Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

2013-11-04T11:21:46Z

37.212.25.79: /* Псевдокод */

Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный автомат]] с наименьшим количеством состояний.

== Минимизация ДКА ==
Если в ДКА существуют два [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентных состояния]], то при их объединении мы получим [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный ДКА]], так как распознаваемый язык не изменится. Основная идея минимизации состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности, полученные классы и будут состояниями минимизированного ДКА.

== Простой алгоритм ==
{{Определение
|definition =
Класс <tex>S</tex> '''разбивает''' класс <tex>R</tex> по символу <tex>a</tex> на <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, если
# <tex>\forall r \in R_1 \,\,\, \delta(r, a) \in S</tex>
# <tex>\forall r \in R_2 \,\,\, \delta(r, a) \notin S</tex>
}}
Если класс <tex>R</tex> может быть разбит по символу <tex>a</tex>, то он содержит хотя бы одну пару неэквивалентных состояний (так как существует строка которая их различает). Если класс нельзя разбить, то он состоит из эквивалентных состояний.
Поэтому самый простой алгоритм состоит в том, чтобы разбивать классы текущего разбиения до тех пор пока это возможно.

Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний <tex>F</tex> и класс недопускающих состояний <tex>Q \setminus F</tex>.
# Перебираются символы алфавита <tex>a \in \Sigma</tex>, все пары <tex>(F, a)</tex> и <tex>(Q \setminus F, a)</tex> помещаются в очередь.
# Из очереди извлекается пара <tex>(S, a)</tex>, <tex>S</tex> далее именуется как сплиттер.
# Все классы текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер, а второй из всех оставшихся.
# Те классы, которые разбились на два непустых подкласса, заменяются этими подклассами в разбиении, а также добавляются в очередь.
# Пока очередь не пуста, выполняем п.3 – п.5.

===Псевдокод===
<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
<tex>W</tex> {{---}} очередь.
<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
<tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex>
<tex>W \leftarrow \{ \}</tex>
'''for all''' <tex>a \in \Sigma</tex>
<tex>W</tex>'''.push'''(<tex>F, a</tex>)
<tex>W</tex>'''.push'''(<tex>Q \setminus F, a</tex>)
'''while not''' <tex>W</tex>'''.isEmpty()'''
<tex>W</tex>'''.pop'''(<tex>S, a</tex>)
'''for all''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>P</tex>
<tex>R_1 = R \cap \delta^{-1} (S, a) </tex>
<tex>R_2 = R \setminus R_1</tex>
'''if''' <tex> |R_1| \ne 0</tex> '''and''' <tex>|R_2| \ne 0</tex>
'''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>P</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
<tex>W</tex>'''.push'''(<tex>R_1, a</tex>)
<tex>W</tex>'''.push'''(<tex>R_2, a</tex>)
Когда очередь станет пустой, будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить.

===Время работы===
Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex>{{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>(S, a)</tex> попала в очередь, и класс <tex>S</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|S| \ge |S_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.

== Алгоритм Хопкрофта==

{{Лемма
|statement = Класс <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex>, тогда разбиение всех классов (текущее разбиение) по символу <tex>a</tex> любыми двумя классами из <tex>R, R_1, R_2</tex> эквивалентно разбиению всех классов с помощью <tex>R, R_1, R_2</tex> по символу <tex>a</tex>.
|proof =
Разобьем все классы с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_1</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R</tex> and <tex> \delta(r, a) \in R_1</tex> or
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R</tex> and <tex> \delta(r, a) \notin R_1</tex> or
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex> and <tex> \delta(r, a) \notin R_1</tex>
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 </tex> or
:<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_2</tex>
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R_2</tex> никак не повлияет на текущее разбиение. <br/>
Аналогично доказывается и для разбиения с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>. <br/>
Разобьем все классы с помощью <tex>R_1</tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1</tex> and <tex> \delta(r, a) \notin R_2</tex> or
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1</tex> and <tex> \delta(r, a) \in R_2</tex> or
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1</tex> and <tex> \delta(r, a) \notin R_2</tex>
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R </tex> or
:<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex>
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R</tex> никак не повлияет на текущее разбиение.
}}

Алгоритм Хопкрофта отличается от простого тем, что иначе добавляет классы в очередь.
Если класс <tex>R</tex> уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить его на <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
Если класса <tex>R</tex> нет в очереди, то согласно лемме в очередь можно добавить класс <tex>R</tex> и любой из <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, а так как для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R </tex> or
:<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex>
то в очередь можно добавить только меньшее из <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.

===Псевдокод===
<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
<tex>W</tex> {{---}} очередь.
<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
<tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex>
<tex>W \leftarrow \{ \}</tex>
'''for all''' <tex>a \in \Sigma</tex>
<tex>W</tex>'''.push'''('''min'''(<tex>F, Q \setminus F</tex>), <tex>a</tex>)
'''while not''' <tex>W</tex>'''.isEmpty()'''
<tex>W</tex>'''.pop'''(<tex>S, a</tex>)
'''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>P</tex> '''split by''' <tex>(S, a)</tex>
'''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>P</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
'''if''' (<tex>R, a</tex>) '''in''' <tex>W</tex>
'''replace''' (<tex>R, a</tex>) '''in''' <tex>W</tex> '''with''' (<tex>R_1, a</tex>) '''and''' (<tex>R_2, a</tex>)
'''else'''
'''if''' <tex> |R_1| \le |R_2|</tex>
<tex>W</tex>'''.push'''(<tex>R_1, a</tex>)
'''else'''
<tex>W</tex>'''.push'''(<tex>R_2, a</tex>)

===Время работы===
Время работы модифицированного алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n\log{n})</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex>{{---}} алфавит. В данном случае при последующем разбиении в очередь будет добавлен класс <tex>S_1</tex>, причем <tex>|S| \ge 2|S_1|</tex>. Каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(\log{n})</tex> раз, ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, отсюда указанная оценка.

== Литература ==
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
* ''D. Gries.'' Describing an algorithm by Hopcroft. Technical Report TR-72-151, Cornell University, December 1972.

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))