Схема Бернулли

2021-04-11T16:30:29Z

5.18.188.60: /* Обобщение (полиномиальная схема) */

{{Определение
|definition=
'''Схемой Бернулли''' (англ. ''Bernoulli scheme'') называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода {{---}} «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью <tex> p \in (0, 1)</tex> , а неудача {{---}} с вероятностью <tex> q = 1 - p </tex>.
}}

== Распределение Бернулли==
{{Определение
|definition=
'''Распределение Бернулли''' (англ. ''Bernoulli distribution'') {{---}} описывает ситуации, где "испытание" имеет результат "успех" либо "неуспех".
}}
[[Дискретная случайная величина | Случайная величина]] <tex>\xi</tex> с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью <tex>p</tex> успеха : ни одного успеха или один успех. Функция распределения <tex> \xi</tex> имеет вид

<tex>
F_{\xi}(x) = P(\xi < x) \begin{cases}
0, & x\leqslant 0 \\
1 - p, & 0 < x \leqslant 1\\
1, & x > 1
\end{cases}
</tex>

[[Файл:Распределение Бернулли.jpg‎]]

== Биномиальное распределение ==
{{Определение
|definition=
Случайная величина <tex>\xi</tex> имеет '''биномиальное распределение''' (англ. ''binomial distribution'') с параметрами <tex>n \in \mathbb N</tex> и <tex> p \in (0, 1)</tex> и пишут: <tex> \xi \in \mathbb B_{n, p}</tex> если <tex> \xi</tex> принимает значения <tex>k = 0, 1, \ldots ,n</tex> с вероятностями <tex >P(\xi = k) = </tex><tex > \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} </tex> .
}}
Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в <tex> n </tex> испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха <tex>p</tex>.

Таблица распределения <tex> \xi </tex> имеет вид

{| class="wikitable" style ="text-align:center"
|-
|<tex>\xi </tex>
| 0
| 1
| <tex>\ldots</tex>
| <tex>k</tex>
| <tex>\ldots</tex>
| <tex>n</tex>
|-
| <tex>P</tex>
| <tex>(1 - p) ^ n </tex>
| <tex>n \cdot p \cdot (1 - p)^{n - 1}</tex>
| <tex>\ldots</tex>
| <tex>\dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} </tex>
| <tex>\ldots</tex>
| <tex> p^n </tex>
|}

== Формула Бернулли ==
Обозначим через <tex> v_{n} </tex> число успехов, случившихся в <tex> n</tex> испытаниях схемы Бернулли. Эта случайная величина может принимать целые значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> в зависимости от результатов испытаний. Например, если все <tex>n </tex> испытаний завершились неудачей, то величина <tex> v_{n} </tex> равна нулю.

{{Теорема
|id=th1
|statement=
Для любого <tex >k = 0, 1, \ldots , n </tex> вероятность получить в <tex>n</tex> испытаниях <tex>k</tex> успехов равна <tex> P(v_{n} = k ) = </tex> <tex dpi="145"> \dbinom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}</tex>

|proof=
Событие <tex>\{A = v_{n} = k\}</tex> означает, что в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k</tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k</tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} \cdot (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A</tex> отличаются лишь расположением <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Есть ровно <tex dpi="145">\dbinom{n}{k}</tex> способов расположить <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Поэтому событие <tex>A</tex> состоит из <tex dpi="145">\dbinom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} \cdot q ^ {n - k}</tex>
Набор вероятностей в теореме называется биномиальным распределением вероятностей.
}}

== Геометрическое распределение ==
{{Определение
|definition=
'''Геометрическое распределение''' (англ. ''geometric distribution'') {{---}} распределение дискретной случайной величины, равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого успеха.
}}

{{Лемма
|id=th1
|statement=
Вероятность того, что первый успех произойдёт в испытании с номером <tex>k \in \mathbb N = {1, 2, 3, \ldots}</tex> равна <tex>P(r = k) = p \cdot q^ {k - 1} </tex>
|proof=
Вероятность первым <tex> k - 1 </tex> испытаниям завершиться неудачей, а последнему {{---}} успехом, равна <tex> P(r = k) = p \cdot q^{k - 1} </tex>
}}

{{Теорема
|id=th1
|statement=
Пусть <tex> P(r = k) = p \cdot q^{k - 1} </tex> для любого <tex> k \in \mathbb N </tex>. Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k</tex> имеет место равенство: <tex> P(r > n + k | r > n) = P(r > k) </tex>
|proof=
По определению условной вероятности,
<tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \dfrac{P(r > n + k)}{P(r > n)} </tex> <tex>\left(1\right)</tex>
Последнее равенство верно в силу того, что событие <tex> {r > n + k} </tex> влечёт событие <tex>{r > n}</tex>, поэтому их пересечением будет событие <tex> {r > n + k}</tex>. Найдём для целого <tex> m \geqslant 0</tex> вероятность <tex> P(r > m)</tex> : событие <tex> r > m </tex> означает,что в схеме Бернулли первые <tex>m</tex> испытаний завершились «неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^{m}</tex>. Возвращаясь к формуле <tex>\left(1\right)</tex> получаем, что эта [[Дискретная случайная величина | случайная величина]] равна <tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \dfrac{q^{n + k}} {q^{n}} =</tex> <tex> q^{k} = P(r > k)</tex>.

}}

== Обобщение (полиномиальная схема) ==
Обычная формула Бернулли применима на случай, когда при каждом испытании возможен один из двух исходов.
Рассмотрим случай, когда в одном испытании возможны <tex> m</tex> исходов: <tex>1, 2, \ldots , m,</tex> и <tex>i</tex>-й исход в одном испытании случается
с вероятностью <tex> p_{i}</tex> , где <tex>p_{1} + \ldots + p_{m} = 1</tex>.
{{Теорема
|id=th1
|statement=
Обозначим через <tex>P(n_{1}, \ldots , n_{m})</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый исход случится <tex> n_{1}</tex> раз, второй исход {{---}} <tex>n_{2}</tex> раз, и так далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход {{---}} <tex>n_{m}</tex> раз тогда верна формула:
<tex > P(n_{1}, \ldots , n_{m}) = </tex> <tex> \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot\ldots \cdot n_{m}!} \cdot {p_{1}}^{n_{1}} \cdot \ldots \cdot {p_{m}}^{n_{m}}
</tex>
|proof=
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}} \ldots p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, \ldots , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
<tex>\dbinom{n}{n_1} \cdot\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_2} \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} \cdot\ldots \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2 - \ldots - n_{m -1}}{n_m} = \dfrac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot \ldots \cdot n_{m}!}
</tex>
}}

== Примеры ==
==== Правильная монета ====
Правильная монета подбрасывается <tex>10</tex> раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от <tex>4</tex> до <tex>6</tex> раз.

Вычислим отдельно вероятности получить <tex>4, 5</tex> и <tex>6</tex> гербов после десяти подбрасываний монеты.

<tex >P(v_{10} = 4) =</tex> <tex> \dbinom{10}{4} \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^ {4} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 4} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>

<tex >P(v_{10} = 5) = </tex> <tex>\dbinom{10}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 5}</tex><tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex>

<tex >P(v_{10} = 6) =</tex> <tex> \dbinom{10}{6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 6}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>

Сложим вероятности несовместных событий:
<tex>P(4 \leqslant v_{10} \leqslant 6) = P(v_{10} = 4) + P(v_{10} = 5) + P(v_{10} = 6) ~\approx ~ 0{.}656 </tex>

==== Правильная игральная кость с двумя исходами ====
Два игрока по очереди подбрасывают правильную игральную кость. Выигрывает тот, кто первым выкинет шесть очков. Найти вероятность победы игрока, начинающего игру.

Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй {{---}} с чётным. Пусть событие <tex> A_{k} </tex> состоит в том, что шесть очков впервые выпадет в испытании с номером <tex>k</tex>. По лемме, <tex > P(A_{k}) =</tex> <tex>\dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{k - 1} </tex>
События <tex>A , B</tex>, означающие победу первого и второго игроков соответственно, представимы в виде объединения взаимоисключающих событий:
<tex> A = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{5} \cup \ldots , B = B_{2}\cup B_{4} \cup B_{6} \cup \ldots </tex>
Вероятности этих объединений равны суммам вероятностей слагаемых:

<tex > P(A) =</tex><tex> \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} + \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4} \ldots = \dfrac{6}{11}.</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события <tex>B</tex>

<tex> P(B) =</tex> <tex> \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} + \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5} \ldots = \dfrac{5}{11}.
</tex>

==== Правильная игральная кость с тремя исходами ====
Игральная кость подбрасывается пятнадцать раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.
Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани.

Так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\dfrac{1}{6}</tex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>\dfrac{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна

<tex > P(10, 3, 2) = </tex> <tex> \dfrac{15!}{10! \cdot 3! \cdot2!} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3} \cdot \left(\dfrac{4}{6}\right)^{2}
</tex>

==См. также==
*[[Дискретная случайная величина]]
*[[Математическое ожидание случайной величины]]

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Бернулли Википедия {{---}} Распределение Бернулли]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное_распределение Википедия {{---}} Биномиальное распределение]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Бернулли Википедия {{---}} Формула Бернулли]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическое_распределение Википедия {{---}} Геометрическое распределение]
*''Н.И Чернова'' Теория вероятности {{---}} Новосибирск, 2009.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Схема Бернулли