Покрытие рёбер графа путями

2022-06-25T07:53:05Z

5.189.59.132:

Следующее утверждение являются следствием из [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|критерия Эйлеровости]] [[Основные определения теории графов|графа]]:
{{Теорема|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} связный граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечётную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество рёбер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|рёберно-простыми]] путями.
|proof=

Рассмотрим связный граф <tex>G,</tex> который содержит <tex>2N</tex> вершин, имеющих нечётную степень. Докажем, что его можно покрыть <tex>N</tex> рёберно-простыми путями.

Добавим в граф <tex>N</tex> рёбер, соединив попарно вершины, имеющие нечётные степени, и получим связный граф <tex>G',</tex> все вершины которого имеют чётную степень. Такой граф удовлетворяет [[Эйлеровость_графов#.D0.9A.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.B9_.D1.8D.D0.B9.D0.BB.D0.B5.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|критерию эйлеровости]] и содержит эйлеров цикл. Рассмотрим этот цикл и удалим из него <tex>N</tex> добавленных ребер <tex>G' \backslash G.</tex> Цикл распадётся на <tex>N</tex> путей, которые являются простыми, так как рассматриваемый цикл эйлеров, и покрывают весь граф, поэтому полученное разбиение является искомым.
}}

==См. также==
* [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеровость графов]]

==Источники информации==
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Покрытие рёбер графа путями