Прямая сумма матроидов

2021-05-22T14:24:56Z

5.35.120.86: Заменил f и g на { и }

==Прямая сумма матроидов==
{{Определение
|definition =
Пусть <tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды с непересекающимися носителями (<tex>X_1 \cap X_2 = \varnothing</tex>) и <tex>X = X_1 \cup X_2, \ I = \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \}</tex>, тогда <tex> M_1 \oplus M_2 = \langle X, I\rangle</tex> называется '''прямой суммой матроидов'''.
}}
{{Утверждение
|statement = Прямая сумма матроидов является матроидом.
|proof =
Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>.

1. <tex>\varnothing \in I</tex>

<tex> A_1 = \varnothing \in I_1, \ A_2 = \varnothing \in I_2 \Rightarrow A_1 \cup A_2 = \varnothing \in I </tex>

2. <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>

Пусть <tex>B = B_1 \cup B_2, \ B_1 \in I_1, \ B_2 \in I_2</tex>, а <tex>A = A_1 \cup A_2, \ A_1 \subset B_1, \ A_2 \subset B_2</tex>.

Так как <tex>A_1 \subset B_1 \Rightarrow A_1 \in I_1</tex> (по второй аксиоме для <tex>I_1</tex>). Аналогично <tex>A_2 \in I_2</tex>. Значит <tex>A_1 \cup A_2 \in I</tex>.

3. <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>

Пусть <tex>A = A_1 \cup A_2</tex>, <tex>B = B_1 \cup B_2</tex>, тогда <tex>\left\vert A_1 \right\vert < \left\vert B_1 \right\vert </tex> или <tex>\left\vert A_2 \right\vert < \left\vert B_2 \right\vert </tex>.

В первом случае из третьей аксиомы для <tex> I_1 \Rightarrow \exists~ x \in B_1 \setminus A_1, \ A_1 \cup \{ x \} \in I_1 </tex>. Значит <tex> A_1 \cup \{ x \} \cup A_2 \in I</tex>.

Второй случай аналогичен первому.
}}

==Пример разложения матроида в прямую сумму==
{{Утверждение
|statement = [[Примеры матроидов#def1|Разноцветный матроид]] <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> можно представить в виде прямой суммы [[Примеры матроидов#def2|универсальных матроидов]].
|proof =
Занумеруем все цвета элементов в множестве <tex>X</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.

Пусть <tex>X_i = \{ x \mid color(x) = i \}</tex>, <tex>I_i = \{ A \subset X_i \mid \left\vert A \right\vert \leqslant 1 \}</tex>, где <tex>i = 1 \dots n</tex>, то есть в <tex>X</tex> элементы одного цвета, а независимыми являются множества, состоящие не более чем из <tex>1</tex>-ого элемента. Тогда <tex> M_i = \langle X_i, I_i\rangle</tex> является универсальным матроидом.
Таким образом, <tex>M = \bigoplus\limits_{i=1}^{n} M_i = \langle X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i, \ I = \bigcup\limits_{i=_1}^n A_i \mid A_i \in I_i \rangle</tex>.

}}

==См. также==
* [[Определение матроида]]
* [[Примеры матроидов]]

== Источники информации ==

*''Victor Reiner'' {{---}} Lecture on matroids and oriented matroids, p.18
*[[wikipedia:Matroid | Wikipedia {{---}} Matroid]]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Прямая сумма матроидов