Теорема Хаусдорфа об ε-сетях

2019-12-04T22:09:40Z

51.140.14.3: /* Теорема Хаусдорфа */

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Некоторые определения ==
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности
за аксиому, приходим к понятию ''полного'' метрического пространства:
<tex>\rho(x_n, x_m) \to 0 \Rightarrow \exists x \in X: \ \rho(x, x_n) \to 0</tex>

Например, в связи с критерием Коши, <tex>\mathbb{R}</tex> {{---}} полное метрическое пространство.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>A, B \subset X</tex>, <tex>\varepsilon > 0</tex>. Тогда <tex>B</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>A</tex>, если
<tex>\forall a\in A\ \exists b \in B: \ \rho(a, b) < \varepsilon</tex>.
}}

Особый интерес представляют конечные <tex>\varepsilon</tex>-сети.

{{Определение
|definition=
<tex>A \subset X</tex> {{---}} вполне ограничено в <tex>X</tex>, если <tex>\forall \varepsilon \ \exists </tex> конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.
}}

== Теорема Хаусдорфа ==

{{Теорема
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex>

Пусть <tex>K</tex> {{---}} компакт.

Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.

Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) \ge \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то
<tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>.

Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.

И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) \geqslant \varepsilon_0</tex>.

Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но по построению последовательности это невозможно, получили противоречие.

<tex>\Longleftarrow</tex>

<tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.

Рассмотрим любую последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Так как множество вполне ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном объединении шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.

Рассмотрим последовательность <tex>\ \varepsilon_n = \frac1n</tex>. Она сходится к нулю.

Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.

<tex>K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_{\varepsilon_1}(y_k)</tex>

Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число элементов последовательности.

<tex>\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni </tex> бесконечно много элементов из <tex>x_n</tex>.
Обозначим <tex>V_{\varepsilon_1}(y_i)\ </tex> как <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}} </tex>.

Пусть <tex>K_1 = \overline{V_{\varepsilon_1}} \cap K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса <tex>\varepsilon_2</tex>.
Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов <tex>x_n</tex>. И так далее...

В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:

<tex>
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc}
$\varepsilon_1$ & $x_{1, 1}$ & $x_{1, 2}$ & $x_{1, 3}$ & \ldots \\
\hline
$\varepsilon_2$ & $x_{2, 1}$ & $x_{2, 2}$ & $x_{2, 3}$ & \ldots \\
\hline
$\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\
\hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ \\
\end{tabular}
\end{center}
</tex>

В первой строке бесконечно много элементов <tex>x_n</tex> из <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}}</tex>.
Во второй строке бесконечно много элементов из <tex>\overline{V_{\varepsilon_2}} </tex>.
И так далее.

Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>(''диагональ Кантора'')

Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится в себе, то, так как <tex>X</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.

Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.

Рассмотрим <tex>\rho(x_{n + p, n + p}, x_{n, n})</tex>

Так как <tex>x_{n + p, n + p}</tex> есть в <tex>n</tex>-й строке, то <tex>\rho \leq 2\varepsilon_n</tex>.

Так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится в себе, то, по полноте <tex> X </tex>, у неё есть предел.
}}

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Хаусдорфа об ε-сетях