Метод опорных векторов (SVM)

2019-12-12T10:06:44Z

46.159.23.23: нет такого понятия "наиболее оптимальный". Оптимальный - это и так самый лучший.

'''Метод опорных векторов''' (англ. ''support vector machine'', ''SVM'') — один из наиболее популярных методов обучения, который применяется для решения задач классификации и регрессии. Основная идея метода заключается в построении гиперплоскости, разделяющей объекты выборки оптимальным способом. Алгоритм работает в предположении, что чем больше расстояние (зазор) между разделяющей гиперплоскостью и объектами разделяемых классов, тем меньше будет средняя ошибка классификатора.

== Метод опорных векторов в задаче классификации ==

Рассмотрим задачу бинарной классификации, в которой объектам из $X=\mathbb{R}^n$ соответствует один из двух классов $Y = \{-1, +1\}$.

Пусть задана обучающая выборка пар "объект-ответ": $T^\ell = (\vec{x}_i, y_i)_{i=1}^\ell$. Необходимо построить алгоритм классификации $a(\vec{x}) : X \to Y$.

=== Разделяющая гиперплоскость ===

[[Файл:svm_hyperplane.png|300px|thumb|right|Примеры разделяющих гиперплоскостей в $\mathbb{R}^2$]]

В пространстве $\mathbb{R}^n$ уравнение $\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b = 0$ при заданных $\vec{w}$ и $b$ определяет гиперплоскость — множество векторов $\vec{x} = (x_1, \ldots, x_n)$, принадлежащих пространству меньшей размерности $\mathbb{R}^{n-1}$. Например, для $\mathbb{R}^1$ гиперплоскостью является точка, для $\mathbb{R}^2$ — прямая, для $\mathbb{R}^3$ — плоскость и т.д. Параметр $\vec{w}$ определяет вектор нормали к гиперплоскости, а через $\frac{b}{\lVert \vec{w} \rVert}$ выражается расстояние от гиперплоскости до начала координат.

Гиперплоскость делит $\mathbb{R}^n$ на два полупространства: $\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b > 0$ и $\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b < 0$.

Говорят, что гиперплоскость разделяет два класса $C_1$ и $C_2$, если объекты этих классов лежат по разные стороны от гиперплоскости, то есть выполнено либо

$\begin{cases}\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b > 0, && \forall x \in C_1 \\ \langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b < 0, && \forall x \in C_2\end{cases}$

либо

$\begin{cases}\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b < 0, && \forall x \in C_1 \\ \langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b > 0, && \forall x \in C_2\end{cases}$

=== Линейно разделимая выборка ===

Пусть выборка линейно разделима, то есть существует некоторая гиперплоскость, разделяющая классы $-1$ и $+1$. Тогда в качестве алгоритма классификации можно использовать линейный пороговый классификатор:

$a(\vec{x}) = sign(\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b) = sign\left(\sum\limits_{i=1}^\ell w_i x_i - b\right)$

где $\vec{x} = (x_1, \ldots, x_n)$ — вектор значений признаков объекта, а $\vec{w} = (w_1, \ldots, w_n) \in \mathbb{R}^n$ и $b \in \mathbb{R}$ — параметры гиперплоскости.

Но для двух линейно разделимых классов возможны различные варианты построения разделяющих гиперплоскостей. Метод опорных векторов выбирает ту гиперплоскость, которая максимизирует отступ между классами:
{{Определение
|definition=
'''Отступ''' (англ. ''margin'') — характеристика, оценивающая, насколько объект "погружён" в свой класс, насколько типичным представителем класса он является. Чем меньше значение отступа $M_i$, тем ближе объект $\vec{x}_i$ подходит к границе классов и тем выше становится вероятность ошибки. Отступ $M_i$ отрицателен тогда и только тогда, когда алгоритм $a(x)$ допускает ошибку на объекте $\vec{x}_i$. Для линейного классификатора отступ определяется уравнением: $M_i(\vec{w}, b) = y_i(\langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - b)$
}}
Если выборка линейно разделима, то существует такая гиперплоскость, отступ от которой до каждого объекта положителен:

$\exists \vec{w}, b : \; M_i(\vec{w}, b) = y_i(\langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - b) > 0, \; i = 1\ldots\ell$

Мы хотим построить такую разделяющую гиперплоскость, чтобы объекты обучающей выборки находились на наибольшем расстоянии от неё.

[[Файл:SVM_margin.png|300px|thumb|right|Оптимальная разделяющая гиперплоскость в $\mathbb{R}^2$]]
Заметим, что при умножении $\vec{w}$ и $b$ на константу $c \neq 0$ уравнение $\langle c\vec{w}, \vec{x} \rangle - cb = 0$ определяет ту же самую гиперплоскость, что и $\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b = 0$. Для удобства проведём нормировку: выберем константу $c$ таким образом, чтобы $\min M_i(\vec{w}, b) = 1$. При этом в каждом из двух классов найдётся хотя бы один "граничный" объект обучающей выборки, отступ которого равен этому минимуму: иначе можно было бы сместить гиперплоскость в сторону класса с большим отступом, тем самым увеличив минимальное расстояние от гиперплоскости до объектов обучающей выборки.

Обозначим любой "граничный" объект из класса $+1$ как $\vec{x}_+$, из класса $-1$ как $\vec{x}_-$. Их отступ равен единице, то есть

$\begin{cases}
M_+(\vec{w}, b) = (+1)(\langle \vec{w}, \vec{x}_+ \rangle - b) = 1 \\
M_-(\vec{w}, b) = (-1)(\langle \vec{w}, \vec{x}_- \rangle - b) = 1
\end{cases}$

Нормировка позволяет ограничить разделяющую полосу между классами: $\{x: -1 < \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - b < 1\}$. Внутри неё не может лежать ни один объект обучающей выборки. Ширину разделяющей полосы можно выразить как проекцию вектора $\vec{x}_+ - \vec{x}_-$ на нормаль к гиперплоскости $\vec{w}$. Чтобы разделяющая гиперплоскость находилась на наибольшем расстоянии от точек выборки, ширина полосы должна быть максимальной:

$\frac{\langle \vec{x}_+ - \vec{x}_-, \vec{w} \rangle}{\lVert w \rVert} = \frac{\langle \vec{x}_+, \vec{w} \rangle - \langle \vec{x}_-, \vec{w} \rangle - b + b}{\lVert w \rVert} = \frac{(+1)\left(\langle \vec{x}_+, \vec{w} \rangle - b\right) \, + \, (-1)\left(\langle \vec{x}_-, \vec{w} \rangle - b\right)}{\lVert w \rVert} = \\ = \frac{M_+(\vec{w}, b) \, + \, M_-(\vec{w}, b)}{\lVert w \rVert} = \frac{2}{\lVert w \rVert} \to \max \; \Rightarrow \; \lVert w \rVert \to \min$

Это приводит нас к постановке задачи оптимизации в терминах квадратичного программирования:

$\begin{cases}
\lVert \vec{w} \rVert^2 \to \min\limits_{w,b} \\
M_i(\vec{w}, b) \geq 1, \quad i = 1, \ldots, \ell
\end{cases}$

=== Линейно неразделимая выборка ===

На практике линейно разделимые выборки практически не встречаются: в данных возможны выбросы и нечёткие границы между классами. В таком случае поставленная выше задача не имеет решений, и необходимо ослабить ограничения, позволив некоторым объектам попадать на "территорию" другого класса. Для каждого объекта отнимем от отступа некоторую положительную величину $\xi_i$, но потребуем чтобы эти введённые поправки были минимальны. Это приведёт к следующей постановке задачи, называемой также ''SVM с мягким отступом'' (англ. ''soft-margin SVM''):

$\begin{cases}
\frac{1}{2} \lVert \vec{w} \rVert^2 \color{brown}{+ C \sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i} \to \min\limits_{w, b, \color{brown}{\xi}} \\
M_i(\vec{w}, b) \geq 1 \color{brown}{- \xi_i}, \quad i = 1, \ldots, \ell \\
\color{brown}{\xi_i \geq 0, \quad i = 1, \ldots, \ell} \\
\end{cases}$

Мы не знаем, какой из функционалов $\frac{1}{2} \lVert \vec{w} \rVert^2$ и $\sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i$ важнее, поэтому вводим коэффициент $C$, который будем оптимизировать с помощью кросс-валидации. В итоге мы получили задачу, у которой всегда есть единственное решение.

Заметим, что мы можем упростить постановку задачи:

$\begin{cases}
\xi_i \geq 0 \\
\xi_i \geq 1 - M_i(\vec{w}, b) \\
\sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i \to \min
\end{cases}
\,\Rightarrow\,
\begin{cases}
\xi_i \geq \max(0, 1 - M_i(\vec{w}, b)) \\
\sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i \to \min
\end{cases}
\,\Rightarrow\,
\xi_i = (1- M_i(\vec{w}, b))_+$

Получим эквивалентную задачу безусловной минимизации:

$\frac{1}{2} \lVert \vec{w} \rVert^2 + C \sum\limits_{i=1}^\ell \left(1 - M_i(\vec{w}, b)\right)_+ \to \min\limits_{w, b}$

Теперь научимся её решать.

{{Теорема
|id=kkt
|author=Условия Каруша—Куна—Таккера
|statement=
Пусть поставлена задача нелинейного программирования с ограничениями:
$$
\begin{cases}
f(x) \to \min\limits_{x \in X} \\
g_i(x) \leq 0,\;i=1\ldots m \\
h_j(x) = 0,\;j=1\ldots k
\end{cases}
$$

Если $x$ — точка локального минимума при наложенных ограничениях, то существуют такие множители $\mu_i, i = 1\ldots m$, $\;\lambda_j, j = 1\ldots k$, что для функции Лагранжа $L(x; \mu, \lambda)$ выполняются условия:

$$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x} = 0, \quad L(x; \mu, \lambda) = f(x) + \sum\limits_{i=1}^m \mu_i g_i(x) + \sum\limits_{j=1}^k \lambda_j h_j(x) \\ g_i(x) \leq 0,\;h_j(x) = 0 \quad \text{(исходные ограничения)} \\ \mu_i \geq 0 \quad \text{(двойственные ограничения)} \\ \mu_i g_i(x) = 0 \quad \text{(условие дополняющей нежёсткости)} \end{cases}$$

При этом искомая точка является седловой точкой функции Лагранжа: минимумом по $x$ и максимумом по двойственным переменным $\mu$.
}}

По теореме Каруша—Куна—Таккера, поставленная нами задача минимизации эквивалентна двойственной задаче поиска седловой точки функции Лагранжа:

$\mathscr{L}(\vec{w},b,\xi; \lambda, \eta) = \frac{1}{2} \lVert w \rVert^2 - \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i \left(M_i(\vec{w}, b) - 1\right) - \sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i \left(\lambda_i + \eta_i - C\right)$

$\lambda_i$ — переменные, двойственные к ограничениям $M_i \geq 1 - \xi_i$

$\eta_i$ — переменные, двойственные к ограничениям $\xi_i \geq 0$

Запишем необходимые условия седловой точки функции Лагранжа:

$\begin{cases}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial w} = 0, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial b} = 0, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi} = 0 \\
\xi_i \geq 0, \quad \lambda_i \geq 0, \quad \eta_i \geq 0, && i = 1, \ldots, \ell \\
\lambda_i = 0 \;\text{либо}\; M_i(\vec{w},b) = 1 - \xi_i, && i = 1, \ldots, \ell \\
\eta_i = 0 \;\text{либо}\; \xi_i = 0, && i = 1, \ldots, \ell
\end{cases}$

Продифференцируем функцию Лагранжа и приравняем к нулю производные. Получим следующие ограничения:

$\begin{array}{lcl}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial w} = \vec{w} - \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i = 0 & \Rightarrow & \vec{w} = \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial b} = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0 & \Rightarrow & \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0 \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi_i} = -\lambda_i - \eta_i + C = 0 & \Rightarrow & \eta_i + \lambda_i = C, \quad i = 1, \ldots, \ell
\end{array}$

Заметим, что $\eta_i \geq 0$, $\lambda_i \geq 0$, $C > 0$, поэтому из последнего ограничения получаем $0 \leq \eta_i \leq C$, $0 \leq \lambda_i \leq C$.

Диапазон значений $\lambda_i$ (которые, как указано выше, соответствуют ограничениям на величину отступа) позволяет нам разделить объекты обучающей выборки на три типа:

# $\lambda_i = 0 \; \Rightarrow \; \eta_i = C; \; \xi_i = 0; \; M_i \geq 1 \;$ — периферийные (неинформативные) объекты Эти объекты лежат в своём классе, классифицируются верно и не влияют на выбор разделяющей гиперплоскости (см. уравнение для $\vec{w}$)
# $0 < \lambda_i < C \; \Rightarrow \; 0 < \eta_i < C; \; \xi_i = 0; \; M_i = 1 \;$ — опорные граничные объекты Эти объекты лежат ровно на границе разделяющей полосы на стороне своего класса
# $\lambda_i = C \; \Rightarrow \; \eta_i = 0; \; \xi_i > 0; \; M_i < 1 \;$ — опорные объекты-нарушители Эти объекты лежат внутри разделяющей полосы или на стороне чужого класса

{{Определение
|definition=
'''Опорный объект''' (опорный вектор, англ. ''support vector'') — объект $\vec{x}_i$, соответствующий которому множитель Лагранжа отличен от нуля: $\lambda_i \neq 0$.
}}

Теперь подставим ограничения, которые мы получили при дифференцировании, в функцию Лагранжа. Получим следующую постановку двойственной задачи, которая зависит только от двойственных переменных $\lambda$:

$\begin{cases}
-\mathscr{L}(\lambda) = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i + \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^\ell \sum\limits_{j=1}^\ell \lambda_i \lambda_j y_i y_j \langle \vec{x}_i, \vec{x}_j \rangle \to \min\limits_\lambda \\
0 \leq \lambda_i \leq C, \quad i = 1, \ldots, \ell \\
\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0
\end{cases}$

Это также задача квадратичного программирования. Решение задачи лежит в пересечении $\ell$-мерного куба с ребром $C$ и гиперплоскости $\langle \lambda, y \rangle = 0$, что является выпуклым многогранником размерности $\ell-1$. В этом многограннике нужно найти минимум выпуклого квадратичного функционала. Следовательно, данная задача имеет единственное решение.

Существуют различные методы поиска решения: можно воспользоваться универсальным солвером задачи квадратичного программирования ([https://www.ibm.com/analytics/cplex-optimizer CPLEX], [http://www.gurobi.com/ Gurobi]), либо алгоритмом, учитывающим специфические особенности SVM ([https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ SMO], [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS]).

После того, как мы получили вектор коэффициентов $\vec{\lambda}$, можем выразить решение прямой задачи через решение двойственной:

$\begin{cases}
\vec{w} = \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i \\
b = \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - y_i, \quad \forall i: \lambda_i > 0, M_i = 1
\end{cases}$

На практике для повышения вычислительной устойчивости рекомендуется при расчёте $b$ брать медиану по опорным граничным объектам:

$b = med\{ \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - y_i : \lambda_i > 0, M_i = 1, i = 1, \ldots, \ell\}$

Теперь можем переписать наш линейный классификатор, выразив $\vec{w}$ через $\vec{\lambda}$:

$a(x) = sign \left(\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \langle \vec{x}_i, \vec{x} \rangle - b\right)$

=== Нелинейное обобщение, kernel trick ===

Существует ещё один подход к решению проблемы линейной разделимости, известный как трюк с ядром (kernel trick). Если выборка объектов с признаковым описанием из $X = \mathbb{R}^n$ не является линейно разделимой, мы можем предположить, что существует некоторое пространство $H$, вероятно, большей размерности, при переходе в которое выборка станет линейно разделимой. Пространство $H$ здесь называют спрямляющим, а функцию перехода $\psi : X \to H$ — спрямляющим отображением. Построение SVM в таком случае происходит так же, как и раньше, но в качестве векторов признаковых описаний используются векторы $\psi(\vec{x})$, а не $\vec{x}$. Соответственно, скалярное произведение $\langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle$ в пространстве $X$ везде заменяется скалярным произведением $\langle \psi(\vec{x}_1), \psi(\vec{x}_2) \rangle$ в пространстве $H$. Отсюда следует, что пространство $H$ должно быть гильбертовым, так как в нём должно быть определено скалярное произведение.

Обратим внимание на то, что постановка задачи и алгоритм классификации не используют в явном виде признаковое описание и оперируют только скалярными произведениями признаков объектов. Это даёт возможность заменить скалярное произведение в пространстве $X$ на [[Ядра|ядро]] — функцию, являющуюся скалярным произведением в некотором $H$. При этом можно вообще не строить спрямляющее пространство в явном виде, и вместо подбора $\psi$ подбирать непосредственно ядро.

Постановка задачи с применением ядер приобретает вид:

$\begin{cases}
-\mathscr{L}(\lambda) = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i + \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^\ell \sum\limits_{j=1}^\ell \lambda_i \lambda_j y_i y_j \color{brown}{K(\vec{x}_i, \vec{x}_j)} \to \min\limits_\lambda \\
0 \leq \lambda_i \leq C, \quad i = 1, \ldots, \ell \\
\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0
\end{cases}$

$a(x) = sign \left(\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \color{brown}{K(\vec{x}_i, \vec{x})} - b\right)$

== Преимущества и недостатки SVM ==

Преимущества SVM перед методом стохастического градиента и нейронными сетями:

* Задача выпуклого квадратичного программирования хорошо изучена и имеет единственное решение.
* Метод опорных векторов эквивалентен двухслойной нейронной сети, где число нейронов на скрытом слое определяется автоматически как число опорных векторов.
* Принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости приводит к максимизации ширины разделяющей полосы, а следовательно, к более уверенной классификации.

Недостатки классического SVM:

* Неустойчивость к шуму: выбросы в исходных данных становятся опорными объектами-нарушителями и напрямую влияют на построение разделяющей гиперплоскости.
* Не описаны общие методы построения ядер и спрямляющих пространств, наиболее подходящих для конкретной задачи.
* Нет отбора признаков.
* Необходимо подбирать константу $C$ при помощи кросс-валидации.

== Модификации ==

Существуют различные дополнения и модификации метода опорных векторов, направленные на устранение описанных недостатков:

* [http://jmlr.csail.mit.edu/papers/v1/tipping01a.html Метод релевантных векторов (Relevance Vector Machine, RVM)]
* [https://papers.nips.cc/paper/2450-1-norm-support-vector-machines.pdf 1-norm SVM (LASSO SVM)]
* [http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/oldpdf/A16n214.pdf Doubly Regularized SVM (ElasticNet SVM)]
* [https://arxiv.org/abs/1901.09643v1 Support Features Machine (SFM)]
* [http://www.robots.ox.ac.uk/~minhhoai/papers/SVMFeatureWeight_PR.pdf Relevance Features Machine (RFM)]

==Примеры кода==
===Пример на языке Java===
Пример классификации с применением <code>smile.classification.SVM</code><ref>[https://haifengl.github.io/smile/api/java/smile/classification/SVM.html/ Smile, SVM]</ref>

<code>Maven</code> зависимость:
<dependency>
<groupId>com.github.haifengl</groupId>
<artifactId>smile-core</artifactId>
<version>1.5.2</version>
</dependency>

'''import''' smile.classification.SVM;
'''import''' smile.data.NominalAttribute;
'''import''' smile.data.parser.DelimitedTextParser;
'''import''' smile.math.kernel.GaussianKernel;
'''import''' java.util.Arrays;

// read train & test dataset
'''var''' parser = new DelimitedTextParser();
parser.setResponseIndex(new NominalAttribute("class"), 0);
'''var''' train = parser.parse("USPS Train", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.train"));
'''var''' test = parser.parse("USPS Test", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.test"));
'''var''' classes = Arrays.stream(test.labels()).max().orElse(0) + 1;
// build SVM classifier
'''var''' svm = new SVM<>(new GaussianKernel(8.0), 5.0, classes, SVM.Multiclass.ONE_VS_ONE);
svm.learn(train.x(), train.labels());
svm.finish();
// calculate test error rate
'''var''' error = 0;
for (int i = 0; i < test.x().length; i++) {
if (svm.predict(test.x()[i]) != test.labels()[i]) {
error++;
}
}
System.out.format("USPS error rate = %.2f%%\n", 100.0 * error / test.x().length);

== См. также ==
* [[Общие понятия]]
* [[Ядра]]
* [[Обзор библиотек для машинного обучения на Python]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 machinelearning.ru — Машина опорных векторов]
* [https://www.youtube.com/watch?v=Adi67_94_gc&list=PLJOzdkh8T5kp99tGTEFjH_b9zqEQiiBtC&index=5 Лекция "Линейные методы классификации: метод опорных векторов"] — К.В. Воронцов, курс "Машинное обучение" 2014
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 Wikipedia — Метод опорных векторов]
* Alexey Nefedov — [https://svmtutorial.online/ Support Vector Machines: A Simple Tutorial]
* John Platt — [https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines]
* Shai Fine, Katya Scheinberg — [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS: An Incremental Active Set Method for SVM]

[[Категория: Машинное обучение]]
[[Категория: Классификация]]
[[Категория: Регрессия]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Метод опорных векторов (SVM)