Линейные функционалы

2013-01-16T18:22:01Z

78.25.121.247:

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

{{Определение
|id=linfuncdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)</tex>.

Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.

<tex> \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} </tex> — '''ядро функционала'''.
}}

Заметим: <tex> \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0</tex>. По линейности <tex>f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)</tex>, следовательно, <tex>f(0) = 0</tex>.

<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex>: Пусть <tex>x, y \in \mathrm{Ker}\, f</tex>, тогда <tex>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \implies \alpha x + \beta y \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.

== Коразмерность ==

Выясним геометрическую структуру ядра.

Напомним свойства отношения эквивалентности:

1. Рефлексивность: <tex>x \sim x</tex>

2. Симметричность: <tex>x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1</tex>

3. Транзитивность: <tex>x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3</tex>

{{Определение
|id=factorsetdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество, <tex>Y</tex> линейное подмножество <tex>X</tex>.

Введем отношение эквивалентности на <tex>X</tex>:

<tex> x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y </tex>

<tex> [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} </tex> — '''классы смежности''' по <tex>Y</tex>.

<tex> X /_Y </tex> — совокупность всех классов смежности — '''фактор-множество''' по <tex>Y</tex>.

}}

Операции над классами смежности:

<tex> [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] </tex>

<tex> \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] </tex>

Эти операции не зависят от представителя класса.

Фактор-множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:

{{Определение
|id=codimdef
|definition=
<tex>\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y </tex> — '''коразмерность''' <tex>Y</tex>.

<tex> Y </tex> — '''гиперплоскость''' в <tex>X</tex>, если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1</tex>.

}}

Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?

{{Утверждение
|id=codimeqn
|statement=

<tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X </tex> такие, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y</tex>.

|proof=

'''Замечание''': для <tex>n = 1</tex>: если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X </tex> такое, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \alpha e + y, ~ y \in Y</tex>.

Доказательство <tex>\implies</tex>:

<tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y </tex> — базис <tex> X /_Y </tex>.
<tex> \forall \xi \in X /_Y </tex> единственным образом <tex>\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.

Рассмотрим <tex> \forall x \in X </tex>, <tex> [x] \in X /_Y </tex> и его представление <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.

Пусть <tex> \xi_k = [ e_k ] </tex>, то есть <tex> [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] </tex>. Следовательно, по определению <tex> [ x ] </tex>, <tex> x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> <tex> \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y </tex> — разложение <tex> x </tex>. Единственность следует из единственности разложения по базису <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.

Доказательство <tex> \Longleftarrow </tex>:
{{TODO | t = упражнение}}
}}

{{Утверждение
|about=Коразмерность ядра функционала
|statement=

<tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>

|proof=

Рассмотрим <tex>x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 </tex>. Возьмем <tex>\forall x \in X</tex>, подберем <tex>\alpha</tex> такое, чтобы <tex>y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.
<tex>f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)} </tex>. Предстваление единственно: пусть есть два представления <tex>x = \alpha x_0 + y</tex> и <tex>x = \beta x_0 + y'</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0</tex>. Применим к обеим частям <tex>f</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)</tex>, так как <tex> y - y' </tex> в ядре, получили <tex> f(x_0) = 0</tex>, то есть протипоречие. Нашли единственное представление, следовательно, [[Линейные функционалы#codimeqn|по предыдущему утверждению]], <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
}}

Итак, ядро линейного функционала является гиперплоскостью.

Для непрерывности надо превратить <tex>X</tex> в ТВП. Наиболее важный случай — когда <tex>X</tex> является НП.

Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.

== Непрерывность функционала ==

{{Определение
|id=contfuncdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — нормированное пространство. Линейный функционал <tex> f \in X^* </tex> {{---}} '''непрерывен''' в точке <tex> x </tex>, если
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) </tex>.
}}

Далее: <tex> \| \cdot \| </tex> — норма на <tex> X </tex>.

Заметим, что в силу линейности функционала нам достаточно проверять непрерывность в нуле:

{{Утверждение
|id=cont0
|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.
|proof=
Рассмотрим <tex> x_n \to 0 </tex>. <tex> f(x_n) \to f(0) = 0 </tex>. Проверим непрерывность <tex>f</tex>:

<tex> x_n \to x \implies x_n - x \to 0 \implies f(x_n - x) \to 0 </tex>

<tex>f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) </tex>
}}

Обозначение <tex> \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} </tex>

Введем норму в <tex> X^* </tex>:

<tex> \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} </tex>

{{Определение
|id=finitefuncdef
|definition=
<tex> f </tex> — '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.
}}

Отметим, что для ограниченного функционала: <tex> \forall x \in X, x \not = 0</tex>

<tex> \frac {x} {\| x \| } \in \overline{V}_1 \implies
\left | f \left ( \frac {x} {\| x \|} \right ) \right | \leq \| f \| \implies
f \left ( \frac {x} {\| x \|}\right ) = \frac 1 {\| x \|} f(x) \implies
\\
| f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| </tex>

{{Утверждение
|id=cont-finite
|statement= <tex>f</tex> — непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> — ограничен.
|proof=
1) <tex>f</tex> — ограничен <tex> \implies \| f \| < \infty </tex>. Как отмечалось ранее: <tex> | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| </tex>

Рассмотрим <tex> x_n \to 0 \implies
\| x_n \| \to 0 \implies
| f(x_n) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies
f(x_n) \to 0 \implies f</tex> — непрерывен.

2) <tex>f</tex> — непрерывен. Пусть <tex> \| f \| = \infty </tex>, тогда по определению <tex> \| f \| </tex>:

<tex> \forall n \in \mathbb{N} ~ \exists\, x_n \in \overline{V}_1 : | f (x_n) | > n \implies </tex>
по линейности <tex> \left| f \left( \frac {x_n}{n} \right) \right| > 1 </tex>.

<tex> \left\| \frac{x_n}{n} \right\| = \frac1n \| x_n \| </tex>,
так как <tex> x_n \in \overline{V}_1 \implies
\frac1n \| x_n \| \leq \frac1n</tex>

<tex> n \to \infty, \quad \frac1n \to 0,
\quad \left \| \frac {x_n}{n} \right \| \to 0 \implies
\frac{x_n}{n} \to 0 \implies </tex>
по непрерывности <tex> f \left ( \frac {x_n}{n} \right ) \to 0 </tex>. Пришли к противоречию.

}}

Пусть <tex> X^* </tex> обозначает теперь более узкий класс линейных ограниченных функционалов. То, что <tex>\|f\|</tex> — норма, проверяется так же, как свойства [[Линейные_ограниченные_операторы | нормы линейного оператора]], то есть получили, что <tex>X^*</tex> — НП, сопряженное с <tex>X</tex>.

{{Утверждение
|id=densefunextension
|statement= Пусть <tex> Y </tex> — линейное всюду плотное в <tex> X </tex> множество.
<tex> f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> Y </tex>. Тогда существует единственный <tex> \widetilde f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> X </tex> такой, что:

1) <tex> \widetilde f |_Y = f </tex> — сужение на <tex> Y </tex> совпадает с <tex> f </tex>.
2) <tex> \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y </tex>

|proof=
{{TODO|t=Было в виде идеи, доказал [[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:18, 7 января 2013 (GST) , проверьте}}

По определению всюду плотности, <tex> \mathrm{Cl}\, Y = X </tex>, то есть любое <tex> \forall x \in X </tex> можно аппроксимировать последовательностями <tex>y \in Y</tex>: <tex> y_n \to x </tex>, при этом последовательности <tex>y</tex> будут сходящимися в себе.

Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>. Она сходится в себе, так как <tex>f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)</tex>, <tex>y_n - y_m \in Y</tex>, и как мы уже заметили, последовательность <tex>y</tex> сходится в себе, тогда <tex>f(y_n - y_m) \le \|f\| \|y_n - y_m\|</tex>, по ограниченности <tex>f</tex> и сходимости в себе <tex>y</tex>, также сходится. Последовательность <tex>f(y_n)</tex> сходится в себе, тогда по полноте <tex>\mathbb{R}</tex>, последовательность <tex>f(y_n)</tex> также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке <tex>x</tex>, то есть <tex> \widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)</tex>.

Установим единственность: Если <tex>y_n \to x</tex> и <tex>y'_n \to x</tex>, то

<tex>y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 \implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0
\\
\implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>.

Таким образом предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.

Покажем, что <tex> \widetilde f </tex> — линейный и удовлетворяет условию теоремы:
* <tex>\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)</tex>
* <tex>\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)</tex><tex> = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')</tex>
* сужение: покажем, что <tex>\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)</tex>, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к <tex>y</tex>, тогда возьмем последовательность, состоящую только из <tex>y</tex>, очевидно, она сходится к <tex>y</tex> и значения функционалов совпадают
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1, x \in Y</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
}}

{{
Теорема
|about=характеристика ограниченного функционала в терминах ядра
|statement=
<tex>f</tex> — ограничен <tex>\iff \mathrm{Ker}\, f</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>.
|proof=
*<tex>\implies</tex>
<tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:<br>
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f</tex>, все <tex>f(x_n) = 0</tex>, значит, и <tex>f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f</tex>
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.
* <tex>\Leftarrow </tex>
{{TODO|t=тут была какая-то непонятная хрень, запилил хорошее доказательство с [http://en.wikibooks.org/wiki/Functional_Analysis/Banach_spaces английской википедии]}}

Покажем, что если <tex>f</tex> не ограничен, <tex>\mathrm{Ker}\, f</tex> — не замкнуто в <tex>X</tex>. Рассмотрим определение неограниченности: <tex>\forall n \exists u_n: \|u_n\| = 1, f(u_n) \ge n </tex> (заметим, что в классическом определении <tex>|f(u_n)| \ge n</tex>, однако по линейности пространства если оказалось, что <tex>f(u_n) \le -n</tex>, возьмем <tex>-u_n: f(-u_n) \ge n</tex>), теперь определим последовательность <tex>v_n = \frac{u_n}{f(u_n)}</tex>, очевидно, <tex>\|v_n\| \le \frac{1}{n}</tex>, то есть <tex>v_n \to 0</tex>. Теперь возьмем <tex> a \notin \mathrm{Ker}\, f</tex> и определим последовательность <tex>z_n = a - f(a) v_n</tex>. Каждый элемент <tex>z_n</tex> содержится в ядре, так как <tex>f(z_n) = f(a) - f(a) f(v_n) = f(a) (1 - f(v_n)) = 0</tex> (воспользуемся тем, что <tex>f(v_n) = \frac{f(v_n)}{f(v_n)} = 1</tex>). Однако последовательность <tex>z_n</tex> стремится к <tex>a</tex>, так как <tex>v_n \to 0</tex>, то есть стремится к элементу не из ядра. Таким образом, предъявили последовательность элементов в ядре, сходящуюся к элементу не из ядра и ядро не замкнуто.
}}

Установим теперь важную теорему, которая задает общую формулу для записи линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.

{{Теорема
|author=Рисс
|statement=
<tex>\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle</tex>, причем <tex>\|f\| = \|y\|</tex>
|proof=
<wikitex>
Покажем, что функционал, определенный как $g(x) = \langle x, y \rangle$ (для произвольного $y \in H$), — линейный и ограниченный, причем $\|g\| = \|y\|$.
* линейность тривиально получается из аксиом скалярного произведения
* для подсчета нормы применим [[Нормированные пространства#Неравенство Шварца | неравенство Шварца]]: $|g(x)| = |\langle x, y \rangle| \le \| y\| \|x\|$, то есть $\|g\| \le \|y\|$, если $\|x\| = 1$. Однако на элементе ${y \over \|y\|}$, $g$ принимает значение, равное $\langle {y \over \|y\|}, y \rangle = {\langle y, y \rangle \over \|y\|} = {\|y\|^2 \over \|y\|} = \|y\|$. $g$ ограниченный, значит $|g| \le \|g\|$ при $\|x\| = 1$, значит $\|y\| \le \|g\|$. Таким образом, $\|g\|$ и есть $\|y\|$.

$\forall f \in H^*$ надо найти $y \in H: \forall x \in H: f(x) = \langle x, y \rangle$. Возьмем ядро функционала $\ker f$, оно замкнуто по непрерывности функционала и является подпространством $H$, обозначим его за $H_1$.

По уже доказанному, коразмерность ядра равна 1, $H = H_1 \oplus H_1^{\perp}$ и существует $e \in H_1^{\perp}$, что у любого $x \in H$ существует единственное разложение $x = x_1 + t e, x_1 \in H_1$.

Тогда $f(x) = f(x_1) + f(t e) = t f(e)$.

$\forall y \in H_1^{\perp}: \langle x, y \rangle = \langle x_1 + te, y \rangle = \langle x_1, y\rangle + \langle te, y \rangle = t \langle e, y \rangle$.

Добьемся того, чтобы $f(e)$ было равно $\langle e, y \rangle$: пусть $y = \alpha e$, тогда $\langle e, y \rangle = \alpha \|e\|^2 = f(e)$, то есть $\alpha = {f(e) \over \|e\|^2}$.

Таким образом, искомый $y = {f(e) \over \|e\|^2} e$.

Единственность такого $y$: пусть существуют $y$ и $y'$ такие, что $f(x) = \langle x, y \rangle$ и $f(x) = \langle x, y' \rangle$. Тогда $\forall x: \langle x, y - y' \rangle = 0$, а из первой аксиомы скалярного произведения это означает, что $y - y' = 0$.

</wikitex>
}}

Ссылочки:
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Линейные функционалы