Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики

2013-01-15T07:07:50Z

77.88.4.208:

{{Теорема
|statement=
Не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она однозначной (''unambiguous grammar'').
|proof=
Будем доказывать от противного. Для этого произведем [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблемы соответствий поста]] к множеству решений нашей задачи. А так как множество решений ПСП неразрешимо, то из m-сведения будет следовать неразрешимость нашей задачи.

Пусть <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит для экземпляра ПСП <tex>(x_1,\,x_2,\,...,\,x_n)</tex>, <tex>(y_1,\,y_2,\,...,\,y_n)</tex>. Рассмотрим грамматику <tex>L=\{\Sigma^{*}, N, P, S\}</tex>, где <tex> \Sigma^{*}= \Sigma+\{z_i\}</tex> и <tex>\{z_i\}=\{z_1,\,z_2,\,...,\,z_n\}</tex> {{---}} множество символов, не встречающихся в алфавите <tex> \Sigma</tex>. Символы <tex> \{z_i\} </tex> можно воспринимать как номера правил, по которым мы будем выводить слова в нашей грамматике.

Зададим грамматику <tex>L</tex> следующими правилами:

<tex>S \rightarrow A </tex> <tex> | B </tex>

<tex>A \rightarrow x_iAz_i</tex>

<tex>A \rightarrow \varepsilon</tex>

<tex>B \rightarrow y_iBz_i</tex>

<tex>B \rightarrow \varepsilon</tex>

Заметим, что любое слово <tex>w</tex>, выводимое в этой грамматике, может быть представлено в виде <tex>w=x_{i1}x_{i2}...x_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex> или <tex>w=y_{i1}y_{i2}...y_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex>, причем, если <tex>L</tex> неоднозначна, то слово можно вывести двумя способами, и тогда <tex>w=x_{i1}x_{i2}...x_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1} = y_{i1}y_{i2}...y_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex>. Так как это одно и тоже слово, то все <tex> z_{i} </tex> в этом слове равны. А каждое <tex> z_{i} </tex> однозначно задает правило, по которому мы выводили слово.

Таким образом, если бы мы умели решать сформулированную нами ПСП, то могли бы сказать, однозначна грамматика или нет. То есть, если ПСП имеет решение, то мы можем восстановить два вывода слова. Если ПСП не имеет решения, то грамматика однозначна и не существует двух выводов одного и того же слова. Таким образом, мы получили [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений ПСП к множеству решений нашей задачи. А это значит, что задача об однозначности грамматики неразрешима.

Получили, что не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она однозначной.

}}

== Литература ==
* А. Маслов, Д. Стоцкий — Языки и автоматы. Издательство Мир, 1975, -361 с.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Ambiguous_grammar ambiguous grammar - Wikipedia]

[[Категория: Теория вычислимости]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики