Простейшие методы синтеза схем из функциональных элементов

2013-11-17T20:54:16Z

217.66.158.65: Исправил ошибки

{{Определение

|definition= Синтезом [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов|схемы из функциональных элементов]] называется процедура получения логической схемы, реализующей заданную логическую функцию.
}}

Приведем несколько простейших алгоритмов синтеза схем, реализующих произвольную функцию от <tex> n </tex> аргументов <tex> f(x_{1}, ..., x_{n}) </tex>, в случае когда базис <tex> B = \{\neg, \lor, \land\} </tex>.

==Метод синтеза, основанный на [[СДНФ|совершенной ДНФ]]==

{{Лемма
|id = Lemma1
|about = 1
|statement =
Для любой функции <tex> f(x_{1}, ..., x_{n}) </tex>, реализующей конъюнкцию <tex> n </tex> аргументов, <tex> size_{B}(f)\le 2n-1 </tex>
|proof = [[Файл:Synschemes Lemma1.png|250px|thumb|right|Рис. 1]]
Построим данную схему следующим образом: возьмем <tex> n </tex> элементов отрицания, присоединенных к выходам, и цепочки из элементов конъюнкции, имеющих <tex> n </tex> "свободных" входов.

Если <tex> i </tex>-й множитель равен <tex> x_{i} </tex>, то <tex> i </tex>-й вход этой цепочки присоединяется к входу схемы. А если <tex> i </tex>-й множитель равен <tex> \bar{x}_{i} </tex>,то присоединяется к выходу <tex> i </tex>-го элемента отрицания.(рис. 1)

Очевидно, что сложность построенной схемы <tex> size_{B}(f)= n+n-1 = 2n-1 </tex>.

Поэтому <tex> size_{B}(f)\le 2n-1 </tex>.

Лемма доказана.
}}

{{Теорема
|id = Th1
|about = 1
|statement = Для любой функции <tex> f(x_{1}, ..., x_{n}) </tex> имеет место неравенство <tex> size_{B}(f)\le n2^{n+1} </tex>
|proof = [[Файл:Synschemes Theorem1.png|250px|thumb|right|Рис. 2]]
Пусть <tex> f(x_{1},...,x_{n}) </tex> {{---}} произвольная [[Определение булевой функции|булева функция]].

Если <tex> f = 0 </tex>, то схема строится в соответствии с представлением <tex> 0=x_{1}\wedge\overline{x}_{1} </tex>, то есть <tex> size_{B}(0) \le 2</tex>.

Если <tex> f \ne 0 </tex>, то <tex> f </tex> может быть задана [[ДНФ|дизъюнктивной нормальной формой]]

::<tex> f(x_{1},...,x_{n}) = K_{1} \vee K_{2} \vee ... \vee K_{s} </tex>,

где <tex> s \le 2^{n} </tex> и каждая конъюнкция имеет вид

::<tex> K_{j}=x_{1}\wedge\overline{x}_{2}\wedge{x}_{3}\wedge ... \wedge{x}_{i} </tex>

Схема <tex> S </tex> для <tex> f </tex> состоит из конъюнкций <tex> K_{j} </tex> (каждая из них в соответствии с [[#Lemma1|леммой 1]] имеет сложность не более <tex> 2n-1 </tex>) и цепочки из <tex> s-1 </tex> элемента дизъюнкции с <tex> s </tex> свободными входами. Свободные входы этой цепочки присоединяются к выходам схем для конъюнкций <tex> K_{j} </tex>.(рис. 2) Имеем

::<tex> size_{B}(f)\le s\cdot(2n-1)+s-1 < s\cdot(2n-1)+s = 2ns \le n2^{n+1} </tex>.

Таким образом, для любой функции <tex> f(x_{1},...,x_{n}) </tex> выполняется неравенство

::<tex> size_{B}(f(x_{1},...,x_{n}))\le n2^{n+1} </tex>.

Поэтому <tex> size_{B}(f)\le n2^{n+1} </tex>.

Теорема доказана.

}}

==Метод синтеза, основанный на более компактной реализации множества всех конъюнкций==

{{Определение

|definition= <tex> f(n) \sim g(n) </tex> означает, что <tex>f</tex> асимптотически эквивалентна <tex>g</tex>, то есть <tex>\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} = 1</tex>
}}

{{Определение

|definition= <tex> f(n) \lesssim g(n) </tex> означает, что <tex>\varlimsup\limits_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} \le 1</tex>
}}

{{Лемма
|id = Lemma2
|about = 2
|statement = Для функции <tex> K_{n} </tex>, реализующей конъюнкцию <tex> n </tex> элементов, имеет место соотношение <tex> size_{B}(K_{n}) \sim 2^n </tex>
|proof = [[Файл:Synschemes Lemma2.png|250px|thumb|right|Рис. 3]]
Разделим цепочки конъюнкций на две части. Каждая конъюнкция <tex> x_{1}\wedge\overline{x}_{2}\wedge{x}_{3}\wedge ... \wedge{x}_{i} </tex> может быть представлена в виде конъюнкции двух конъюнкций длины <tex> k </tex> и <tex> n-k </tex>:

::<tex> x_{1}\wedge\overline{x}_{2}\wedge{x}_{3}\wedge ... \wedge{x}_{n} = (x_{1}\wedge\overline{x}_{2}\wedge{x}_{3}\wedge ... \wedge{x}_{k})(x_{k+1}\wedge\overline{x}_{k+2}\wedge{x}_{k+3}\wedge ... \wedge{x}_{n}) </tex>.

Поэтому схема для <tex> K_{n} </tex> может быть образована из схем для <tex> K_{k}(x_{1}\wedge\overline{x}_{2}\wedge{x}_{3}\wedge ... \wedge{x}_{n}) </tex> и <tex> K_{n-k}(x_{k+1}\wedge\overline{x}_{k+2}\wedge{x}_{k+3}\wedge ... \wedge{x}_{n}) </tex> и системы из <tex> 2^n </tex> элементов конъюнкции, осуществляющих вышеприведенную операцию.(рис. 3) Следовательно,

::<tex> size_{B}(K_{n}) \le size_{B}(K_{k}) + size_{B}(K_{n-k}) + 2^n </tex>.

Так как по [[#Th1|теореме 1]] <tex> size_{B}(K_{k}) \le k2^{k+1} </tex> , <tex> size_{B}(K_{n-k}) \le (n-k)2^{n-k+1} </tex>,то

::<tex> size_{B}(K_{n}) \le k2^{k+1} + (n-k)2^{n-k+1} + 2^n </tex>.

Положим <tex> k=[\frac{n}{2}]</tex>. Тогда <tex> k \le \frac{n}{2} </tex>, <tex> n-k \le \frac{n}{2}+1 </tex> и

::<tex> size_{B}(K_{n}) \le \frac{n}{2}2^{\frac{n}{2}+1} + (\frac{n}{2}+1)\frac{n}{2}2^{\frac{n}{2}+2} + 2^n =2^n+O(n2^{\frac{n}{2}})</tex>.

С другой стороны, при <tex> n \ge 2 </tex> каждая конъюнкция реализуется на выходе некоторого элемента, то есть при <tex> n \ge 2 </tex> выполняется неравенство <tex> size_{B}(K_{n}) \ge 2^{n} </tex>. Таким образом,

::<tex> size_{B}(K_{n}) \sim 2^n </tex>.

Лемма доказана.

}}

{{Теорема
|id = Th2
|about = 2
|statement =Для любой функции <tex> f(x_{1}, ..., x_{n}) </tex> имеет место соотношение <tex> size_{B}(f)\lesssim 2^{n+1} </tex>.
|proof = Пусть <tex> f(x_{1},...,x_{n}) </tex> {{---}} произвольная булева функция, <tex> f \ne 0 </tex>. Заменим в схеме (рис. 2) верхнюю часть схемы, реализующую конъюнкции <tex> K_{1} \vee K_{2} \vee ... \vee K_{s} </tex>, схемой, реализующей все конъюнкции из <tex> K_{n} </tex>. Тогда для любой такой функции <tex> f(x_{1},...,x_{n}) </tex> (не равной нулю) имеем

::<tex> size_{B}(f) \le size_{B}(K_{n})+s-1 \le size_{B}(K_{n})+2^{n}-1 \lesssim 2^{n+1} </tex>

Таким образом,

::<tex> size_{B}(f)\lesssim 2^{n+1}. </tex>

Теорема доказана.
}}

==Метод синтеза схем [http://http://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon К.Э.Шеннона]==

{{Теорема
|id = Th3
|about = 3
|statement =Для любой функции <tex> f(x_{1}, ..., x_{n}) </tex> имеет место соотношение <tex> size_{B}(f)\lesssim 12\frac {2^{n}}{n} </tex>.
|proof = [[Файл:Synschemes-Theorem2.png|300px|thumb|right|Рис. 4]]
Пусть <tex> f(x_{1},...,x_{n}) </tex> {{---}} произвольная булева функция. Рассмотрим разложение <tex> f </tex> по переменным <tex> x_{1},...,x_{m} </tex>, где <tex> 1 \le m \le n </tex>:

Введем функцию

<tex> x^{\sigma} = \begin{cases}
x, \sigma =1;\\
\overline{x}, \sigma =0
\end{cases}</tex>

Тогда

<tex>f(x_{1},...,x_{n})=\displaystyle\bigvee_{(\sigma_{1},\dotsc,\sigma_{m})}x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{m}^{\sigma_{m}}\wedge f(\sigma_{1},\dotsc,\sigma_{m},x_{m+1},\dotsc,x_{n}) </tex>. (Дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных <tex> (x_{1},\dotsc,x_{m}) </tex>.

'''Схема для функции <tex> f </tex> строится из трех подсхем: <tex> S_{1},S_{2},S_{3} </tex>. (рис. 4)'''

:1. Схема <tex> S_{1} </tex> реализует все конъюнкции из множества <tex> K_{m} (x_{1},...,x_{m}) </tex>. В силу [[#Lemma2|леммы 2]] выполняется неравенство

::<tex> size_{B}(S_{1}) \le size_{B}(K_{m}) \lesssim 2^{m} </tex>.

:2. Схема <tex> S_{2} </tex> реализует систему <tex> F(x_{m+1},...,x_{n}) </tex> всех булевых функций от переменных <tex> x_{m+1},...,x_{n} </tex>. Другими словами, подсхема <tex> S_{2} </tex> вычисляет все булевы функции, зависящие от последних <tex> n - m </tex> переменных. В силу [[#Th1|теоремы 1]]
::<tex> size_{B}(S_{2}) \le (n-m)2^{n-m+1}2^{2^{n-m}} </tex>.

:3. Схема <tex> S_{3} </tex> производит "сборку" в соответствии с разложением функции <tex> f </tex>: для каждого набора реализуется конъюнкция

::<tex> x_{1}\wedge\overline{x}_{2}\wedge{x}_{3}\wedge ... \wedge{x}_{m}f(x_{m+1}\wedge\overline{x}_{m+2}\wedge{x}_{m+3}\wedge ... \wedge{x}_{n}) </tex> (<tex> 2^{m} </tex> элементов конъюнкции) и образуется дизъюнкция таких конъюнкций (<tex> 2^{m}-1 </tex> элементов дизъюнкции).

Поэтому выполняется неравенство <tex> size_{B}(S_{3}) \le 2^{m} +2^{m} -1 </tex>. Таким образом,

::<tex> size_{B}(f) \le size_{B}(S_{1})+size_{B}(S_{2})+size_{B}(S_{3}) \lesssim 3 \cdot 2^{m} +(n-m)2^{n-m+1}2^{2^{n-m}} </tex>.

Положим (для упрощения дальнейших выкладок) <tex> k=n-m </tex>. Тогда

::<tex> size_{B}(f) \lesssim 3 \cdot 2^{n-k} +k2^{k+1}2^{2^{k}} </tex>.

Заметим, что второе слагаемое "очень быстро" растет с ростом <tex> k </tex>, а первое слагаемое убывает с ростом <tex> k </tex> медленней. Поэтому следует взять такое значение <tex> k </tex>, при котором первое и второе слагаемые приблизительно равны, и потом немного уменьшить <tex> k </tex>. Тогда второе слагаемое "сильно" уменьшится, а первое "не очень сильно" возрастет. Возьмем, например, <tex> k=\log_{2}n </tex>. Тогда

::<tex> 3 \cdot 2^{n-k} = 3 \cdot \frac{2^{n}}{n} </tex>,

::<tex> k \cdot 2^{k+1} \cdot 2^{2^{k}}=\log_{2}n\cdot (2n)\cdot 2^{\frac{n}{2}}</tex>,

то есть получили "слишком много". Возьмем <tex> k </tex> на единицу меньше: <tex> k=\log_{2}n-1 </tex>. Тогда

::<tex> 3 \cdot 2^{n-k} = 3 \cdot \frac{2^{n}}{n} \cdot 2 </tex>,

::<tex> k \cdot 2^{k+1} \cdot 2^{2^{k}}=(\log_{2}n-1)\cdot n\cdot 2^{\frac{n}{2}}</tex>.

Вспомним теперь, что <tex> k </tex> должно быть целым числом, и положим <tex> k=[\log_{2}n-1] </tex>. Тогда
<tex> n-k < n- \log_{2} + 2</tex>,

::<tex> 3 \cdot 2^{n-k} < 12 \cdot \frac {2^{n}}{n} </tex>,

::<tex> k\cdot 2^{k+1}\cdot 2^{2^{k}} \le (\log_{2}-1)\cdot n\cdot 2^{\frac{n}{2}} </tex>.

При этом выборе <tex> k </tex> окончательно имеем

::<tex> size_{B}(n)\lesssim 12\frac {2^{n}}{n} </tex>.

Теорема доказана.}}

== Литература ==
* Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. — 4-е изд. — М.: Высшая школа, 2003. — 384 с. — ISBN 5-06-004681-8

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Схемы из функциональных элементов ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Простейшие методы синтеза схем из функциональных элементов