Сжатое суффиксное дерево

2015-05-22T12:14:38Z

78.25.122.106: /* Поиск строки максимальной длины, ветвящейся влево и вправо 1.4*/

[[Суффиксный бор|Суффиксный бор]] {{---}} удобная структура данных для поиска подстроки в строке, но она требует порядка квадрата длины исходной строки памяти. Оптимизацией суффиксного бора, требующей линейное количество памяти, является '''сжатое суффиксное дерево''' рассматриваемое далее.

==Определение==
{{Определение
|definition =
'''Суффиксное дерево''' (сжатое суффиксное дерево) <tex>T</tex> для строки <tex>s</tex> (где <tex>|s| = n</tex>) {{---}} дерево с <tex>n</tex> листьями, обладающее следующими свойствами:
*Каждая внутренняя вершина дерева имеет не меньше двух детей;
*Каждое ребро помечено непустой подстрокой строки <tex>s</tex>;
*Никаких два ребра, выходящие из одной вершины, не могут иметь пометок, начинающихся с одного и того же символа;
*Дерево должно содержать все суффиксы строки <tex>s</tex>, причем каждый суффикс заканчивается точно в листе и нигде кроме него.
}}

[[Файл:Suffix_tree_3.png|thumb|right|Суффиксное дерево для строки <tex>xabxa</tex> с защитным символом]]
'''Данное определение порождает следующую проблему:''' 
Рассмотрим дерево для строки <tex>xabxa</tex>: суффикс <tex>xa</tex> является префиксом суффикса <tex>xabxa</tex>, а, значит, этот суффикс не закачивается в листе. Для решения проблемы в конце строки <tex>s</tex> добавляют символ, не входящий в исходный алфавит: '''''защитный''''' символ. Обозначим его как <tex>\$</tex>. Любой суффикс строки с защитным символом действительно заканчивается в листе и только в листе, т. к. в такой строке не существует двух различных подстрок одинаковой длины, заканчивающихся на <tex>\$</tex>.

Далее <tex>n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex> с защитным символом.

==Количество вершин==
По определению, в суффиксном дереве содержится <tex>n</tex> листьев. Оценим количество внутренних вершин такого дерева.

{{Лемма
|statement=
Количество внутренних вершин дерева, каждая из которых имеет не менее двух детей, меньше количества листьев.
|proof=
Докажем лемму индукцией по количеству листьев <tex>n</tex>.

'''База'''

При <tex>n = 2</tex> в дереве одна внутренняя вершина, следовательно утверждение верно.

'''Переход''' <tex>n \rightarrow n + 1</tex>

Возьмем вершину в дереве с <tex>n + 1</tex> листами, у которой два ребенка {{---}} листья. Рассмотрим возможные случаи:

1) У нее более двух детей. Тогда отрежем от нее лист. Получим дерево с <tex>n</tex> листьями, причем в нем количество внутренних вершин такое же, как в исходном дереве. Но у полученного дерева по индукционному предположению менее <tex>n</tex> внутренних вершин, а, значит, и для исходного дерева лемма верна.

2) У нее ровно два ребенка. Отрежем их, получим дерево с <tex>n - 1</tex> листьями, количество внутренних вершин которого на <tex>1</tex> меньше, чем в исходном дереве. Тогда по индукционному предположению у него менее <tex>n - 1</tex> внутренних вершин, значит, в исходном дереве их меньше <tex>n</tex>.
}}

==Занимаемая память==
Представим дерево как двумерный массив размера <tex>|V| \times |\Sigma|</tex>, где <tex>|V|</tex> {{---}} количество вершин в дереве, <tex>|\Sigma|</tex> {{---}} мощность алфавита. Для любого суффиксного дерева верна предыдущая лемма (у каждой вершины, по определению, не менее двух детей), значит, <tex>|V| = O(2 n)</tex>. Каждая <tex>[i][j]</tex> ячейка содержит информацию о том, в какую вершину ведет ребро из <tex>i</tex>-ой вершины по <tex>j</tex>-ому символу и индексы <tex>l, r</tex> начала и конца подстроки, записанной на данном переходе. Итак, дерево занимает <tex>O(n|\Sigma|)</tex> памяти.

==Построение суффиксного дерева==

===Наивный алгоритм===
Рассмотрим наивный алгоритм построения суффиксного дерева строки <tex>s</tex>:
go[0] = Vertex() // корень
count = 0 // номер последней вершины, созданной в дереве (глобальная переменная)
'''for''' i = 0 '''to''' n // для каждого символа строки
insert(i, n) // добавляем суффикс, начинающийся с него

insert(l, r):
cur = 0
'''while''' l < r
'''if''' go[cur][s[l]].v == -1 // если мы не можем пойти из вершины по символу <tex> l </tex>
createVertex(cur, l, r) // создаем новую вершину
'''else'''
start = go[cur][s[l]].l
finish = go[cur][s[l]].r
hasCut = false
'''for''' j = start '''to''' finish // для каждого символа на ребре из текущей вершины
'''if''' s[l+j-start] <tex> \neq </tex> s[j] // если нашли не совпадающий символ
// создаем вершину на ребре
old = go[cur][s[l]]
createVertex(cur, l, j - 1)
go[count][s[j]].v = old
go[count][s[j]].r = j
go[count][s[j]].l = finish
createVertex(count, l + j - start, r)
hasCut = true
'''break'''
'''if''' !hasCut
cur = go[cur][s[l]].v // переходим по ребру
l = l + finish - start // двигаемся по суффиксу на длину подстроки, записанной на ребре
'''else'''
'''break'''

createVertex(cur, l, r):
go[++count] = Vertex()
go[cur][s[l]].v = count
go[cur][s[l]].l = l
go[cur][s[l]].r = r

Этот алгоритм работает за время <tex>O(n^2)</tex>, однако [[Алгоритм Укконена| алгоритм Укконена]] позволяет построить сжатое суффиксное дерево за <tex>O(n)</tex>.

===Построение из суффиксного массива===
Пусть нам известен [[Суффиксный массив| суффиксный массив]] <tex>suf</tex> строки <tex>s</tex>, его можно получить [[Алгоритм Карккайнена-Сандерса| алгоритмом Карккайнена-Сандерса]] за линейное время. Для преобразования нам также понадобится массив <tex>lcp</tex> (longest common prefix), который можно получить [[Алгоритм Касаи и др.| алгоритмом Касаи]].

В этом преобразовании используется тот же инвариант, что и в других суффиксных структурах:
# Строка <tex>s</tex> заканчивается специальным символом, который больше не встречается в строке.
# Следствие: <tex>lcp[i] < len[i - 1]</tex>, где <tex>len[i - 1]</tex> {{---}} длина суффикса, соответствующего <tex>suf[i - 1]</tex>.

Будем строить дерево, добавляя суффиксы в лексикографическом порядке. Чтобы ускорить добавление, будем использовать то, что <tex>i</tex>-ый суффикс имеет с предыдущим <tex>lcp[i]</tex> общих символов. Тогда добавление из корня не отличается от того, что мы поднимемся вверх из предыдущего суффикса до глубины <tex>lcp[i]</tex> и продолжим построение оттуда. Инвариант позволяет нам утверждать, что ни один лист мы не сможем продолжить, и нам всегда нужно будет хоть раз подняться из него вверх. Поскольку суффиксы отсортированы лексикографически, мы не будем спускаться по ребру после того, как уже поднялись из него из-за несовпадения символа. Все это позволяет сформулировать алгоритм добавления суффикса по известной вершине предыдущего суффикса:
# Подняться из вершины вверх до глубины <tex>lcp</tex>
# Если эта глубина находится на ребре, разрезать ребро по ней.
# Вставить новую вершину как сына вершины с глубиной <tex>lcp</tex>

В вершинах дерева <tex>Node</tex> мы будем хранить предка <tex>parent</tex>, [[Стек| стек]] детей в лексикографическом порядке ребер <tex>children</tex>, глубину вершины в символах от корня <tex>depth</tex>.
Соответственно, конструктор вершины имеет вид <code>Node(Node parent, '''int''' depth)</code>.

<code>
Node addNextSuffix(Node previous, '''int''' length, '''int''' lcp):
'''if''' previous.depth == 0 '''or''' previous.depth == lcp // Добавляем к сыновьям текущей вершины 
added = Node(previous, length)
previous.children.push(added)
'''return''' added
'''else'''
'''if''' previous.parent.depth < lcp: // Нужно разрезать ребро 
inserted = Node(prevous.parent, lcp)
previous.parent.children.pop()
previous.parent.children.push(inserted)
inserted.children.push(previous)
previous.parent = inserted
'''return''' addNextSuffix(previous.parent, length, lcp)

Node buildSuffixTree('''int[]''' suf, '''int[]''' lcp, '''int''' length):
root = Node('''null''', 0)
previous = root
'''for''' i = 1 '''to''' length
previous = addNextSuffix(previous, length - suf[i], lcp[i])
'''return''' root
</code>

В процессе построения мы нигде не запоминали сами позиции строки, соответствующие ребрам. Чтобы их восстановить, достаточно определить максимальный суффикс, который проходит по этому ребру. Для этого с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин| обхода в глубину]] посчитаем для каждой вершину дерева максимальную глубину ее листа <tex>maxDepth</tex>.

Тогда ребро <tex>s[start, end]</tex> определяется так:

<code>
'''function''' calculatePositions(Node parent, Node child, '''int''' stringLength):
start = stringLength - child.maxDepth + parent.depth
end = start + child.depth - parent.depth - 1
</code>

Для асимптотического анализа будем использовать в качестве [[Амортизационный анализ#Метод потенциалов| потенциала]] глубину в вершинах. При добавлении суффикса мы спускаемся один раз, подняться выше корня мы не можем, значит, и подниматься мы будем суммарно <tex>O(n)</tex> раз. Обход в глубину также выполняется за <tex>O(n)</tex>, итоговая асимптотика <tex>O(n)</tex>.

==Использование сжатого суффиксного дерева==
Суффиксное дерево позволяет за линейное время найти:
* Количество различных подстрок данной строки
* Наибольшую общую подстроку двух строк
* [[Суффиксный массив| Суффиксный массив]] и массив <tex>lcp</tex> (longest common prefix) исходной строки
* Строку максимальной длины, ветвящуюся влево и вправо за <tex>ST + O(n)</tex>

===Построение суффиксного массива и массива lcp из суффиксного дерева===
Пусть к строке дописан специальный символ для сохранения инварианта.
Рассмотрим лексикографический по ребрам порядок обхода сжатого суффиксного дерева.
Пусть два суффикса имеют общее начало, но различаются в <tex>i</tex>-ом символе.
Первым будет рассмотрено поддерево по ребру с меньшим символом, значит и лист, соответствующий этому суффиксу, будет посещен первым.

Тогда суффиксный массив строится из суффиксного дерева [[Обход в глубину, цвета вершин| обходом в глубину]] в указанном порядке.
Пусть длина строки <tex>length</tex>, глубина листа в символах <tex>depth</tex>, тогда номер суффикса <tex>i = length - depth</tex>.

Для заполнения массива <tex>lcp</tex> нам понадобится вершина <tex>minNode</tex>, которая будет означать вершину с минимальной глубиной, в которую мы поднимались при переходе между суффиксами. Поскольку мы точно поднимались туда, но не поднимались выше, это будет [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ| наименьший общий предок]] этих узлов. Из этого следует, что у рассматриваемых суффиксов совпадает ровно <tex>lcp = minNode.depth</tex> символов.

<code>
'''int''' curPos = 0
Node minNode = root
// Для заполнения нужно вызвать dfs(root) 
'''function''' dfs(Node n):
'''if''' n.children.size == 0
suf[curPos] = length - n.depth
lcp[curPos] = minNode.depth
curPos++
minNode = n
'''else'''
'''foreach''' child '''in''' n.children
'''if''' n.depth < minNode.depth:
minNode = n
dfs(child)
</code>

Асимптотика алгоритма совпадает с асимптотикой обхода в глубину и составляет <tex>O(n)</tex>.

Таким образом, мы умеем за <tex>O(n)</tex> строить [[Алгоритм Укконена| суффиксное дерево]], [[Алгоритм Карккайнена-Сандерса| суффиксный массив]] и преобразовывать одно в другое.

===Поиск строки максимальной длины, ветвящейся влево и вправо===
{{Определение
|definition=
'''Строка <tex>s</tex> называется ветвящейся вправо в <tex>t</tex>''' (англ. ''right branching string''), если существуют символы <tex>c</tex> и <tex>d</tex>, такие что <tex>c</tex> <tex>\ne</tex> <tex>d</tex> : <tex>sc</tex> и <tex>sd</tex> {{---}} подстроки <tex>t</tex>. Аналогично, '''ветвящаяся влево''' (англ. ''left branching''), если <tex>cs</tex> и <tex>ds</tex> {{---}} подстроки <tex>t</tex>.
}}
[[Файл:RightMergingSS.png|thumb|400px|center|Суффиксное дерево для строки <tex>aabcabd</tex>]]
Построим cуффиксное дерево при помощи [[Алгоритм Укконена|алгоритма Укконена]]. В полученном дереве не листовой вершине <tex>v</tex> будет соответствовать подстрока <tex>s</tex>, которая ветвится вправо, при условии, что количество "хороших" детей вершины <tex>v > 2</tex> ("хорошие" дети {{---}} листы, метка которых <tex>\ne\$</tex>). В примере для строки <tex>aabcabd</tex> это <tex>b</tex>, <tex>a</tex> и <tex>ab</tex>. Далее введём термины ''левый символ'' и ''вершина различная влево'', чтобы найти строки, ветвящиеся влево.
{{Определение
|definition=
'''Левый символ''' для позиции <tex>i</tex> строки <tex>S</tex> {{---}} это символ <tex>S(i-1)</tex>.
'''Левым символом''' листа <tex>L</tex> называется ''левый символ'' начала суффикса, ведущего в этот лист.
}}
{{Определение
|definition=
'''Вершина <tex>v</tex> различна влево''', если как минимум два листа в поддереве <tex>v</tex> имеют различные ''левые символы''. По определению лист не может быть различным влево.
}}

Допустим, что строка ветвится влево. Пусть существуют подстроки <tex>cs</tex> и <tex>ds</tex>, тогда есть два суффикса, начинающиеся с <tex>s</tex>, которым соответствуют различные листовые вершины с различными левыми символами (<tex>c</tex> и <tex>d</tex>). Также в дереве существует внутренняя вершина <tex>v</tex> соответствующая строке <tex>s</tex>, по определению получаем, что <tex>v</tex> различна влево.

Чтобы найти строки, ветвящиеся влево, нужно проверить все вершины суффиксного дерева на различность влево. Если какая-то вершина <tex>v</tex> будет различна влево и удовлетворять свойству ветвимости право, то строка, соответствующая вершине <tex>v</tex> будет ветвится вправо и влево.

Чтобы найти вершины различные влево, будем хранить левый символ для каждой вершины или информацию о том, что она является левой. Для поиска строки, ветвящейся влево, нужно промаркировать всё дерево. Сделать это можно при помощи [[Обход в глубину, цвета вершин| обхода в глубину]]. Начиная с корня, будем спускаться вниз, для листов будем записывать левый символ суффикса, соответствующего данному листу, для вершины <tex>v</tex> будем запускать проверку:
*если среди левых детей <tex>v</tex> есть хотя бы один, удовлетворяющий свойству различности влево, то обозначим <tex>v</tex> как различную влево вершину и закончим проверку (в суффиксном дереве свойство различности влево передаётся от детей к родителю {{---}} строка соответствующая вершине <tex>v</tex> и строка соответствующая ребёнку <tex>v</tex> начинаются с одного и того же символа),
*если среди левых символов детей <tex>v</tex> нет ни одного со свойством различная влево вершина, то проверим на совпадение левые символы детей:
**если все левые символ детей <tex>v</tex> одинаковы и эквивалентны <tex>x</tex>, то запишем в <tex>v</tex> этот символ <tex>x</tex>,
**если не все левые символы детей <tex>v</tex> эквивалентны, то запишем в <tex>v</tex>, что она различна влево.

Так как время проверки <tex>v</tex> пропорционально числу детей, время работы всего алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>.

Далее соберём все строки удовлетворяющие условию теоремы и найдём среди них максимальную (также этот алгоритм можно использовать для нахождения количества строк, ветвящихся влево и вправо).

Таким образом можно найти строку максимальной длины, ветвящуюся влево и вправо за <tex>ST+O(n)</tex>, где <tex>ST</tex> {{---}} время построения суффиксного дерева.

==См. также==
* [[Суффиксный бор|Суффиксный бор]]
* [[Суффиксный массив| Суффиксный массив]]
* [[Алгоритм Укконена| Алгоритм Укконена]]

==Источники информации==
*''Дэн Гасфилд'' — '''Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология''' — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Словарные структуры данных ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сжатое суффиксное дерево