Матричное представление перестановок

2017-01-02T17:36:56Z

46.172.12.116:

== Определение ==
{{Определение
|definition=
'''Матрица перестановки''' (англ. ''Permutation matrix'') — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой находится лишь одна единица.}}
{{Определение
|definition=
Если матрица перестановок <tex>P</tex> получена из единичной матрицы <tex>E</tex> перестановкой местами двух строк (или двух столбцов), то такая матрица называется '''элементарной матрицей перестановок''' (англ. ''Elementary permutation matrix''). }}

Каждая матрица перестановки размера <tex>n \times n</tex> является матричным представлением перестановки порядка <tex>n</tex>.

Пусть дана перестановка <tex>\sigma</tex> порядка <tex>n</tex>:
: <tex>\begin{pmatrix}
1 & 2& \ldots & n\\
\sigma(1)& \sigma(2) & \ldots & \sigma(n)
\end{pmatrix}</tex>

Соответствующей матрицей перестановки является матрица <tex>n \times n</tex> вида:
: <tex>P_\sigma = \begin{pmatrix}
\mathbf{e}_{\sigma(1)}\\
\mathbf{e}_{\sigma(2)}\\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\sigma(n)}
\end{pmatrix}</tex>, где <tex>\mathbf{e}_{i}</tex> — двоичный вектор длины <tex>n</tex>, <tex>i</tex>-й элемент которого равен единице, а остальные равны нулю.

== Пример ==

Перестановка:
: <tex>\pi = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}</tex>

Соответствующая матрица:
: <tex>P = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}</tex>

== Свойства ==

{{Утверждение
|statement=Для любых двух перестановок <tex>\sigma, \pi</tex> их матрицы обладают свойством:

<center><tex>P_\sigma P_\pi = P_{\pi \circ \sigma}</tex></center>

где <tex>\circ</tex> — операция умножения перестановок.
|proof=
Рассмотрим <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = \sum\limits_{x = 1}^{n}{({P_\sigma}_{i,x} {P_\pi}_{x,j})}</tex>

эта сумма может быть равна нулю или единице, причем единице в том случае, если в <tex>i</tex> - той строчке на <tex>k</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\sigma</tex> и в <tex>k</tex> - той строчке на <tex>j</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\pi</tex> стоят единицы. <tex>{P_\sigma}_{i,k} = 1</tex> значит, что в перестановке <tex>\sigma</tex> на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>k</tex>, и <tex>{P_\pi}_{k,j} = 1</tex> означает что в перестановке <tex>\pi</tex> на <tex>k</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>, а <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1</tex> означает что в перестановке, которой соответствует эта матрица, так же на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>. Но также известно, что <tex> (\pi \circ \sigma)(i) = \pi(\sigma(i)) = j </tex>. В результате если <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1</tex>, то <tex>({P_{\pi \circ \sigma}})_{i,j} = 1</tex>. Аналогичные рассуждения можно провести когда <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 0</tex>, и также получим, что <tex>({P_{\pi \circ \sigma}})_{i,j} = 0</tex>. Поэтому для любых <tex>i,j</tex> справедливо <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = ({P_{\pi \circ \sigma}})_{i,j}</tex>, а раз такое равентсво выполняется, то <tex>P_\sigma P_\pi = P_{\pi \circ \sigma}</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Для любой матрицы перестановок существует обратная:
<center><tex>P_\sigma^{-1} = P_\sigma^T</tex></center>
где <tex>P^T</tex> — транспонированная матрица <tex>P</tex>.
|proof=
Так как перестановки являются группой, то для любой перестановки существует обратная. Так как любая перестановка имеет свою матрицу перестановки, то утверждение о существовании обратной матрицы перестановки также справедливо.
}}
{{Утверждение|statement=Для любой матрицы перестановок <tex>P</tex> справедливо:
<center><tex>P^T P = P P^T = E</tex></center> где <tex>E</tex> — единичная матрица.
|proof=
Рассмотрим <tex>{(P P^T)}_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{(P)}_{ik} {(P^T)}_{kj} = \sum\limits_{k=1}^{n} {(P)}_{ik} {(P)}_{jk} = {\delta}_{ij} = {E} </tex>

Теперь в обратную сторону <tex>{(P^T P)}_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{(P^T)}_{ik} {(P)}_{kj} = \sum\limits_{k=1}^{n} {(P)}_{ki} {(P)}_{kj} = {\delta}_{ij} = {E} </tex>
где <tex> {\delta}_{ij} </tex> — символ Кронекера. }}

{{Утверждение|statement=
При умножение слева элементарной матрицы <tex> {P}_{ij} </tex> перестановок на матрицу A происходит перестановка i и j строк матрицы A.
Умножение справа элементарной матрицы перестановок <tex> {P}_{ij} </tex> на матрицу A приводит к перестановке i и j столбцов матрицы A.
|proof=
Рассмотрим сначала умножение слева, т.е. матрицу <tex> {P}_{ij}{A} </tex>, которую обозначим <tex> {B} = {b}_{kl} </tex>. Посчитаем чему равны элементы этой матрицы:

<tex> {b}_{kl} = {( 0 ... 0 1 0 ... 0 )}
\begin {pmatrix}
{a}_{1l}\\
{a}_{2l}\\
\vdots\\
{a}_{ml}
\end {pmatrix}
</tex>
}}

{{Утверждение|statement=
Умножение произвольной матрицы <tex>A</tex> на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.
Умножение перестановочной матрицы на произвольную <tex>A</tex> меняет местами строки в <tex>A</tex>.
|proof=
Рассмотрим произвольную матрицу <tex>A</tex> и матрицу перестановки <tex>P</tex>:
возьмем <tex>i</tex> — тую строчку матрицы <tex>A</tex> и умножим на <tex>j</tex> — тый столбец <tex>P</tex>,
так как <tex>j</tex> — тый столбец матрицы <tex>P</tex> это двоичный вектор с одной единицей, то от <tex>i</tex> — той строчки матрицы <tex>A</tex> выживет один элемент, причем на <tex>j</tex> — том месте.
Умножив <tex>i</tex> — тую строчку матрицы <tex>A</tex>, на остальные столбцы матрицы <tex>P</tex>, получим, что в <tex>i</tex> — той строке матрицы <tex>A</tex> элементы поменяются местами. Умножая другие строки матрицы <tex>A</tex>, будем наблюдать похожее (так как умножаем на те же самые столбцы матрицы <tex>P</tex>). Таким образом получим, что в матрице <tex>A</tex> столбцы поменялись местами.

Доказательство второго утверждения аналогично.
}}

{{Утверждение|statement=Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.
|proof=
Любая элементарная матрица перестановок является симметричной матрицей, следовательно <tex> \forall{i,j} : {a}_{ij} = {a}_{ji} </tex>. Отсюда следует, что
<tex> {P} = {P^T} </tex>, а <tex> {P P^T} = {E} </tex>.
}}

{{Утверждение|statement=Матрица перестановок <tex>n</tex>-го порядка может быть представлена в виде произведения <tex>(n - 1)</tex> элементарных матриц перестановок.
}}

== Применение ==

Благодаря своим свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:

пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}</tex>, которая соответствует перестановке <tex>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}</tex>, и матрица <tex>A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}</tex>,

тогда перемножив получим:

* <tex>PA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}</tex>,

видно, что вторая и третья строки поменялись местами;

* <tex>AP = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \\ \end{pmatrix}</tex>,

видно, что второй и третий столбец поменялись местами.

== См. также==
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BA,_%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0,_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BA Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок]

== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_перестановки Матрица перестановки — Википедия]
*[http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/1/23.htm Матрица перестановки]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_matrix Permutation matrix]
* Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Матричное представление перестановок