Вариационный автокодировщик

2019-10-23T14:27:00Z

46.0.164.18: Откуда появилось условное распределение? Разве мы не хотим приблизить априорное безусловное распределение z к наблюдаемому условному?

'''Вариационный автокодировщик''' (англ. ''Variational Autoencoder'', ''VAE'') {{---}} [[автокодировщик]]<sup>[на 28.01.19 не создан]</sup> (генеративная модель, которая учится отображать объекты в заданное скрытое пространство (и обратно)) основанный на вариационном выводе.

== Предпосылки ==
При попытке использования обыкновенного автокодировщика для генерации новых объектов (желательно из того же априорного распределения, что и датасет) возникает следующая проблема. Случайной величиной с каким распределением проинициализировать скрытые векторы, для того, чтобы картинка, после применения декодера, стала похожа на картинки из датасета, но при этом не совпадала ни с одной из них? Ответ на этот вопрос не ясен, в связи с тем, что обыкновенный автокодировщик не может ничего утверждать про распределение скрытого вектора и даже про его область определения. В частности, область определения может быть даже дискретной.

Вариационный автокодировщик в свою очередь предлагает пользователю самому определить распределение скрытого вектора.

== Описание ==
'''Порождающее моделирование''' (англ. ''Generative modelling'') {{---}} область машинного обучения, имеющая дело с распределением <math>P(X)</math>, определенном на датасете <math>X</math> из пространства (возможно многомерного) <math>X</math>. Так, например, популярные задачи генерации картинок имеют дело с огромным количеством измерений (пикселей).

Также как и в обыкновенных кодировщиках у нас имеется скрытое вероятностное пространство <math>Z</math> соответствующее случайной величине <math>(z, P(z))</math> (распределенной как-нибудь фиксированно, здесь <math>\sim N(0, 1)</math>). И мы хотим иметь декодер <math>f(z, \theta) \colon Z \times \Theta \to X </math>. При этом мы хотим найти такие <math>\theta</math>, чтобы после разыгрывания <math>z</math> по <math>P(z)</math> мы получили "что-то похожее" на элементы <math>X</math>.

Вообще, для любого <math>x \in X</math> мы хотим считать <math>P(x) = \int P(x|z; \theta)P(z)dz</math>, здесь мы заменили <math>f(z, \theta)</math> на <math>P(x|z; \theta)</math>, чтобы явно показать зависимость между <math>x</math> и <math>z</math> и после этого применить формулу полной вероятности. Обычно <math>P(x|z; \theta)</math> около нуля почти для всех пар <math>(x, z)</math>. Основная идея в том, что мы хотим теперь генерировать <math>z</math>, который бы давали что-то около <math>x</math> и только их суммировать в <math>P(x)</math>. Для этого нам требуется ввести еще одно распределение <math>Q(z|X)</math>, которое будет получать <math>x</math> и говорить распределение на <math>z</math> которое наиболее вероятно будет генерировать нам такой <math>x</math>. Теперь нам нужно как-то сделать похожими распределения <math>E_{z\sim Q}P(X|z)</math> и <math>P(X)</math>.

Рассмотрим следующую дивергенцию Кульбака-Лейблера (''Kullback–Leibler divergence'', ''KL-div'').
:<math>D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q} [log Q(z) − log P(z|X)]</math>,

Распишем <math>P(z|X)</math> как <math>P(X|z) * P(z) / P(X)</math>.
:<math>D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q} [log Q(z) − log P(X|z) - log P(z)] + log P(X)</math>,

Что эквивалентно:
:<math>logP(x) - D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q}[log P(X|z)] - D[Q(z)||P(z)]</math>,

Рассмотрим эту штуку для <math>Q(z|X)</math>, тогда:
:<math>logP(x) - D[Q(z|X)||P(z|X)] = E_{z∼Q}[log P(X|z)] - D[Q(z|X)||P(z)]</math>,

Посмотрим, на это равенство. Правую часть мы можем оптимизировать градиентным спуском (пусть пока и не совсем понятно как).
В левой же части первое слагаемое {{---}} то, что мы хотим максимизировать. В то же время <math>D[Q(z|X)||P(z|X)]</math> мы хотим минимизировать. Если у нас <math>Q(z|X)</math> {{---}} достаточно сильная модель, то в какой-то момент она будет хорошо матчить <math>P(z|X)</math>, а значит их дивергенция Кульбака-Лейблера будет почти 0. Значит, при оптимизации можно исключить эту часть и стараться максимизировать только правую. В качестве бонуса мы еще получили более "податливую" <math>P(z|X)</math>, вместо нее можно смотреть на <math>Q(z|X)</math>.

Теперь разберемся как оптимизировать правую часть. Сначала нужно определиться с моделью для <math>Q(z|X)</math>. Обычно ее берут равной <math>N(z|\mu(X, \theta), \sigma(X, \theta))</math>. Где <math>\mu</math> и <math>\sigma</math> какие-то детерминированные функции на X с обучаемыми параметрами <math>\theta</math>, которые мы впредь будем опускать (обычно используются нейронные сети).

Нетрудно проверить, что для дивергенция Кульбака-Лейблера двух нормальных распределений имеет следующий вид:
:<math>D_{K}[N(\mu_1, \Sigma_0)||N(\mu_1, \Sigma_0)]</math>, KLD есть <math>\frac{1}{2} (tr(\Sigma_1^{-1}\Sigma_0) + (\mu_1 - \mu_0)^T\Sigma_1^{-1}(\mu_1 - \mu_0) - k + log(\frac{det\Sigma_1}{det\Sigma_0})) </math>.

Это значит, что
:<math>D[Q(z|X)||P(z)] = D[N(\mu(X), \Sigma(X))||N(0, I)] = \frac12 (tr(\Sigma(X)) + \mu(X)^T\mu(X) - k - log(det\Sigma(X)))</math>.
Теперь здесь
можно считать градиенты, для BackPropagation. С первым слагаемым в правой части все немного сложнее. <math>E_{z∼Q}[log P(X|z)]</math> мы можем считать методом Монте-Карло(МК), но тогда такая штука (из-за того, что переменные спрятаны в распределении, из которого мы генерируем себе выборку, для МК) не является гладкой относительно них, а значит непонятно, как проталкивать через это градиент. Для того, чтобы все-таки можно было протолкнуть градиент, применяется так называемый ''трюк репараметризации'', который базируется на простой формуле <math>N(\Sigma(X), \mu(X)) = \mu(X) + \Sigma^{\frac12}(X) * N(0, I) </math>.

:<math>E_{z∼Q}[log P(X|z)] = E_{\epsilon \sim N(0, I)}[log P(X = f(\mu(X) + \Sigma^{\frac12}(X) * \epsilon), \theta)]</math>.
В такой форме мы уже можем использовать BackPropagation для переменных из функций <math>\Sigma</math> и <math>\mu</math>.

Следующая картинка лучше поможет осознать структуру VAE и, в частности, зачем нужен (и как работает) трюк репараметризации.

На левой части диаграмма без использования reparameterization trick.
На правой части диаграмма с использованием reparameterization trick.

[[Файл:VAE.PNG]]

взято из https://arxiv.org/pdf/1606.05908.pdf

== Пример реализации ==
Ниже приведена реализация частного случая VAE на языке Python с использованием библиотеки Pytorch.
Эта реализация работает с датасетом MNIST.
Размерность скрытого слоя {{---}} 2.
Координаты в нем считаются независимыми (из-за этого, например, матрица <math>\Sigma</math> диагональная, и формула для расчета KLD немного другая).

class VariationalAutoencoder(nn.Module):
def __init__(self):
super().__init__()
self.mu = nn.Linear(32, 2)
self.gamma = nn.Linear(32, 2)
self.encoder = nn.Sequential(nn.Linear(784, 32), nn.ReLU(True))
self.decoder = nn.Sequential(nn.Linear(2, 32), nn.ReLU(True), nn.Linear(32, 784), nn.Sigmoid())

def forward(self, x):
mu, gamma = self.encode(x)
encoding = self.reparameterize(mu, gamma)
x = self.decoder(encoding)
return x, mu, gamma

def reparameterize(self, mu, gamma):
if self.training:
sigma = torch.exp(0.5*gamma)
std_z = Variable(torch.from_numpy(np.random.normal(0, 1, size=sigma.size())).float())
encoding = std_z.mul(sigma).add(mu)
return encoding
else:
return mu

def encode(self, x):
x = self.encoder(x)
mu = self.mu(x)
gamma = self.gamma(x)
return mu, gamma

def decode(self, x):
return self.decoder(x)

def latent(self, x):
mu, gamma = self.encode(x)
encoding = self.reparameterize(mu, gamma)
return encoding

def loss_function(input, output, mu, gamma, batch_size=batch_size):
BCE = F.binary_cross_entropy(output, input)
KLD = -0.5*torch.sum(1 + gamma - mu.pow(2) - gamma.exp())
KLD /= batch_size*784
return BCE + KLD

== Применение ==
Область применения вариационных автокодировщиков совпадает с областью применения обыкновенных автокодировщиков. А именно:
* Каскадное обучение глубоких сетей (хотя сейчас применяется все реже, в связи с появлением новых методов инициализации весов);
* Уменьшение шума в данных;
* Уменьшение размерности данных (иногда работает лучше, чем [[метод главных компонент]]<sup>[на 28.01.19 не создан]</sup>).

Благодаря тому, что пользователь сам устанавливает нужное распределение скрытого вектора, вариационный кодировщик хорошо подходит для генерации новых объектов (например, картинок). Для этого достаточно разыграть скрытый вектор согласно его распределению и подать на вход декодера. Получится объект из того же распределения, что и датасет.

== См. также ==
*[[:Автокодировщик|Автокодировщик]]
*[[:Generative Adversarial Nets (GAN)|Порождающие состязательные сети]]

== Примечания ==
*[https://habr.com/ru/post/429276/ Вариационные автокодировщики: теория и рабочий код]
*[https://jaan.io/what-is-variational-autoencoder-vae-tutorial/ Tutorial - What is a variational autoencoder?]
*[https://towardsdatascience.com/intuitively-understanding-variational-autoencoders-1bfe67eb5daf Intuitively Understanding Variational Autoencoders]

== Источники информации ==
*[https://arxiv.org/abs/1606.05908 Tutorial on Variational Autoencoders]
*Datalore презентация Дениса Степанова

[[Категория: Машинное обучение]]
[[Категория: Порождающие модели]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Вариационный автокодировщик