, как небольшие клеточные автоматы, которые можно запрограммировать.

* Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>. Умелое обращение с багами игры позволяет сделать в ней буквально всё, что позволяет 2d-пространство Nintendo.

* [[Неразрешимость игры Braid|Braid]].

==Тьюринговская трясина==

'''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики.

Первыми представителями «трясины» были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга.

Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace).

==Теорема Геделя о неполноте==
{{Теорема
|statement= Любая непротиворечивая формальная система аксиом <tex>T</tex>, способная выражать утверждения о натуральных числах и доказывать простые арифметические факты, неполна {{---}} существуют утверждения о натуральных числах, которые она не может ни доказать, ни опровергнуть.
|proof= Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться проблемой остановки машины Тьюринга (доказанной Аланом Тьюрингом в 1936).
{{Теорема
|statement= Для данной машины Тьюринга и входных данных для нее невозможно определить, остановится ли она когда-либо (запущенная на этих данных) или нет.
}}
# Предположим, что система <tex>T</tex> еще и корректна (доказывает только истинные условия).
# Предположим, что система <tex>T</tex> полна, т.е. доказывает или опровергает любое утверждение.
# Сформулируем и запишем на языке арифметики утверждение <tex>O</tex> = "машина Тьюринга <tex>M</tex> точно остановится, если запустить ее с данными <tex>D</tex>".
# Переберем все доказательства (<tex>P</tex> {{---}} истинно) и опровержения (<tex>\neg P</tex> {{---}} истинно) в системе <tex>T</tex>, чья длина совпадает с длиной <tex>O</tex>.
# Так как система <tex>T</tex> полна, рано или поздно мы найдем опровержение или доказательство утверждения <tex>O</tex>
# Поскольку система <tex>T</tex> доказывает только истинные факты, мы фактически решили проблему остановки.
Это очень простой способ доказательства теоремы Геделя о неполноте, но при этом он требует корректности <tex>T</tex> (тем не менее обычные системы аксиом арифметики всегда корректны).
}}

==См. также==

* [[Машина Тьюринга]]

* [[Лямбда-исчисление]]

* [[Игра «Жизнь»]]

* [[Busy beaver]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==

* [http://wiki.c2.com/?TuringComplete Cunningham & Cunningham, Inc. — Turing Complete]

* [http://softwareengineering.stackexchange.com/questions/132385/what-makes-a-language-turing-complete Stackexchange — What makes a language Turing-complete?]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%80%D1%8F%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия — Тьюринговская трясина]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83 Википедия — Полнота по Тьюрингу]

* [http://cmcmsu.no-ip.info/download/alg.lang.completeness.pdf А. А. Вылиток. Об алгоритмической полноте некоторых языков программирования]

* [http://ethclassic.ru/2016/10/21/turing-completeness-reality/ «Умные контракты»: полнота по Тьюрингу и реальность]

* [http://habrahabr.ru/post/231897/ Хабрахабр — Является ли HTML языком программирования?]

* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/URISC Википедия — URISC]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
[[Категория: Машина Тьюринга]]

Тьюринг-полнота

2019-03-19T21:20:56Z

217.66.156.73: /* Теорема Геделя о неполноте */

==Введение==
{{Определение
|definition =
Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''' (англ. ''Turing-equivalent''), если оно может эмулировать [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]].
}}
{{Определение
|definition =
Задача называется '''Тьюринг-полной''' (англ. ''Turing-complete''), если её можно решить, используя только машину Тьюринга или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной.
}}

Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.

В теории вычислимости ''исполнитель'' (множество вычисляющих элементов) называется '''Тьюринг-полным''', если на нём можно реализовать любую вычислимую функцию. Другими словами, для каждой вычислимой функции существует вычисляющий её элемент (например, машина Тьюринга) или программа для исполнителя, а все функции, вычисляемые множеством вычислителей, являются вычислимыми функциями (возможно, при некотором кодировании входных и выходных данных).

Любой полный по Тьюрингу язык достаточно универсален, чтобы иметь возможность имитировать любой другой язык (хотя и с потенциальным замедлением в работе). Такие языки эквивалентны в рамках вычислений, которые могут произвести. Полные по Тьюрингу языки настолько распространены, что их можно обнаружить даже в примитивных на первый взгляд системах, например, [[Линейный клеточный автомат, эквивалентность МТ | клеточных автоматах]] или мозаичных системах.

На практике полнота по Тьюрингу похожа на идеализацию. Компьютеры имеют ограниченное количество памяти, а неограниченная по времени их работа может быть прервана физическим воздействием (выключение, поломка), что как бы ограничивает число задач, которые они могут решить. На самом деле, физические ограничения в контексте Тьюринг-полноты не берутся во внимание: Тьюринг-полный исполнитель не должен быть ограничен по времени и памяти лишь самим исполнителем.

==Критерии Тьюринг-полноты==

Если на языке программирования можно реализовать машину Тьюринга, то такой язык Тьюринг-полон, и наоборот. Возможность реализации машины Тьюринга на конкретном языке программирования можно ''грубо'' описать как перечень требований, которым этот язык должен для этого удовлетворять:

* Конечность (нет бесконечных символьных множеств и пр.).

* Фиксированное описание (формальность<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Формальный язык]</ref>).

* Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду неограниченная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть ''"always big enough"''.

* Неограниченность времени выполнения — любая программа в должна иметь возможность работать до тех пор, пока не завершится.

* Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия).

* Наличие циклов <tex>{\bf while}</tex> с прерыванием или эквивалентных им конструкций.

* Возможность останавливать выполнение (''halt'') или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения.

* Представление множества натуральных чисел, понятие нуля и следующего числа. Возможны другие подобные системы.

* Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без формальных ограничений в объёме. Очевидно, что если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным.

==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования==

Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить на нём интерпретатор Тьюринг-полного языка.

===Assembly language===

Язык Ассемблера достаточно примитивен относительно языков программирования высокого уровня: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и любые высокоуровневые языки программирования.

Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так:

ADDS r0, r0, #1 ; сдвиг ленты вправо
ADDS r0, r0, #-1 ; сдвиг ленты влево
ADDS [r0], [r0], #1 ; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты
ADDS [r0], [r0], #-1 ; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты

И далее использовать инструкцию <tex>\mathrm{BEQ}</tex> или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление.

===Pascal===

Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором <tex>\mathrm{new}</tex>, семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списков
можно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.
В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal.

===C===

В языке C нет высокоуровневого понятия переменной (в смысле Паскаля), есть объекты (object), хранящиеся в памяти как последовательно расположенные байты,имеющие адрес (байты в свою очередь состоят из неадресуемых битов). Целые типы ограничены (конечное множество значений), указатель отождествляется с адресом, постулируется возможность хранить адрес в целочисленной переменной (int или long — зависит от реализации), откуда следует ограниченность множества значений указателей, а стало быть, и ограниченность адресного пространства C-машины. То есть язык C, как и язык ассемблера, ориентирован на архитектуру с конечной памятью. Файл не является типом данных языка C, в отличие от Паскаля. Это вещь из окружения, для работы с которой есть операции над потоками в виде набора библиотечных функций. Тип fpos_t, принятый в стандарте C для позиционирования файлов, постулируется как «отличный от массива тип данных (object type)». Следовательно, множество значений этого типа конечно, а значит, максимальная длина файла в языке C ограничена сверху.

===SQL===

Сам по себе SQL никогда не считался полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр., например, с помощью PostgreSQL<ref>[http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf High Performance with PostgreSQL 8.4]</ref>. Более того, на в 2011 г. Habrahabr появилась статья, где показана машина Тьюринга на SQL<ref>[https://habrahabr.ru/post/113165/|Машина Тьюринга на чистом SQL]</ref> (в реализации Firebird 2.1, который ограничивает вложенность рекурсивных запросов до 2014 уровней). Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time.

===HTML===

HTML можно назвать языком программирования только в контексте формальной полемики. На деле он является языком гипертекстовой разметки и ни чем больше. Т. е. на HTML можно совершить только некоторую ограниченную совокупность действий, интерпретируемых браузером, однако никто не запрещает сделать язык, идентичный по синтаксису с HTML, но интерпретируемый совершенно по другому таким образом, чтобы он был полным по Тьюрингу.

===Некоторые другие ЯП===

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Название языка'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Год изобретения'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Зависимость от архитектуры процессора'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1972
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Процедурный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| зав. от ISO
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C++
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1983
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Мультипарадигменный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий/Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Язык Ассемблера
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1950
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Полнофункциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| SQL
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1989
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Haskell
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1990
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| HTML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1986
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| CSS
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1996
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Java
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1965
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Python
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1991
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| XML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1998
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Brainfuck
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1993
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Whitespace
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 2003
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да

|}

==Интересные случаи полноты по Тьюрингу==

===Шаблоны C++===

Шаблоны C++ позволяют производить сложные вычисления ещё на стадии компиляции программы. Впервые это было продемонстрировано Эрвином Унрухом, который реализовал рекурсивный алгоритм распознавания простых чисел в процессе компиляции. Позже в статье Университета Индиана было продемонстрировано кодирование машины Тьюринга в шаблонах C++<ref>[http://web.archive.org/web/20131101122512/http://ubietylab.net/ubigraph/content/Papers/pdf/CppTuring.pdf C++ Templates are Turing-complete]</ref>.

===Java Generics===

Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>.

===URISC===

'''URISC''' (от англ. ''Ultimate RISC'') — предельный случай процессора типа RISC (буквально: компьютер с предельно сокращённым набором инструкций), который умеет выполнять одну-единственную инструкцию. Обычно это «вычесть и пропустить следующую инструкцию, если вычитаемое было больше уменьшаемого» (англ. ''«reverse-subtract and skip if borrow»''). Аналогичная концепция, основанная именно на «вычесть и перейти, если результат не положительный» (англ. ''«subtract and branch unless positive»''), называется '''SUBLEQ'''.

'''URISC''' также известен в современной литературе как '''OISC''' (англ. One Instruction Set Computer) и является полным по Тьюрингу.

===mov===

Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций <tex>\mathrm {mov}</tex><ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>.

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы GCC]]
|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы M/o/Vfuscator]]
|}

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:Demo_mov.gif|thumb|500px|left|Простые числа с использованием одной инструкции]]
|}

===HTML5 + CSS3===

Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным.

===Excel===

Excel имеет свой скриптовый язык. Однако, для кодирования Машины Тьюринга в таблице Excel достаточно использование только формул<ref>[http://www.felienne.com/archives/2974 Excel Turing Machine]</ref>.

===Тьюринг-полнота в играх===

* Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>. Возможно, достижение Тьюринг-полноты в игре-песочнице с возможностью создания логических элементов было неизбежным, но сложность компьютеров, собираемых из блоков в данной игре, достойна внимания.

* Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>. Некоторые элементы игры представляют из себя ничто иное, как небольшие клеточные автоматы, которые можно запрограммировать.

* Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>. Умелое обращение с багами игры позволяет сделать в ней буквально всё, что позволяет 2d-пространство Nintendo.

* [[Неразрешимость игры Braid|Braid]].

==Тьюринговская трясина==

'''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики.

Первыми представителями «трясины» были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга.

Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace).

==Теорема Геделя о неполноте==
{{Теорема
|statement= Любая непротиворечивая формальная система аксиом <tex>T</tex>, способная выражать утверждения о натуральных числах и доказывать простые арифметические факты, неполна {{---}} существуют утверждения о натуральных числах, которые она не может ни доказать, ни опровергнуть.
|proof= Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться проблемой остановки машины Тьюринга (доказанной Аланом Тьюрингом в 1936).
{{Теорема
|statement= Для данной машины Тьюринга и входных данных для нее невозможно определить, остановиться ли она когда-либо (запущенная на этих данных) или нет
}}
# Предположим, что система <tex>T</tex> еще и корректна (доказывает только истинные условия).
# Предположим, что система <tex>T</tex> полна, т.е. доказывает или опровергает любое утверждение.
# Сформулируем и запишем на языке арифметики утверждение <tex>O</tex> = "машина Тьюринга <tex>M</tex> точно остановится, если запустить ее с данными <tex>D</tex>".
# Переберем все доказательства (<tex>P</tex> {{---}} истинно) и опровержения (<tex>\neg P</tex> {{---}} истинно) в системе <tex>T</tex>, чья длина совпадает с длиной <tex>O</tex>.
# Так как система <tex>T</tex> полна, рано или поздно мы найдем опровержение или доказательство утверждения <tex>O</tex>
# Поскольку система <tex>T</tex> доказывает только истинные факты, мы фактически решили проблему остановки.
Это очень простой способ доказательства теоремы Геделя о неполноте, но при этом он требует корректности <tex>T</tex> (тем не менее обычные системы аксиом арифметики всегда корректны).
}}

==См. также==

* [[Машина Тьюринга]]

* [[Лямбда-исчисление]]

* [[Игра «Жизнь»]]

* [[Busy beaver]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==

* [http://wiki.c2.com/?TuringComplete Cunningham & Cunningham, Inc. — Turing Complete]

* [http://softwareengineering.stackexchange.com/questions/132385/what-makes-a-language-turing-complete Stackexchange — What makes a language Turing-complete?]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%80%D1%8F%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия — Тьюринговская трясина]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83 Википедия — Полнота по Тьюрингу]

* [http://cmcmsu.no-ip.info/download/alg.lang.completeness.pdf А. А. Вылиток. Об алгоритмической полноте некоторых языков программирования]

* [http://ethclassic.ru/2016/10/21/turing-completeness-reality/ «Умные контракты»: полнота по Тьюрингу и реальность]

* [http://habrahabr.ru/post/231897/ Хабрахабр — Является ли HTML языком программирования?]

* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/URISC Википедия — URISC]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
[[Категория: Машина Тьюринга]]

Тьюринг-полнота

2019-03-19T21:14:19Z

217.66.156.73: /* Теорема Геделя о неполноте */

==Введение==
{{Определение
|definition =
Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''' (англ. ''Turing-equivalent''), если оно может эмулировать [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]].
}}
{{Определение
|definition =
Задача называется '''Тьюринг-полной''' (англ. ''Turing-complete''), если её можно решить, используя только машину Тьюринга или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной.
}}

Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.

В теории вычислимости ''исполнитель'' (множество вычисляющих элементов) называется '''Тьюринг-полным''', если на нём можно реализовать любую вычислимую функцию. Другими словами, для каждой вычислимой функции существует вычисляющий её элемент (например, машина Тьюринга) или программа для исполнителя, а все функции, вычисляемые множеством вычислителей, являются вычислимыми функциями (возможно, при некотором кодировании входных и выходных данных).

Любой полный по Тьюрингу язык достаточно универсален, чтобы иметь возможность имитировать любой другой язык (хотя и с потенциальным замедлением в работе). Такие языки эквивалентны в рамках вычислений, которые могут произвести. Полные по Тьюрингу языки настолько распространены, что их можно обнаружить даже в примитивных на первый взгляд системах, например, [[Линейный клеточный автомат, эквивалентность МТ | клеточных автоматах]] или мозаичных системах.

На практике полнота по Тьюрингу похожа на идеализацию. Компьютеры имеют ограниченное количество памяти, а неограниченная по времени их работа может быть прервана физическим воздействием (выключение, поломка), что как бы ограничивает число задач, которые они могут решить. На самом деле, физические ограничения в контексте Тьюринг-полноты не берутся во внимание: Тьюринг-полный исполнитель не должен быть ограничен по времени и памяти лишь самим исполнителем.

==Критерии Тьюринг-полноты==

Если на языке программирования можно реализовать машину Тьюринга, то такой язык Тьюринг-полон, и наоборот. Возможность реализации машины Тьюринга на конкретном языке программирования можно ''грубо'' описать как перечень требований, которым этот язык должен для этого удовлетворять:

* Конечность (нет бесконечных символьных множеств и пр.).

* Фиксированное описание (формальность<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Формальный язык]</ref>).

* Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду неограниченная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть ''"always big enough"''.

* Неограниченность времени выполнения — любая программа в должна иметь возможность работать до тех пор, пока не завершится.

* Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия).

* Наличие циклов <tex>{\bf while}</tex> с прерыванием или эквивалентных им конструкций.

* Возможность останавливать выполнение (''halt'') или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения.

* Представление множества натуральных чисел, понятие нуля и следующего числа. Возможны другие подобные системы.

* Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без формальных ограничений в объёме. Очевидно, что если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным.

==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования==

Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить на нём интерпретатор Тьюринг-полного языка.

===Assembly language===

Язык Ассемблера достаточно примитивен относительно языков программирования высокого уровня: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и любые высокоуровневые языки программирования.

Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так:

ADDS r0, r0, #1 ; сдвиг ленты вправо
ADDS r0, r0, #-1 ; сдвиг ленты влево
ADDS [r0], [r0], #1 ; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты
ADDS [r0], [r0], #-1 ; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты

И далее использовать инструкцию <tex>\mathrm{BEQ}</tex> или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление.

===Pascal===

Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором <tex>\mathrm{new}</tex>, семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списков
можно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.
В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal.

===C===

В языке C нет высокоуровневого понятия переменной (в смысле Паскаля), есть объекты (object), хранящиеся в памяти как последовательно расположенные байты,имеющие адрес (байты в свою очередь состоят из неадресуемых битов). Целые типы ограничены (конечное множество значений), указатель отождествляется с адресом, постулируется возможность хранить адрес в целочисленной переменной (int или long — зависит от реализации), откуда следует ограниченность множества значений указателей, а стало быть, и ограниченность адресного пространства C-машины. То есть язык C, как и язык ассемблера, ориентирован на архитектуру с конечной памятью. Файл не является типом данных языка C, в отличие от Паскаля. Это вещь из окружения, для работы с которой есть операции над потоками в виде набора библиотечных функций. Тип fpos_t, принятый в стандарте C для позиционирования файлов, постулируется как «отличный от массива тип данных (object type)». Следовательно, множество значений этого типа конечно, а значит, максимальная длина файла в языке C ограничена сверху.

===SQL===

Сам по себе SQL никогда не считался полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр., например, с помощью PostgreSQL<ref>[http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf High Performance with PostgreSQL 8.4]</ref>. Более того, на в 2011 г. Habrahabr появилась статья, где показана машина Тьюринга на SQL<ref>[https://habrahabr.ru/post/113165/|Машина Тьюринга на чистом SQL]</ref> (в реализации Firebird 2.1, который ограничивает вложенность рекурсивных запросов до 2014 уровней). Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time.

===HTML===

HTML можно назвать языком программирования только в контексте формальной полемики. На деле он является языком гипертекстовой разметки и ни чем больше. Т. е. на HTML можно совершить только некоторую ограниченную совокупность действий, интерпретируемых браузером, однако никто не запрещает сделать язык, идентичный по синтаксису с HTML, но интерпретируемый совершенно по другому таким образом, чтобы он был полным по Тьюрингу.

===Некоторые другие ЯП===

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Название языка'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Год изобретения'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Зависимость от архитектуры процессора'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1972
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Процедурный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| зав. от ISO
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C++
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1983
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Мультипарадигменный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий/Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Язык Ассемблера
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1950
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Полнофункциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| SQL
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1989
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Haskell
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1990
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| HTML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1986
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| CSS
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1996
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Java
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1965
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Python
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1991
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| XML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1998
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Brainfuck
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1993
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Whitespace
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 2003
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да

|}

==Интересные случаи полноты по Тьюрингу==

===Шаблоны C++===

Шаблоны C++ позволяют производить сложные вычисления ещё на стадии компиляции программы. Впервые это было продемонстрировано Эрвином Унрухом, который реализовал рекурсивный алгоритм распознавания простых чисел в процессе компиляции. Позже в статье Университета Индиана было продемонстрировано кодирование машины Тьюринга в шаблонах C++<ref>[http://web.archive.org/web/20131101122512/http://ubietylab.net/ubigraph/content/Papers/pdf/CppTuring.pdf C++ Templates are Turing-complete]</ref>.

===Java Generics===

Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>.

===URISC===

'''URISC''' (от англ. ''Ultimate RISC'') — предельный случай процессора типа RISC (буквально: компьютер с предельно сокращённым набором инструкций), который умеет выполнять одну-единственную инструкцию. Обычно это «вычесть и пропустить следующую инструкцию, если вычитаемое было больше уменьшаемого» (англ. ''«reverse-subtract and skip if borrow»''). Аналогичная концепция, основанная именно на «вычесть и перейти, если результат не положительный» (англ. ''«subtract and branch unless positive»''), называется '''SUBLEQ'''.

'''URISC''' также известен в современной литературе как '''OISC''' (англ. One Instruction Set Computer) и является полным по Тьюрингу.

===mov===

Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций <tex>\mathrm {mov}</tex><ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>.

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы GCC]]
|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы M/o/Vfuscator]]
|}

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:Demo_mov.gif|thumb|500px|left|Простые числа с использованием одной инструкции]]
|}

===HTML5 + CSS3===

Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным.

===Excel===

Excel имеет свой скриптовый язык. Однако, для кодирования Машины Тьюринга в таблице Excel достаточно использование только формул<ref>[http://www.felienne.com/archives/2974 Excel Turing Machine]</ref>.

===Тьюринг-полнота в играх===

* Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>. Возможно, достижение Тьюринг-полноты в игре-песочнице с возможностью создания логических элементов было неизбежным, но сложность компьютеров, собираемых из блоков в данной игре, достойна внимания.

* Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>. Некоторые элементы игры представляют из себя ничто иное, как небольшие клеточные автоматы, которые можно запрограммировать.

* Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>. Умелое обращение с багами игры позволяет сделать в ней буквально всё, что позволяет 2d-пространство Nintendo.

* [[Неразрешимость игры Braid|Braid]].

==Тьюринговская трясина==

'''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики.

Первыми представителями «трясины» были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга.

Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace).

==Теорема Геделя о неполноте==
{{Теорема
|statement= Любая непротиворечивая формальная система аксиом <tex>T</tex>, способная выражать утверждения о натуральных числах и доказывать простые арифметические факты, неполна {{---}} существуют утверждения о натуральных числах, которые она не может ни доказать, ни опровергнуть.
|proof= Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться проблемой остановки машины Тьюринга (доказанной Аланом Тьюрингом в 1936).
{{Теорема
|statement= Для данной машины Тьюринга и входных данных для нее невозможно определить, остановиться ли она когда-либо (запущенная на этих данных) или нет
}}
# Предположим, что система <tex>T</tex> еще и корректна (доказывает только истинные условия).
# Предположим, что система <tex>T</tex> полна, т.е. доказывает или опровергает любое утверждение.
# Сформулируем и запишем на языке арифметики утверждение <tex>O</tex> = "машина Тьюринга <tex>M</tex> точно остановится, если запустить ее с данными <tex>D</tex>"
}}

==См. также==

* [[Машина Тьюринга]]

* [[Лямбда-исчисление]]

* [[Игра «Жизнь»]]

* [[Busy beaver]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==

* [http://wiki.c2.com/?TuringComplete Cunningham & Cunningham, Inc. — Turing Complete]

* [http://softwareengineering.stackexchange.com/questions/132385/what-makes-a-language-turing-complete Stackexchange — What makes a language Turing-complete?]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%80%D1%8F%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия — Тьюринговская трясина]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83 Википедия — Полнота по Тьюрингу]

* [http://cmcmsu.no-ip.info/download/alg.lang.completeness.pdf А. А. Вылиток. Об алгоритмической полноте некоторых языков программирования]

* [http://ethclassic.ru/2016/10/21/turing-completeness-reality/ «Умные контракты»: полнота по Тьюрингу и реальность]

* [http://habrahabr.ru/post/231897/ Хабрахабр — Является ли HTML языком программирования?]

* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/URISC Википедия — URISC]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
[[Категория: Машина Тьюринга]]

Тьюринг-полнота

2019-03-19T21:08:53Z

217.66.156.73: /* Теорема Геделя о неполноте */

==Введение==
{{Определение
|definition =
Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''' (англ. ''Turing-equivalent''), если оно может эмулировать [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]].
}}
{{Определение
|definition =
Задача называется '''Тьюринг-полной''' (англ. ''Turing-complete''), если её можно решить, используя только машину Тьюринга или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной.
}}

Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.

В теории вычислимости ''исполнитель'' (множество вычисляющих элементов) называется '''Тьюринг-полным''', если на нём можно реализовать любую вычислимую функцию. Другими словами, для каждой вычислимой функции существует вычисляющий её элемент (например, машина Тьюринга) или программа для исполнителя, а все функции, вычисляемые множеством вычислителей, являются вычислимыми функциями (возможно, при некотором кодировании входных и выходных данных).

Любой полный по Тьюрингу язык достаточно универсален, чтобы иметь возможность имитировать любой другой язык (хотя и с потенциальным замедлением в работе). Такие языки эквивалентны в рамках вычислений, которые могут произвести. Полные по Тьюрингу языки настолько распространены, что их можно обнаружить даже в примитивных на первый взгляд системах, например, [[Линейный клеточный автомат, эквивалентность МТ | клеточных автоматах]] или мозаичных системах.

На практике полнота по Тьюрингу похожа на идеализацию. Компьютеры имеют ограниченное количество памяти, а неограниченная по времени их работа может быть прервана физическим воздействием (выключение, поломка), что как бы ограничивает число задач, которые они могут решить. На самом деле, физические ограничения в контексте Тьюринг-полноты не берутся во внимание: Тьюринг-полный исполнитель не должен быть ограничен по времени и памяти лишь самим исполнителем.

==Критерии Тьюринг-полноты==

Если на языке программирования можно реализовать машину Тьюринга, то такой язык Тьюринг-полон, и наоборот. Возможность реализации машины Тьюринга на конкретном языке программирования можно ''грубо'' описать как перечень требований, которым этот язык должен для этого удовлетворять:

* Конечность (нет бесконечных символьных множеств и пр.).

* Фиксированное описание (формальность<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Формальный язык]</ref>).

* Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду неограниченная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть ''"always big enough"''.

* Неограниченность времени выполнения — любая программа в должна иметь возможность работать до тех пор, пока не завершится.

* Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия).

* Наличие циклов <tex>{\bf while}</tex> с прерыванием или эквивалентных им конструкций.

* Возможность останавливать выполнение (''halt'') или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения.

* Представление множества натуральных чисел, понятие нуля и следующего числа. Возможны другие подобные системы.

* Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без формальных ограничений в объёме. Очевидно, что если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным.

==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования==

Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить на нём интерпретатор Тьюринг-полного языка.

===Assembly language===

Язык Ассемблера достаточно примитивен относительно языков программирования высокого уровня: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и любые высокоуровневые языки программирования.

Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так:

ADDS r0, r0, #1 ; сдвиг ленты вправо
ADDS r0, r0, #-1 ; сдвиг ленты влево
ADDS [r0], [r0], #1 ; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты
ADDS [r0], [r0], #-1 ; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты

И далее использовать инструкцию <tex>\mathrm{BEQ}</tex> или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление.

===Pascal===

Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором <tex>\mathrm{new}</tex>, семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списков
можно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.
В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal.

===C===

В языке C нет высокоуровневого понятия переменной (в смысле Паскаля), есть объекты (object), хранящиеся в памяти как последовательно расположенные байты,имеющие адрес (байты в свою очередь состоят из неадресуемых битов). Целые типы ограничены (конечное множество значений), указатель отождествляется с адресом, постулируется возможность хранить адрес в целочисленной переменной (int или long — зависит от реализации), откуда следует ограниченность множества значений указателей, а стало быть, и ограниченность адресного пространства C-машины. То есть язык C, как и язык ассемблера, ориентирован на архитектуру с конечной памятью. Файл не является типом данных языка C, в отличие от Паскаля. Это вещь из окружения, для работы с которой есть операции над потоками в виде набора библиотечных функций. Тип fpos_t, принятый в стандарте C для позиционирования файлов, постулируется как «отличный от массива тип данных (object type)». Следовательно, множество значений этого типа конечно, а значит, максимальная длина файла в языке C ограничена сверху.

===SQL===

Сам по себе SQL никогда не считался полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр., например, с помощью PostgreSQL<ref>[http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf High Performance with PostgreSQL 8.4]</ref>. Более того, на в 2011 г. Habrahabr появилась статья, где показана машина Тьюринга на SQL<ref>[https://habrahabr.ru/post/113165/|Машина Тьюринга на чистом SQL]</ref> (в реализации Firebird 2.1, который ограничивает вложенность рекурсивных запросов до 2014 уровней). Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time.

===HTML===

HTML можно назвать языком программирования только в контексте формальной полемики. На деле он является языком гипертекстовой разметки и ни чем больше. Т. е. на HTML можно совершить только некоторую ограниченную совокупность действий, интерпретируемых браузером, однако никто не запрещает сделать язык, идентичный по синтаксису с HTML, но интерпретируемый совершенно по другому таким образом, чтобы он был полным по Тьюрингу.

===Некоторые другие ЯП===

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Название языка'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Год изобретения'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Зависимость от архитектуры процессора'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1972
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Процедурный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| зав. от ISO
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C++
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1983
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Мультипарадигменный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий/Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Язык Ассемблера
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1950
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Полнофункциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| SQL
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1989
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Haskell
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1990
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| HTML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1986
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| CSS
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1996
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Java
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1965
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Python
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1991
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| XML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1998
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Brainfuck
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1993
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Whitespace
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 2003
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да

|}

==Интересные случаи полноты по Тьюрингу==

===Шаблоны C++===

Шаблоны C++ позволяют производить сложные вычисления ещё на стадии компиляции программы. Впервые это было продемонстрировано Эрвином Унрухом, который реализовал рекурсивный алгоритм распознавания простых чисел в процессе компиляции. Позже в статье Университета Индиана было продемонстрировано кодирование машины Тьюринга в шаблонах C++<ref>[http://web.archive.org/web/20131101122512/http://ubietylab.net/ubigraph/content/Papers/pdf/CppTuring.pdf C++ Templates are Turing-complete]</ref>.

===Java Generics===

Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>.

===URISC===

'''URISC''' (от англ. ''Ultimate RISC'') — предельный случай процессора типа RISC (буквально: компьютер с предельно сокращённым набором инструкций), который умеет выполнять одну-единственную инструкцию. Обычно это «вычесть и пропустить следующую инструкцию, если вычитаемое было больше уменьшаемого» (англ. ''«reverse-subtract and skip if borrow»''). Аналогичная концепция, основанная именно на «вычесть и перейти, если результат не положительный» (англ. ''«subtract and branch unless positive»''), называется '''SUBLEQ'''.

'''URISC''' также известен в современной литературе как '''OISC''' (англ. One Instruction Set Computer) и является полным по Тьюрингу.

===mov===

Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций <tex>\mathrm {mov}</tex><ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>.

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы GCC]]
|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы M/o/Vfuscator]]
|}

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:Demo_mov.gif|thumb|500px|left|Простые числа с использованием одной инструкции]]
|}

===HTML5 + CSS3===

Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным.

===Excel===

Excel имеет свой скриптовый язык. Однако, для кодирования Машины Тьюринга в таблице Excel достаточно использование только формул<ref>[http://www.felienne.com/archives/2974 Excel Turing Machine]</ref>.

===Тьюринг-полнота в играх===

* Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>. Возможно, достижение Тьюринг-полноты в игре-песочнице с возможностью создания логических элементов было неизбежным, но сложность компьютеров, собираемых из блоков в данной игре, достойна внимания.

* Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>. Некоторые элементы игры представляют из себя ничто иное, как небольшие клеточные автоматы, которые можно запрограммировать.

* Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>. Умелое обращение с багами игры позволяет сделать в ней буквально всё, что позволяет 2d-пространство Nintendo.

* [[Неразрешимость игры Braid|Braid]].

==Тьюринговская трясина==

'''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики.

Первыми представителями «трясины» были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга.

Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace).

==Теорема Геделя о неполноте==
{{Теорема
|statement= Любая непротиворечивая формальная система аксиом <tex>T</tex>, способная выражать утверждения о натуральных числах и доказывать простые арифметические факты, неполна {{---}} существуют утверждения о натуральных числах, которые она не может ни доказать, ни опровергнуть.
|proof= Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться проблемой остановки машины Тьюринга (доказанной Аланом Тьюрингом в 1936).
{{Теорема
|statement= Для данной машины Тьюринга и входных данных для нее невозможно определить, остановиться ли она когда-либо (запущенная на этих данных) или нет
}}
}}

==См. также==

* [[Машина Тьюринга]]

* [[Лямбда-исчисление]]

* [[Игра «Жизнь»]]

* [[Busy beaver]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==

* [http://wiki.c2.com/?TuringComplete Cunningham & Cunningham, Inc. — Turing Complete]

* [http://softwareengineering.stackexchange.com/questions/132385/what-makes-a-language-turing-complete Stackexchange — What makes a language Turing-complete?]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%80%D1%8F%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия — Тьюринговская трясина]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83 Википедия — Полнота по Тьюрингу]

* [http://cmcmsu.no-ip.info/download/alg.lang.completeness.pdf А. А. Вылиток. Об алгоритмической полноте некоторых языков программирования]

* [http://ethclassic.ru/2016/10/21/turing-completeness-reality/ «Умные контракты»: полнота по Тьюрингу и реальность]

* [http://habrahabr.ru/post/231897/ Хабрахабр — Является ли HTML языком программирования?]

* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/URISC Википедия — URISC]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
[[Категория: Машина Тьюринга]]

Тьюринг-полнота

2019-03-19T21:04:02Z

217.66.156.73: /* Доказательство теоремы Геделя о неполноте */

==Введение==
{{Определение
|definition =
Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''' (англ. ''Turing-equivalent''), если оно может эмулировать [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]].
}}
{{Определение
|definition =
Задача называется '''Тьюринг-полной''' (англ. ''Turing-complete''), если её можно решить, используя только машину Тьюринга или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной.
}}

Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.

В теории вычислимости ''исполнитель'' (множество вычисляющих элементов) называется '''Тьюринг-полным''', если на нём можно реализовать любую вычислимую функцию. Другими словами, для каждой вычислимой функции существует вычисляющий её элемент (например, машина Тьюринга) или программа для исполнителя, а все функции, вычисляемые множеством вычислителей, являются вычислимыми функциями (возможно, при некотором кодировании входных и выходных данных).

Любой полный по Тьюрингу язык достаточно универсален, чтобы иметь возможность имитировать любой другой язык (хотя и с потенциальным замедлением в работе). Такие языки эквивалентны в рамках вычислений, которые могут произвести. Полные по Тьюрингу языки настолько распространены, что их можно обнаружить даже в примитивных на первый взгляд системах, например, [[Линейный клеточный автомат, эквивалентность МТ | клеточных автоматах]] или мозаичных системах.

На практике полнота по Тьюрингу похожа на идеализацию. Компьютеры имеют ограниченное количество памяти, а неограниченная по времени их работа может быть прервана физическим воздействием (выключение, поломка), что как бы ограничивает число задач, которые они могут решить. На самом деле, физические ограничения в контексте Тьюринг-полноты не берутся во внимание: Тьюринг-полный исполнитель не должен быть ограничен по времени и памяти лишь самим исполнителем.

==Критерии Тьюринг-полноты==

Если на языке программирования можно реализовать машину Тьюринга, то такой язык Тьюринг-полон, и наоборот. Возможность реализации машины Тьюринга на конкретном языке программирования можно ''грубо'' описать как перечень требований, которым этот язык должен для этого удовлетворять:

* Конечность (нет бесконечных символьных множеств и пр.).

* Фиксированное описание (формальность<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Формальный язык]</ref>).

* Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду неограниченная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть ''"always big enough"''.

* Неограниченность времени выполнения — любая программа в должна иметь возможность работать до тех пор, пока не завершится.

* Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия).

* Наличие циклов <tex>{\bf while}</tex> с прерыванием или эквивалентных им конструкций.

* Возможность останавливать выполнение (''halt'') или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения.

* Представление множества натуральных чисел, понятие нуля и следующего числа. Возможны другие подобные системы.

* Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без формальных ограничений в объёме. Очевидно, что если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным.

==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования==

Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить на нём интерпретатор Тьюринг-полного языка.

===Assembly language===

Язык Ассемблера достаточно примитивен относительно языков программирования высокого уровня: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и любые высокоуровневые языки программирования.

Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так:

ADDS r0, r0, #1 ; сдвиг ленты вправо
ADDS r0, r0, #-1 ; сдвиг ленты влево
ADDS [r0], [r0], #1 ; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты
ADDS [r0], [r0], #-1 ; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты

И далее использовать инструкцию <tex>\mathrm{BEQ}</tex> или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление.

===Pascal===

Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором <tex>\mathrm{new}</tex>, семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списков
можно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.
В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal.

===C===

В языке C нет высокоуровневого понятия переменной (в смысле Паскаля), есть объекты (object), хранящиеся в памяти как последовательно расположенные байты,имеющие адрес (байты в свою очередь состоят из неадресуемых битов). Целые типы ограничены (конечное множество значений), указатель отождествляется с адресом, постулируется возможность хранить адрес в целочисленной переменной (int или long — зависит от реализации), откуда следует ограниченность множества значений указателей, а стало быть, и ограниченность адресного пространства C-машины. То есть язык C, как и язык ассемблера, ориентирован на архитектуру с конечной памятью. Файл не является типом данных языка C, в отличие от Паскаля. Это вещь из окружения, для работы с которой есть операции над потоками в виде набора библиотечных функций. Тип fpos_t, принятый в стандарте C для позиционирования файлов, постулируется как «отличный от массива тип данных (object type)». Следовательно, множество значений этого типа конечно, а значит, максимальная длина файла в языке C ограничена сверху.

===SQL===

Сам по себе SQL никогда не считался полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр., например, с помощью PostgreSQL<ref>[http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf High Performance with PostgreSQL 8.4]</ref>. Более того, на в 2011 г. Habrahabr появилась статья, где показана машина Тьюринга на SQL<ref>[https://habrahabr.ru/post/113165/|Машина Тьюринга на чистом SQL]</ref> (в реализации Firebird 2.1, который ограничивает вложенность рекурсивных запросов до 2014 уровней). Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time.

===HTML===

HTML можно назвать языком программирования только в контексте формальной полемики. На деле он является языком гипертекстовой разметки и ни чем больше. Т. е. на HTML можно совершить только некоторую ограниченную совокупность действий, интерпретируемых браузером, однако никто не запрещает сделать язык, идентичный по синтаксису с HTML, но интерпретируемый совершенно по другому таким образом, чтобы он был полным по Тьюрингу.

===Некоторые другие ЯП===

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Название языка'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Год изобретения'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Зависимость от архитектуры процессора'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1972
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Процедурный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| зав. от ISO
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C++
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1983
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Мультипарадигменный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий/Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Язык Ассемблера
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1950
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Полнофункциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| SQL
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1989
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Haskell
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1990
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| HTML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1986
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| CSS
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1996
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Java
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1965
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Python
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1991
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| XML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1998
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Brainfuck
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1993
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Whitespace
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 2003
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да

|}

==Интересные случаи полноты по Тьюрингу==

===Шаблоны C++===

Шаблоны C++ позволяют производить сложные вычисления ещё на стадии компиляции программы. Впервые это было продемонстрировано Эрвином Унрухом, который реализовал рекурсивный алгоритм распознавания простых чисел в процессе компиляции. Позже в статье Университета Индиана было продемонстрировано кодирование машины Тьюринга в шаблонах C++<ref>[http://web.archive.org/web/20131101122512/http://ubietylab.net/ubigraph/content/Papers/pdf/CppTuring.pdf C++ Templates are Turing-complete]</ref>.

===Java Generics===

Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>.

===URISC===

'''URISC''' (от англ. ''Ultimate RISC'') — предельный случай процессора типа RISC (буквально: компьютер с предельно сокращённым набором инструкций), который умеет выполнять одну-единственную инструкцию. Обычно это «вычесть и пропустить следующую инструкцию, если вычитаемое было больше уменьшаемого» (англ. ''«reverse-subtract and skip if borrow»''). Аналогичная концепция, основанная именно на «вычесть и перейти, если результат не положительный» (англ. ''«subtract and branch unless positive»''), называется '''SUBLEQ'''.

'''URISC''' также известен в современной литературе как '''OISC''' (англ. One Instruction Set Computer) и является полным по Тьюрингу.

===mov===

Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций <tex>\mathrm {mov}</tex><ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>.

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы GCC]]
|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы M/o/Vfuscator]]
|}

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:Demo_mov.gif|thumb|500px|left|Простые числа с использованием одной инструкции]]
|}

===HTML5 + CSS3===

Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным.

===Excel===

Excel имеет свой скриптовый язык. Однако, для кодирования Машины Тьюринга в таблице Excel достаточно использование только формул<ref>[http://www.felienne.com/archives/2974 Excel Turing Machine]</ref>.

===Тьюринг-полнота в играх===

* Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>. Возможно, достижение Тьюринг-полноты в игре-песочнице с возможностью создания логических элементов было неизбежным, но сложность компьютеров, собираемых из блоков в данной игре, достойна внимания.

* Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>. Некоторые элементы игры представляют из себя ничто иное, как небольшие клеточные автоматы, которые можно запрограммировать.

* Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>. Умелое обращение с багами игры позволяет сделать в ней буквально всё, что позволяет 2d-пространство Nintendo.

* [[Неразрешимость игры Braid|Braid]].

==Тьюринговская трясина==

'''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики.

Первыми представителями «трясины» были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга.

Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace).

==Теорема Геделя о неполноте==
{{Теорема
|statement= Любая непротиворечивая формальная система аксиом <tex>T</tex>, способная выражать утверждения о натуральных числах и доказывать простые арифметические факты, неполна {{---}} существуют утверждения о натуральных числах, которые она не может ни доказать, ни опровергнуть.
}}

==См. также==

* [[Машина Тьюринга]]

* [[Лямбда-исчисление]]

* [[Игра «Жизнь»]]

* [[Busy beaver]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==

* [http://wiki.c2.com/?TuringComplete Cunningham & Cunningham, Inc. — Turing Complete]

* [http://softwareengineering.stackexchange.com/questions/132385/what-makes-a-language-turing-complete Stackexchange — What makes a language Turing-complete?]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%80%D1%8F%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия — Тьюринговская трясина]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83 Википедия — Полнота по Тьюрингу]

* [http://cmcmsu.no-ip.info/download/alg.lang.completeness.pdf А. А. Вылиток. Об алгоритмической полноте некоторых языков программирования]

* [http://ethclassic.ru/2016/10/21/turing-completeness-reality/ «Умные контракты»: полнота по Тьюрингу и реальность]

* [http://habrahabr.ru/post/231897/ Хабрахабр — Является ли HTML языком программирования?]

* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/URISC Википедия — URISC]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
[[Категория: Машина Тьюринга]]

Тьюринг-полнота

2019-03-19T20:59:29Z

217.66.156.73:

==Введение==
{{Определение
|definition =
Вычислительное устройство является '''Тьюринг-эквивалентным''' (англ. ''Turing-equivalent''), если оно может эмулировать [[Машина Тьюринга|машину Тьюринга]].
}}
{{Определение
|definition =
Задача называется '''Тьюринг-полной''' (англ. ''Turing-complete''), если её можно решить, используя только машину Тьюринга или любую систему, являющуюся Тьюринг-эквивалентной.
}}

Зачастую Тьюринг-эквивалентные языки программирования называют Тьюринг-полными.

В теории вычислимости ''исполнитель'' (множество вычисляющих элементов) называется '''Тьюринг-полным''', если на нём можно реализовать любую вычислимую функцию. Другими словами, для каждой вычислимой функции существует вычисляющий её элемент (например, машина Тьюринга) или программа для исполнителя, а все функции, вычисляемые множеством вычислителей, являются вычислимыми функциями (возможно, при некотором кодировании входных и выходных данных).

Любой полный по Тьюрингу язык достаточно универсален, чтобы иметь возможность имитировать любой другой язык (хотя и с потенциальным замедлением в работе). Такие языки эквивалентны в рамках вычислений, которые могут произвести. Полные по Тьюрингу языки настолько распространены, что их можно обнаружить даже в примитивных на первый взгляд системах, например, [[Линейный клеточный автомат, эквивалентность МТ | клеточных автоматах]] или мозаичных системах.

На практике полнота по Тьюрингу похожа на идеализацию. Компьютеры имеют ограниченное количество памяти, а неограниченная по времени их работа может быть прервана физическим воздействием (выключение, поломка), что как бы ограничивает число задач, которые они могут решить. На самом деле, физические ограничения в контексте Тьюринг-полноты не берутся во внимание: Тьюринг-полный исполнитель не должен быть ограничен по времени и памяти лишь самим исполнителем.

==Критерии Тьюринг-полноты==

Если на языке программирования можно реализовать машину Тьюринга, то такой язык Тьюринг-полон, и наоборот. Возможность реализации машины Тьюринга на конкретном языке программирования можно ''грубо'' описать как перечень требований, которым этот язык должен для этого удовлетворять:

* Конечность (нет бесконечных символьных множеств и пр.).

* Фиксированное описание (формальность<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Формальный язык]</ref>).

* Всегда достаточный объём доступной памяти — в идеале здесь имеется в виду неограниченная память, однако физические рамки не позволяют сделать память ЭВМ бесконечной, поэтому она просто должна быть ''"always big enough"''.

* Неограниченность времени выполнения — любая программа в должна иметь возможность работать до тех пор, пока не завершится.

* Возможность функциональной композиции (вызов одной функции из другой, рекурсия).

* Наличие циклов <tex>{\bf while}</tex> с прерыванием или эквивалентных им конструкций.

* Возможность останавливать выполнение (''halt'') или каким-то образом подавать сигнал о результатах выполнения.

* Представление множества натуральных чисел, понятие нуля и следующего числа. Возможны другие подобные системы.

* Поддержка входных и выходных данных (I/O), причём без формальных ограничений в объёме. Очевидно, что если любая программа, написанная на каком-то языке программирования, принимает на вход не более фиксированного n бит данных и возвращает не более n бит, этот язык не может быть Тьюринг-полным.

==Тьюринг-полнота и неполнота некоторых языков программирования==

Доказать Тьюринг-полноту языка программирования можно, предложив способ реализации машины Тьюринга на этом языке. Кроме того, можно предложить на нём интерпретатор Тьюринг-полного языка.

===Assembly language===

Язык Ассемблера достаточно примитивен относительно языков программирования высокого уровня: он рассчитан на архитектуру с конечной памятью и работает с конечным набором регистров. Однако, не был бы он полным по Тьюрингу, не были бы Тьюринг-полны и любые высокоуровневые языки программирования.

Всё необходимое для машины Тьюринга на asm можно сделать примерно так:

ADDS r0, r0, #1 ; сдвиг ленты вправо
ADDS r0, r0, #-1 ; сдвиг ленты влево
ADDS [r0], [r0], #1 ; инкремент значения, на которое "указывает" головка ленты
ADDS [r0], [r0], #-1 ; декремент значения, на которое "указывает" головка ленты

И далее использовать инструкцию <tex>\mathrm{BEQ}</tex> или ей подобную, чтобы выполнять определённую последовательность команд при определённом текущем значении, таким образом обеспечив ветвление.

===Pascal===

Язык Pascal позволяет смоделировать ленту машины Тьюринга с помощью двунаправленного списка из переменных, создаваемых оператором <tex>\mathrm{new}</tex>, семантика которого не предполагает отказа в создании переменной. Также с помощью списков
можно смоделировать сколь угодно большие числа. Стандарт не накладывает никаких ограничений: указательный тип абстрактен, множество значений указательного типа языком не ограничено.
В Паскале есть еще один тип данных с неограниченным множеством значений, файловый, также пригодный для моделирования ленты машины Тьюринга и представления больших чисел. Достаточно утверждений для очевидности Тьюринг-полноты языка Pascal.

===C===

В языке C нет высокоуровневого понятия переменной (в смысле Паскаля), есть объекты (object), хранящиеся в памяти как последовательно расположенные байты,имеющие адрес (байты в свою очередь состоят из неадресуемых битов). Целые типы ограничены (конечное множество значений), указатель отождествляется с адресом, постулируется возможность хранить адрес в целочисленной переменной (int или long — зависит от реализации), откуда следует ограниченность множества значений указателей, а стало быть, и ограниченность адресного пространства C-машины. То есть язык C, как и язык ассемблера, ориентирован на архитектуру с конечной памятью. Файл не является типом данных языка C, в отличие от Паскаля. Это вещь из окружения, для работы с которой есть операции над потоками в виде набора библиотечных функций. Тип fpos_t, принятый в стандарте C для позиционирования файлов, постулируется как «отличный от массива тип данных (object type)». Следовательно, множество значений этого типа конечно, а значит, максимальная длина файла в языке C ограничена сверху.

===SQL===

Сам по себе SQL никогда не считался полным по Тьюрингу языком. Однако, у него существует множество расширений, позволяющих делать рекурсивные запросы, циклы, списки, деревья и пр., например, с помощью PostgreSQL<ref>[http://assets.en.oreilly.com/1/event/27/High%20Performance%20SQL%20with%20PostgreSQL%20Presentation.pdf High Performance with PostgreSQL 8.4]</ref>. Более того, на в 2011 г. Habrahabr появилась статья, где показана машина Тьюринга на SQL<ref>[https://habrahabr.ru/post/113165/|Машина Тьюринга на чистом SQL]</ref> (в реализации Firebird 2.1, который ограничивает вложенность рекурсивных запросов до 2014 уровней). Тем не менее, всё ещё остаётся ограниченное query execution time.

===HTML===

HTML можно назвать языком программирования только в контексте формальной полемики. На деле он является языком гипертекстовой разметки и ни чем больше. Т. е. на HTML можно совершить только некоторую ограниченную совокупность действий, интерпретируемых браузером, однако никто не запрещает сделать язык, идентичный по синтаксису с HTML, но интерпретируемый совершенно по другому таким образом, чтобы он был полным по Тьюрингу.

===Некоторые другие ЯП===

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Название языка'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Год изобретения'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Парадигма'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Уровень'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Зависимость от архитектуры процессора'''
!style="background-color:#EEE;padding:2px 8px"| '''Полнота по Тьюрингу'''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1972
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Процедурный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| зав. от ISO
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| C++
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1983
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Мультипарадигменный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий/Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Язык Ассемблера
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1950
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Полнофункциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| SQL
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1989
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Haskell
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1990
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Функциональный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| HTML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1986
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| CSS
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1996
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Java
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1995
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| JavaScript
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1965
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Python
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1991
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Объектно-ориентированный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| XML
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1998
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Декларативный
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Высокий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Нет
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Brainfuck
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 1993
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Whitespace
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| 2003
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Эзотерический
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Низкий
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да
|style="background-color:#FFF;padding:2px 8px"| Да

|}

==Интересные случаи полноты по Тьюрингу==

===Шаблоны C++===

Шаблоны C++ позволяют производить сложные вычисления ещё на стадии компиляции программы. Впервые это было продемонстрировано Эрвином Унрухом, который реализовал рекурсивный алгоритм распознавания простых чисел в процессе компиляции. Позже в статье Университета Индиана было продемонстрировано кодирование машины Тьюринга в шаблонах C++<ref>[http://web.archive.org/web/20131101122512/http://ubietylab.net/ubigraph/content/Papers/pdf/CppTuring.pdf C++ Templates are Turing-complete]</ref>.

===Java Generics===

Аналогично C++ Templates, Generics, несмотря на свои отличия, тоже оказались полными по Тьюрингу, что было подтверждено Раду Григор в одной из статей Кентского Университета<ref>[http://arxiv.org/pdf/1605.05274.pdf Java Generics are Turing-complete]</ref>.

===URISC===

'''URISC''' (от англ. ''Ultimate RISC'') — предельный случай процессора типа RISC (буквально: компьютер с предельно сокращённым набором инструкций), который умеет выполнять одну-единственную инструкцию. Обычно это «вычесть и пропустить следующую инструкцию, если вычитаемое было больше уменьшаемого» (англ. ''«reverse-subtract and skip if borrow»''). Аналогичная концепция, основанная именно на «вычесть и перейти, если результат не положительный» (англ. ''«subtract and branch unless positive»''), называется '''SUBLEQ'''.

'''URISC''' также известен в современной литературе как '''OISC''' (англ. One Instruction Set Computer) и является полным по Тьюрингу.

===mov===

Утилита M/o/Vfuscator превращает любую программу на языке C в огромную последовательность из инструкций <tex>\mathrm {mov}</tex><ref>[https://github.com/xoreaxeaxeax/movfuscator M/o/Vfuscator]</ref>.

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:gcc_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы GCC]]
|[[Файл:mov_asm.png|400px|thumb|left|Результат работы M/o/Vfuscator]]
|}

{| cellpadding="0" style= align="left";
|[[Файл:Demo_mov.gif|thumb|500px|left|Простые числа с использованием одной инструкции]]
|}

===HTML5 + CSS3===

Нововведения новых версий HTML/CSS позволяют построить<ref>[http://eli.fox-epste.in/rule110-full.html Rule 110]</ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 правило 110], которое является Тьюринг-полным.

===Excel===

Excel имеет свой скриптовый язык. Однако, для кодирования Машины Тьюринга в таблице Excel достаточно использование только формул<ref>[http://www.felienne.com/archives/2974 Excel Turing Machine]</ref>.

===Тьюринг-полнота в играх===

* Minecraft<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=7sNge0Ywz-M|Demonstrating the CPU. Then coughing a lot. Sorry about that. I may be dying.]</ref>. Возможно, достижение Тьюринг-полноты в игре-песочнице с возможностью создания логических элементов было неизбежным, но сложность компьютеров, собираемых из блоков в данной игре, достойна внимания.

* Little Big Planet<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=13GOFa1C4e4| LittleBigLife — The Game of Life in LittleBigPlanet]</ref>. Некоторые элементы игры представляют из себя ничто иное, как небольшие клеточные автоматы, которые можно запрограммировать.

* Super Mario World<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hB6eY73sLV0 SNES Code Injection -- Flappy Bird in SMW]</ref>. Умелое обращение с багами игры позволяет сделать в ней буквально всё, что позволяет 2d-пространство Nintendo.

* [[Неразрешимость игры Braid|Braid]].

==Тьюринговская трясина==

'''Тьюринговская трясина''' — жаргонное общее название для языков программирования, которые ''Тьюринг-полны'', но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики.

Первыми представителями «трясины» были ''лямбда-исчисление'', ''комбинаторная логика'' и сама машина Тьюринга.

Многие эзотерические языки программирования также являются «трясинами Тьюринга» (напр. Brainfuck, Spoon, Malbolge, Whitespace).

==Доказательство теоремы Геделя о неполноте==

==См. также==

* [[Машина Тьюринга]]

* [[Лямбда-исчисление]]

* [[Игра «Жизнь»]]

* [[Busy beaver]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==

* [http://wiki.c2.com/?TuringComplete Cunningham & Cunningham, Inc. — Turing Complete]

* [http://softwareengineering.stackexchange.com/questions/132385/what-makes-a-language-turing-complete Stackexchange — What makes a language Turing-complete?]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%80%D1%8F%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия — Тьюринговская трясина]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83 Википедия — Полнота по Тьюрингу]

* [http://cmcmsu.no-ip.info/download/alg.lang.completeness.pdf А. А. Вылиток. Об алгоритмической полноте некоторых языков программирования]

* [http://ethclassic.ru/2016/10/21/turing-completeness-reality/ «Умные контракты»: полнота по Тьюрингу и реальность]

* [http://habrahabr.ru/post/231897/ Хабрахабр — Является ли HTML языком программирования?]

* [http://beza1e1.tuxen.de/articles/accidentally_turing_complete.html Andreas Zwinkau — Accidentially Turing-complete]

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/URISC Википедия — URISC]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
[[Категория: Машина Тьюринга]]