Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Получение объекта по номеру

2018-11-17T15:04:21Z

217.66.159.194: /* Описание алгоритма */

== Описание алгоритма ==
Получаем элементы объекта по порядку: сначала определим, какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы нашли первые <tex>i</tex> элементов объекта. Для всех вариантов элемента, который может стоять на позиции с номером <tex>i+1</tex>, посчитаем диапазон номеров, который будет соответствовать объектам с данным префиксом. Если искомый номер входит в один из диапазонов, то, очевидно, мы нашли элемент, который должен стоять на месте с номером <tex>i+1</tex>. Диапазоны номеров не пересекаются, значит на это место больше нельзя поставить никакой другой элемент:

*в начале каждого шага <tex>\mathtt{numOfObject}</tex> {{---}} номер нужного объекта среди тех, у которых префикс до <tex>i</tex>-го элемента лексикографически равен префиксу нашего объекта,
*<tex>\mathtt{n}</tex> {{---}} количество мест в комбинаторном объекте (например, битовый вектор длины <tex>n</tex>),
*<tex>\mathtt{k}</tex> {{---}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2</tex>, поскольку возможны только <tex>0</tex> и <tex>1</tex>. Все элементы занумерованы в лексикографическом порядке, начиная с <tex>1</tex>.
Комбинаторные объекты занумерованы с <tex>0</tex>. Переход к нумерации с единицы можно сделать с помощью одной операции декремента перед проходом алгоритма:
'''function''' num2object(numOfObject: '''int'''):
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''for''' j = 1 '''to''' k
'''if''' j-й элемент можно поставить на i-e место
'''if''' numOfObject >= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i)
numOfObject -= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i)
'''else'''
object[i] = j
break
'''return''' object
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Стоит отметить, что подсчет количества комбинаторных объектов с заданным префиксом зачастую является задачей с достаточно большой вычислительной сложностью.
Приведем примеры получения некоторых [[Комбинаторные объекты|комбинаторных объектов]] по номеру.

== Битовые вектора ==
Рассмотрим алгоритм получения <tex>k</tex>-ого в лексикографическом порядке битового вектора размера <tex>n</tex>.
При построении битовых векторов можно не проверять условие возможности постановки какого-то объекта на текущее место. На каждый позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе. Так как у нас всего два возможных элемента, упростим второй цикл до условия:

*<tex>\mathtt{bitvector[n]}</tex> {{---}} искомый битовый вектор,
*<tex>\mathtt{numOfBitvector}</tex> {{---}} номер искомого вектора среди всех битовых векторов,
*<tex>\mathtt{pow(2, n)}</tex> {{---}} <tex>2^{n}</tex> количество битовых векторов длины <tex>n</tex>,
'''vector<int>''' num2bitvector(numOfBitvector: '''int'''):
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''if''' numOfBitvector >= pow(2, (n - i))
numOfBitvector -= pow(2, (n - i))
bitvector[i] = 1
'''else'''
bitvector[i] = 0
'''return''' bitvecor
Данный алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, так как в случае битовых векторов <tex>k</tex> не зависит от <tex>n</tex>.
Алгоритм эквивалентен переводу числа из десятичной системы в двоичную.

== Перестановки ==
Рассмотрим алгоритм получения <tex>k</tex>-ой в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] перестановки размера <tex>n</tex>.
Заметим, что всем префиксам на каждом шаге будет соответствовать диапазон номеров одинакового размера, (так как количество всевозможных суффиксов зависит только от длины) то есть можем просто посчитать "количество диапазонов, которые идут до нас" (количество цифр уже полностью занятых перестановками с меньшим номером) за <tex>O(1) </tex>:

*<tex>\mathtt{k}</tex> {{---}} номер искомой последовательности,
*<tex>\mathtt{n!}</tex> {{---}} количество перестановок размера <tex>n</tex>,
*<tex>\mathtt{permutation[n]}</tex> {{---}} искомая перестановка,
*<tex>\mathtt{was[n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.
На <tex>i</tex>-ом шаге:
*<tex>\mathtt{alreadyWas}</tex> {{---}} сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером,
*мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, то есть цифру с номером <tex>alreadyWas + 1</tex>. Среди цифр, которых еще нет в нашем префиксе, считаем, что это цифра <tex>j</tex>.
На <tex>j</tex>-ом шаге:
*<tex>\mathtt{curFree}</tex> {{---}} если элемент с номером <tex>j</tex> свободен, то он имеет номер curFree среди всех свободных элементов с <tex>1</tex> по <tex>j</tex>.
'''list<int>''' num2permutation(k: '''int'''):
'''for''' i = 1 '''to''' n
alreadyWas = k / (n - i)!
k %= (n - i)!
curFree = 0
'''for''' j = 1 '''to''' n
'''if''' was[j] == ''false''
curFree++
'''if''' curFree == alreadyWas + 1
permutation[i] = j
was[j] = true
'''return''' permutation

Данный алгоритм работает за <tex>O(n^2)</tex>, так как в случае перестановок <tex>n=k</tex>. Мы можем посчитать все <tex>\mathtt{n!}</tex> за <tex>O(n) </tex>. Асимптотику можно улучшить
до <tex>O(n \log {n}) </tex>, если использовать структуры данных (например, [[Декартово дерево|декартово дерево]] по неявному ключу), которые позволяют искать <tex>i</tex>-й элемент множества и удалять элемент
множества за <tex>O( \log {n}) </tex>.

== Сочетания ==
На каждой итерации мы проверяем, входит ли число <tex>\mathtt{next}</tex> в искомое сочетание. Если мы хотим взять <tex>\mathtt{next}</tex>, то номер перестановки должен быть меньше, чем <tex dpi=140>\binom{n - 1}{k - 1}</tex>, так как потом надо будет выбрать <tex>k - 1</tex> элемент из <tex>n - 1</tex> доступных. Если нет, то будем считать, что <tex dpi=140>\binom{n - 1}{k - 1}</tex> перестановок, начинающихся с <tex>\mathtt{next}</tex>, мы пропустили. В обоих случаях рассмотрение текущего числа <tex>next</tex> мы заканчиваем и переходим к следующему числу.
*<tex>\mathtt{choose}</tex> {{---}} искомое сочетание,
*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,

'''list<int>''' num2choose(n, k, m: '''int'''):
next = 1
'''while''' k > 0
'''if''' m < C[n - 1][k - 1]
choose.push_back(next)
k = k -1
'''else'''
m -= C[n - 1][k - 1]
n = n - 1
next = next + 1
'''return''' choose
Асимптотика приведенного алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, предподсчет <tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} <tex>O(n^2)</tex>
== См. также ==
*[[Получение номера по объекту|Получение номера по объекту]]
*[[Получение_предыдущего_объекта#.D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B3.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.8B.D0.B4.D1.83.D1.89.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.81.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Получение предыдущего сочетания]]
*[[Получение_следующего_объекта#.D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B3.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D1.83.D1.8E.D1.89.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.81.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Генерация следующего сочетания]]
== Источники информации ==
*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31 - ISBN 5-94774-010-9
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Альтернатива Фредгольма — Шаудера

2013-06-11T12:54:18Z

217.66.159.194:

__TOC__

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.

<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.

<tex>A \colon C[0;1] \to C[0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.

Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.

Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon X \to X</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>

Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?

<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (I - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Будем считать <tex> \lambda = 1 </tex>

{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
|proof=
<tex>T = I - A</tex>

<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.

Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.

Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
|proof=
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.

Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.

Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.

<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.

Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.

В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.

<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.

Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.

Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.

То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.

<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex>

Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
}}

Докажем теперь два утверждения.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
|proof=
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.

<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex>

Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.

<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.

Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.

Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго).
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.

Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:

<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex>

Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.

<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.

Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.

Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.

<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.

Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.

Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.

}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
|proof=
<tex> \Longrightarrow </tex>:

Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.

Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.

<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.

Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.

Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.

Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> \Longleftarrow </tex>:

Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.

Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.
}}

== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==

{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
|proof=
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex>
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.
}}

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
|proof=
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.

Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.

Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.

Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.

Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Альтернатива Фредгольма — Шаудера

2013-06-11T12:45:14Z

217.66.159.194:

__TOC__

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.

<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.

<tex>A \colon C[0;1] \to C[0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.

Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.

Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon X \to X</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>

Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?

<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Будем считать <tex> \lambda = 1 </tex>

{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
|proof=
<tex>T = I - A</tex>

<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.

Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.

Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
|proof=
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.

Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.

Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.

<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.

Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.

В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.

<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.

Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.

Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.

То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.

<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex>

Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
}}

Докажем теперь два утверждения.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
|proof=
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.

<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex>

Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.

<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.

Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.

Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго).
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.

Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:

<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex>

Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.

<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.

Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.

Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.

<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.

Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.

Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.

}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
|proof=
<tex> \Longrightarrow </tex>:

Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.

Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.

<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.

Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.

Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.

Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> \Longleftarrow </tex>:

Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.

Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.
}}

== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==

{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
|proof=
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex>
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.
}}

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
|proof=
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.

Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.

Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.

Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.

Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Базис Шаудера

2013-06-11T12:39:26Z

217.66.159.194:

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.

{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Примеры:
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера
* но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
|proof=
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
которая сходится в себе, то есть
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex>

Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex>
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>

Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. {{TODO|t=Coming soon...}}
}}

Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.

Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>

Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.

По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.

Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.

Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.

Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.

<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.

<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.

Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.

<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>

<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>

<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.

Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.

<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.

Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.

В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Базис Шаудера

2013-06-11T12:38:46Z

217.66.159.194:

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.

{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Примеры:
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера
* но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
|proof=
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
которая сходится в себе, то есть
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex>

Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex>
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>

Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. {{TODO|t=Coming soon...}}
}}

Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.

Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>

Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.

По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.

Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.

Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.

Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.

<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.

<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.

Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.

<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>

<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>

<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.

Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.

<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.

Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.

В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Базис Шаудера

2013-06-11T12:37:31Z

217.66.159.194:

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.

{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Примеры:
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера
* но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
|proof=
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
которая сходится в себе, то есть
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex>

Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex>
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>

Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. {{TODO|t=Coming soon...}}
}}

Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.

Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \right\| \le C \left\| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>

Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.

По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.

Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.

Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.

Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.

<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.

<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.

Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.

<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>

<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>

<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.

Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.

<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.

Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.

В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]